数形结合 助推数学思维高阶发展

林燕青

(闽清县白樟镇白南小学，福建 闽清 350804)

《义务教育数学课程标准(2022年版)》的实施，标志着义务教育数学课程改革又一个新阶段的开始。[1]许多新的教学理念对原有的一些教学思想有了很大的冲击。面对课程改革的新浪潮，对于一线教师而言，不管教学的方式方法如何变化，教学始终都是以学生知识的学习和技能的形成为目的，培养学生的思维则是完成这个目的的重要手段之一。围绕数学课程性质中这个明确的育人价值，培养学生的思维，“为思维发展而教” 依然是一线教师在数学教学中努力的方向。[2]理解数学本质、相互关系以及内在规律是数学思维的反映，思维是一种内隐的心理活动，它是看不见、摸不着，抓不住的。[3]在教学中，借助数形结合这种非常重要的数学思想，能有效地将相关信息输入大脑，经思维加工，输出更多的高质量信息，实现思维的可视化。这既是数学思维的价值所在，也是数学教育的目标追求。[4]

数形结合可以将原本比较复杂的数学知识通过更简单的形式呈现，依据数与形的两个特点——精确性与直观性，把运算教学、数量关系等与点、线、面几何直观图形结合起来，使学生思维从具体形象向抽象思维过渡，使两者优势互补、各展所长。利用数形结合，不但能使枯燥的算理形象化，轻松掌握算理，达到准确计算，并灵活应用算理，提高计算能力的目的，还能将抽象的数量直观化，从而拓展学生解决问题的思维，探究数学的内在联系；同时又能通过图形掌握其内在的数学信息，培养学生的空间观念，提升学生的数学素养。

一、以形解数，借算理促形象思维的发展

在数学计算教学中，很多孩子知其然而不知其所以然，对于各种计算题都会算，但是很多孩子被问到为什么这么算，十分茫然，因此，进行计算教学时对算理的教学就显得尤为重要。在教学算理时，为了让学生阐明数与数之间的关系，教师可以借助直观的点子图，以形助数，帮助学生掌握计算方法；以形解数，帮助学生理解算理，让学生的思维逐步清晰，明白其中的道理，从而实现目标的达成。

例如：在教学人教版三年级下册《两位数乘两位数》这节课时，教师引导学生经过阅读和理解例题后，学生很快列出算式：14×12，教师追问：你是怎样计算的呢？为了让学生正确去理解算理理清算法，教师出示点子图，让学生们试着画一画，再算一算，在小组内交流自己的想法。在经过认真的探讨后，学生生成了很多的解答方法：

方法一：14×10=140 14×2=28 140+28=168

方法二：10×12=120 4×12=48 120+48=168

方法三：14×9=126 14×3=42 126+42=168

方法四：14×6=84 84×2=168

方法五：4×2=8 10×2=20 10×4=40

10×10=100 100+40+20+8=168

在汇报的过程中，每组学生都用点子图具体解释了解题思路。学生尝试列竖式，在相互交流后展示了竖式：

14×122814168

师紧接着追问：这里28表示的是什么？14表示的又是什么？你能不能结合点子图来说一说？经过再次的探究和不断地完善，师生很快得出：

2套书的本数←10套书的本数←

进而明确：28指的是2套书的本数，表示2个14，所以28的8要和个位对齐；14实际上是140，是10套书的本数，表示10个14，因为我们在写竖式时把140十位上的4和十位对齐，所以个位上的0可以省略不写。 (见图1)两相对比，先用形的直观阐述数的生成，再用数的简洁来总结出计算的算理。这样的教学，是根据学生的思维特点，利用大量的 “形”来探究计算形成的思路，理解算理、提炼算法，不但降低了学习难度，还拓展了学生的思维，养成学生多角度思考问题的习惯，提高了课堂教学效率。

图1

二 、数形结合，借问题促抽象思维的发展

在小学课堂教学中要想让教学活动灵活多样，事半功倍，有的放矢地帮助学生多角度提出问题和解决问题，让学生学会主动有序地去学习，对数学思想的渗透就必不可少。数形结合思想的应用和探究就是需要渗透的数学思想之一。数形结合在小学数学课堂教学中不仅是一个有效的数学思想，也是一种很好的学习方法，更是教师课堂常备的教学手段。他可以把空间形式和数量关系结合起来去分析，感受数与形两者之间的对应关系，并相互转化，从而促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，并顺利归纳出解题思路，达到解决问题的目的。

