“分类讨论”思想在导数解答题中的应用

于志东 王兴涛

(山东省青州第一中学)

在处理导数解答题时,会遇到多种多样的情况,需要对各种情况加以分类,并逐类求解,然后整合,这就是数学中“分类讨论”思想在解题中的灵活运用,其优点在于“化整为零”“各个击破”.在进行分类讨论时,我们要遵循标准统一、不漏不重的原则.

1 对参数实施“分类讨论”

在处理含有参数的函数问题时,往往需要根据问题的具体情况对参数实施“分类讨论”,进而顺利求解有关函数的单调性、极值等问题.

1.1 讨论函数的单调性

例1已知函数g(x)＝lnx＋ax2＋bx,其中g(x)的函数图像在点(1,g(1))处的切线平行于x轴.

(1)确定a与b的关系;

(2)若a≥0,试讨论函数g(x)的单调性.

点评本题第(2)问需要分类讨论的原因是令时对应方程的根的情况以及根的大小关系不确定.

1.2 讨论函数的极值

例2已知函数f(x)＝x－alnx(a∈R).

(1)当a＝2 时,求曲线y＝f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程;

(2)求函数f(x)的极值.

解析由题意知f(x)的定义域为(0,＋∞),且

(1)当a＝2时,f(x)＝x－2lnx,f′(x)＝1－(x＞0),所以f(1)＝1,f′(1)＝－1,故曲线y＝f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1),即x＋y－2＝0.

综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;当a＞0时,函数f(x)的极小值为a－alna,无极大值.

点评本题第(2)问需要讨论的原因是导函数与0的大小关系不确定.

2 对自变量实施“分类讨论”

处理不含参数的函数问题时,一般不需要分类讨论.但直接求解比较困难时,则可考虑对自变量实施“分类讨论”,进而借助函数的图像与性质求解.

例3已知函数f(x)＝sinx－ln(1＋x).

(1)证明:f′(x)在(－1,)上存在唯一极大值点;

(2)证明:f(x)有且仅有2个零点.

所以sinx－ln(x＋1)＜0,即f(x)在(π,＋∞)上不存在零点.

综上,f(x)有且仅有2个零点.

点评一般地,利用导数确定函数零点或方程根的个数的常用方法如下.1)构建函数g(x),将原问题转化为确定g(x)的零点个数问题,利用函数的性质和图像,通过数形结合求解.2)利用零点存在定理:先用该定理判断函数在某区间上有零点,然后利用导数研究函数的性质,进而判断函数在该区间上零点的个数.

(完)