巧用“比较”策略 提升学生的数学思维力——以《外方内圆 外圆内方》教学为例

林梅香

(漳浦县大南坂学校，福建 漳浦 363200)

人教版六年级上册数学的《外方内圆 外圆内方》属于正方形和圆的组合图形的学习，虽然学生已经学过了求组合图形阴影部分的面积，但是让学生在探索外方内圆和外圆内方一般规律的建模过程和直观想象应用中还存在着极大的挑战性。本节课教学内容“多”“深”“广”，难点就是研究两种关系，一个是学生在求外方内圆和外圆内方的面积差时，难以在有限的时间里找到图中隐藏着的条件；另一难点在回顾与反思中，如何引导学生有效发现、求证、表达概括出图形中一般的数学本质规律。[1]主要是学生对圆与正方形的认识更多的只是停留在对圆和正方形单一图形的直观认识上，而不会用联系的眼光去看待这两个图形，特别是外圆内方，由于学生思维的定式，不易找到图形之间内在的联系，更不会将找到的联系合理地运用解决问题。[1]为此，可以尝试运用“比较”策略，以培养学生的推理意识，提升学生的数学思维能力。

比较教学法是指在教学活动中将两个或两个以上的认识对象放在一定的条件下，按照同一标准进行对照比较，从而确定认识对象属性的同异、地位的主次、作用的大小、性能的优劣、问题的难易或认识的正误深浅，以达到辨识、了解和把握认识对象之目的的一种方法。[2]在教学过程中，可以运用“比较”策略，帮助学生找准知识的相同点和不同点，获得规律性的认识，培养学生的推理思维能力。

一、巧妙创设情境进行“比较”，激发学生兴趣

首先运用数学情境来激发学生兴趣。本节课利用视频的方式向大家介绍“天圆地方”，它是“外方内圆”和“外圆内方”的代表作。观看完整个视频后，同学们发现，“外方内圆”和“外圆内方”是“天圆地方”的两种不同的表现方式，它们都与日常的生活息息相关。通过对古代中国建筑的欣赏，发现在中国古代，“外方内圆”和“外圆内方”的雕窗插图是一种非常有代表性的艺术形式，它们不仅展示出我国古代先人的精湛技艺，也为学生提供了一个深入理解古代中国建筑的机会，从而使学生更加深刻地体会到数学的重要性。视频中呈现的这两张图片中，两个圆的直径均为1m，那么问题出来了：大家可以计算出它们相邻区域的总面积吗？说说这两种设计有什么联系和区别？通过这一情景创设实现了学生乐于参与的教学过程，极大地激发了学生学习的兴趣和探索的热情。

学生通过观察比较发现，1：图1的雕塑外表呈方形，内部则是圆形，而图2的雕塑则是圆形，内部则是方形，两者均由圆形和正方形构成。2：两个图形的结构完全相同。应该如何计算圆与正方形之间的面积？

二、动手实践操作中“比较”，培养思维能力

通过实际操作，学生可以更好地感知事物，因此，教师应该充分利用学生的动手体验，帮助学生全身心地投入学习，深刻理解数学知识，培养学生的思维能力。在这个时候，教师不仅仅是在讲解，而是通过实际操作，帮助学生发现问题的特征，并找出知识之间的关联。

学生动手实践操作用学具组合出这两个图形并展示作品。

(图1)

(图2)

学生在操作实物中抽象出图形，这一过程使学生深入体会图形的组合和位置关系，以此了解组合图形面积的生成过程。通过让学生动手操作，学生的认识经历从观察—比较—发现—理解的过程，了解了原理组合图形面积的产生，加深了印象，从中发现两个组合图形的相同点和不同点，为解决问题服务。比较方法的运用，激发了学生关于组合图形的认知，唤醒学生已有的经验，催发知识的生长力，促进学生思维能力的有效发展。

然后通过引导和鼓励，帮助学生进行独立的思维和实践，在遇到困难时，与他人进行有效的交流和合作，从而增强分析、解决问题的能力，并且促进逻辑思维能力的提升。接着分析解答：怎样计算正方形和圆之间部分的面积？需要什么条件？

外方内圆，用S正-S圆，圆的直径就是正方形的边长，S正=(1+1)×(1+1)=4(m2)S圆=3.14×12=3.14(m2)，正方形面积减去圆的面积4-3.14=0.86(m2)；

外圆内方，用S圆-S正，S圆=3.14×12=3.14(m2)，圆的直径是正方形的对角线，正方形的面积是分成两个相同的等腰直角三角形，三角形的底是圆的直径，高是圆的半径，所以正方形的面积可以用三角形面积2倍来计算，即S正=S三×2=(1+1)×1÷2×2=2(m2)，再用S圆-S正=3.14-2=1.14(m2)。

在解决外圆内方求面积的过程中，学生已经掌握了基本的思路，用大图形面积-小图形面积就可以求出面积差。可是这个环节碰到了一个难点，正方形的边长不等于圆的直径，需要用转化的方法来求出。问题是学生自己发现的，小组成员各抒己见，从中经历发现问题—分析问题—解决问题的过程。小组汇报环节，教师启发学生要从已有的“转化思想”为出发点，用以前学过的转化思想，把正方形分成了两个大三角形来计算正方形的面积，引导学生亲身去经历、动手操作、再创造，使结论得来的更加深刻而鲜活。

让学生经历分析推理、计算，在计算中观察比较、思考等学习活动，得出两种组合图形都有共同的特征：求的问题都是两个基本图形面积之差。通过探究两个基本图形的相似性，并利用现存的信息来探究它们的内在联系，可以更好地理解这些概念。在课堂上，教师应该给学生足够的时间和空间，让学生回顾反思，从而理解算法。