例如：在教学人教版六年级上册《数与形》时，教师出示：(图2)

图2

问：请你仔细观察这一组图形，你能想到哪些数或式子？学生充分利用已有的知识经验发现图形中隐藏的数或式子，并结合图形解释了这些数或式子表示的含义，生成“1=12、1+3=22、1+3+5=32”这些教学资源，教师又问：“按照这样的规律，下一个图形会是什么样？”学生在拼摆中得到：在外围加7个小正方形，这样摆更有规律，更直观地得到1+3+5+7=42。进一步追问：“不摆，要拼一个更大的正方形，能写算式吗？”学生进行思维迁移，不拼就能得出：1+3+5+7+9=52。最后又问：“你能结合图形解释一下为什么要从1开始加起？……”在一连串的追问、反问中，引发学生对数学知识本质的思考，促进学生走向深度学习，不断地让学生感受数与形的联系，也不断地进行数形对照，体会形中有数，数中有形。学生在经历数学抽象概括的过程中，数形结合的方法自然而然地在心中生根发芽。

三 、数形互补，借数量促逻辑思维的发展

数与形两者相比较，“数”比较抽象，“形”则形象直观，两者各有优势。在教学中，若发现学生对有些数量关系难以理解时，可引导学生借助形的形象和直观的两个特点，画出图形或线段，再根据具体的数量帮助理解数量关系，数和图互相补充，相互说明，以图形或线段为思维材料，通过一定的逻辑进行推理，把抽象化的数量关系形象化，让思维可视。解题思路与思考过程一目了然，那么列式解答自然不在话下，数学问题自然也就迎刃而解了。

例如，在教学人教版五年级下册《分数解决问题》时，有一道关于纯牛奶兑水后的题目：“一杯纯牛奶，乐乐喝了半杯后，觉得有些凉，就兑满了热水。他又喝了半杯，就出去玩了，乐乐一共喝了多少杯牛奶，多少杯水？”[5]问题本身并不是很复杂，但是学生在读题时，感觉有点绕口，而题里的数量关系也比较杂乱，既有纯牛奶，又有纯牛奶和水的混合物，学生很难把混合在一起的牛奶和水之间的关系理清楚，更无法解答。这时，教师就可以引导学生用图或线段图把牛奶和水分开，从而简单明了地表示出它们之间的关系：(见图3)

图3

(2)

四、以数辅形，借拓展引领思维进阶

数形结合百般好，隔裂分家万事休。[6]可见，数与形相互依托，联系特别紧密。教师在教学中不仅仅只考虑形的形象性与数的抽象性，也要想到由形的直观概括出数的严密，更要利用数的严密性，来解释出形的延展性，从而建立数形结合类型题目的解题思路，洞悉挖掘图形的本质，并做到举一反三，实现思维的持续进阶。

例如：在教学人教版三年级上册《怎样拼周长最短》时，分析题意后，教师组织学生利用学具动手操作，将16个边长1分米的小正方形进行拼摆，摆成长方形或正方形，在经历拼一拼、猜一猜、算一算等一系列活动后，师生根据课堂实际操作归纳出表1：

表1 《怎样拼周长最短》归纳表格

有了用16个小正方形拼成的长方形和正方形，学生不管用最直观的数边线的方法，还是直接用(长+宽)×2进行计算都很快求出了他们的周长。根据表格，学生从不同角度观察比较发现：拼成的图形中长宽差的大小与周长息息相关。紧接着，教师带领学生思考：如果用12个小正方形去拼，他们的规律也一样吗？18个呢？学生再次探讨并归纳：用同样个数的小正方形拼成长方形或正方形，拼成的图形中，长宽差越大，他的周长越长；长宽差越小，周长越短，其中正方形的周长最短。[7]

让学生通过猜、拼、算的活动，其实也就运用“猜测—验证”的思维方法。先让学生运用拼图帮助学生解决问题，再用计算出来的具体的数量来诠释图形赋予的内涵，最后用简洁的数学语言进行描述，让结论更形象、更清晰。整个教学过程不但提升了学生的空间观念，也让学生在递进式的探究中顺着问题解决的方向逐步逼近结论，从而拓展了学生的思维。

形少数时难入微，数缺形时少直观。[8]在促进思维发展的课堂中，通过应用数形结合思想，不但可以更新教师的教学观念，改变课堂的学习方式，同时也为学生的思维活动提供丰富直观的素材，让内隐的数学思维外显。