师：若两圆半径均为r，结果又是怎样的？联系左边图形一起来算一算

图1：(2r)2-3.14×r2=4r2-3.14×r2=0.86r2。

师：运用类似的方法，你能不能计算出右图中两个图形之间部分的面积呢？

学生练习，反馈讲评。

师：能将题干里的条件r=1m代入上面两式，算一算，还有什么收获？

通过回顾与反思，在验证中比较，引导学生归纳：

1.在正方形内画一个最大的圆，这个圆的直径等于正方形的边长。正方形与圆之间部分的面积是0.86r2。

2.在圆内画一个最大的正方形，这个正方形的对角线的长度等于圆的直径。圆与正方形之间部分的面积是1.14r2。

比较是一种常见的数学思想方法，也是学习数学的有效方式。此时在教学中恰当地运用对比教学，能使学生学得轻松、愉快，学得扎实，从而有效地提高学习效率，实现教与学的双赢。

三、在巩固练习中进行“比较”，培养应用意识

学习某一知识点后，应趁热打铁，及时巩固练习。巩固练习是学生对学习内容的重复接触，是学生学习数学发展思维的一种实践活动，也是师生交流信息的窗口，教师应认真研读教材，精心设计和组织练习，做到精选、多样、多变、巧练。分析时恰当选择合适的对比方法，以帮助学生深入地理解所学知识，并形成基本的数学技能，这也有助于养成讲道理、有条理的思维习惯。

例如在本节课强化练习时设置了这样一道题：

1.在每个正方形中分别画一个最大的圆，并将结果填入以下表格：

正方形的边长1cm2cm3cm4cm正方形的面积圆的面积正方形的面积与圆的面积比

通过让学生计算在多个不同边长正方形内画一个最大的圆，求出正方形的面积和圆的面积，再计算它们的面积比。

同题比较，为了将抽象转化为直观，将数据填入统计表格中。通过利用表格对比的方法观察、总结、计算，让表格在学生的脑海中形成清晰表象，这样，学生很容易发现规律，得出结论，以此培养学生将直观与抽象结合、运算能力、推理意识等数学核心素养，巩固其对外方内圆的认识。引导学生在比较中观察说理、求证，从而进一步发现规律：无论圆的大小如何变化，在正方形内画一个最大的圆，正方形面积和圆的面积比总是4∶π。

追问：如果是在圆内画一个最大的正方形，又会有怎样的关系呢？(见表1)

表1

有的学生根据例题的学习和解题方法马上得出规律：在圆内画一个最大的正方形，正方形面积和圆的面积比是2∶π。无论是学生的发言还是教师的不断追问都是知识内化的过程，在层层深入的探索研究过程中，始终为学生创设问题情境，激发学生思维的活跃性。以问题为核心，立足学生的知识起点，借助学生已有的知识经验，以问题驱动学生探究的欲望，让学习真正发生。学生们凭借原有的认知水平和经验，通过观察、比较、猜想、计算求证，感悟出表格中的这几组图形除了大小发生变化外，其他的似乎又没变，从而联想到图中某些“比” 是不变的。[1]

数学知识点在学习中容易混淆，或概念混淆，或方法混淆，利用对比的方法，能沟通知识间的联系，在探究过程中把知识融会贯通，清晰、有效地进行区分，有助于培养学生整合知识和透过事情表象寻找本质异同的深层分析能力，有效地培养学生数学思维能力和推理意识，轻松地掌握所学的知识。[3]更可贵的是，探究过程中，充盈着学生的积极情感、营造了深入思考和启发创新的学习氛围。

此外，在巩固练习中又设计了另一道题：用两根12.56米长的铁丝，分别围成一个正方形和圆形，他们的面积比是多少？通过阅读分析让学生明白本题12.56米既是正方形的周长，也是圆的周长，根据这一条件可以先分别求出正方形的边长和圆的半径，再进一步分别求出正方形和圆的面积，最后算出他们的面积比。

a=12.56÷4=3.14=π(m)，

S正=a2=π2，r=12.56÷3.14÷2=2(m)，S圆=πr2=4π(m)。

通过列式计算、解决问题从而发现规律：周长相等的正方形和圆的面积比是π∶4。通过阅读分析、计算、比较，让学生明白这道题和前面的例题以及练习题的不同点是：这两个图形不是组合图形，而是各自分开的图形，只是这两个图形已知条件12.56米既是正方形的周长也是圆的周长；而这题的解题方法都是要先分析图形各要素之间的关系，再分别求出正方形和圆的面积，并进行比较，从而得出结论：当正方形和圆形的周长相等时，圆的面积大。

最后采用不同题比较，引导学生在比较中掌握新知识，在比较中掌握解题方法，防止知识混淆，提高辨别能力。通过设计不同的练习，在巩固练习中进行“比较”，引导学生在练习中灵活应用所学规律，并通过丰富的题型训练学生思维的宽度和广度，培养学生的应用意识，提升学生的思维力。

在小学阶段，数学教师应该熟练掌握使用对比的教学技巧。巧妙创设情境进行“比较”，激发学生兴趣；让学生动手实践操作中“比较”，经历观察—比较—发现—理解的过程，培养推理思维能力；在巩固练习中进行“比较”，培养应用意识。重视解法比较，排除负迁移的干扰，巩固正迁移的成果，实现知识迁移，重视结构比较，突出解题规律以及重视图形比较，建立空间观念。[4]

总之，比较策略是教师积极可行的教学策略，在小学数学中善于运用比较策略，能够有效地提高学生数学知识的理解和掌握，强化认知。学生在比较中不断质疑，探寻规律，提高认识，在比较中明确异同，辨析明理，加深对数学知识的理解，提升数学思维力，进而发展数学素养。