针对相干信号DOA估计的改进MUSIC算法*

2023-09-26吴志勇贾凤勤

电讯技术 2023年9期

吴志勇,饶伟,,贾凤勤

(1.江西软件职业技术大学网络工程学院,南昌 330041;2.南昌工程学院信息工程学院,南昌 330099)

0 引言

入射信号波达方向(Direction of Arrival,DOA)估计是阵列信号处理中的一个重点研究内容,已广泛应用于雷达、声呐、地震勘探、移动通信和医疗等领域[1-2]。近几十年来,DOA估计涌现了大量的研究成果,其中多重信号分类(Multiple Signal Classification,MUSIC)法[3]是白噪声下不相关信号DOA估计的经典算法,通过信号子空间与噪声子空间的正交性构造空间谱函数来进行信号DOA估计。但是,该算法需要进行谱峰搜索,所以具有计算量特别大的弊端。

相干信号的DOA估计一直以来都是空间谱估计领域的一个热点和难点问题。要实现对相干信号的DOA估计,首先需要对其进行解相干预处理以恢复相干信号协方差矩阵的秩。为此,学者们提出了许多方法,其中最为经典的解相干方法为空间平滑(Spatial Smoothing,SS)方法[4-8]。SS算法包括前向空间平滑(Forward Spatial Smoothing,FSS)[4-5]算法和前后向空间平滑(Forward/Backward Spatial Smoothing,FBSS)[6-8]算法。SS算法的原理就是将阵列分成多个大小相同的重叠子阵,然后对各子阵列信号协方差矩阵求平均,以恢复协方差矩阵的秩。但是该方法是以减小阵列孔径为代价的,并且不论信号是否相干所能估计的信号数都限制在被减小的阵列(即子阵)孔径内。

与空间平滑策略不同,文献[9]提出了另一种相干信号DOA估计的方法,即通过使用对称阵列传感器获得一个秩与输入信号相干性无关的Toeplitz矩阵。但是该方法并未用到接收信号协方差矩阵的全部信息,估计性能较低。文献[10]提出了一种应用联合对角化策略估计相干信号DOA的方法。使用该方法时不需要知道信源信息(如入射信号数),但是其估计精度较低。文献[11]提出了一种在不知道信源数的情况下进行DOA估计的方法,首先通过构造Toeplitz矩阵来去相关,然后利用Toeplitz矩阵的联合对角化结构推导出了一种DOA估计方法。使用该方法时不需要知道入射信号数,但是在信噪比较低时估计性能不好,并且在阵元数相同的情况下所能估计的信号数较少。文献[12]提出了一种基于Toeplitz矩阵的相干信号旋转不变信号参数估计(Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques,ESPRIT)算法,首先通过特征向量元素与参考元素的相关函数构造Toeplitz矩阵,并通过奇异值分解得到两个信号子空间,最后利用ESPRIT算法估计出相干信号的DOA。但是该算法最后只能利用ESPRIT算法实现DOA估计,所以估计精度方面会受到ESPRIT自身的限制。

为了在不牺牲阵列孔径的同时进一步提升相干信号的DOA估计性能,并且针对MUSIC算法不能有效估计出相干信号DOA的问题,本文提出了一种改进的MUSIC算法,简称为I-MUSIC(Improved MUSIC)算法。其主要思想源于,不管信号相干与否,阵列接收信号矩阵的协方差矩阵的最大特征值所对应的特征向量都是所有信号源导向矢量的线性组合[12-13]。因此,I-MUSIC算法首先选取了信号协方差矩阵的两个最大特征值所对应的特征向量,并利用特征向量中的各元素与第一个元素间的相关函数来构造两个特定的Toeplitz矩阵,然后利用前后向空间平滑的思想得到这两个矩阵的无偏估计并求和,最后利用MUSIC算法从中估计出相干信号DOA。仿真实验结果验证了该方法的有效性。

1 信号模型

本文改进方法采用的是均匀线阵(Uniform Linear Array,ULA),如图1所示。假设该ULA由M个阵元组成,且令第一个阵元位于原点位置,阵元间距为d(d=λ/2,λ为信号波长)。

图1 均匀线阵结构

(1)

式中:x(t)=[x1(t),x2(t),…,xQ(t)]T为Q个阵元接收信号组成的数据向量;a(θi)=[1,e-jπsin(θi),…,e-j(M-1)πsin(θi)]T,1≤i≤Q,表示第i个相干信号对应的阵列导向矢量;A=[a(θ1),a(θ2),…,a(θQ)]为相干信号的阵列流形矩阵,S(t)=[s1(t),s2(t),…,sQ(t)]T为相干信号源向量;n(t)=[n1(t),n2(t),…,nM(t)]T是方差为δ2的高斯白噪声向量,且与所有入射信号源不相关。

阵列接收信号x(t)的协方差矩阵R为

R=E[x(t)xH(t)]=ARSAH+δ2I。

(2)

式中:E[·]表示期望;RS=E[S(t)SH(t)]为入射信号协方差矩阵;I为主对角线为“1”,其余位置全部为“0”的单位矩阵。

2 改进算法

由文献[12-13]可知,无论信号是否相干,信号协方差矩阵R的最大特征值所对应的特征向量都是所有信源导向向量的线性组合。因此,可选择最大的两个特征值λ1和λ2对应的最大特征向量u1和u2来实现去相干。

令

u1=[u11,u21,…,u(M-1)1,uM1]T,

(3)

把上式向量中的第一个元素u11作为参考元素,则u11与各元素的相关函数表示为

(4)

进而可得

[r(0),r(1),…,r(M-1)]=

(5)

同理,用r(-k+1)表示各元素与u11的相关函数为

(6)

进而可得

[r(-M+1),r(-M),…,r(0)]=

(7)

由式(5)和式(7)构建一个新的Toeplitz矩阵Y1:

(8)

式中:r(k-1)=r*(-k+1)。

对于Toeplitz矩阵Y1,可利用前后向空间平滑思想构造其对应的无偏估计矩阵[14-16]:

(9)

式中:J是M×M的交换矩阵,即副对角线元素为“1”,其他元素全部为“0”的矩阵。

选取u2中的第一个元素u12作为参考元素,并按照上述相同的步骤可得到矩阵YY2,即

[r′(0),r′(1),…,r′(M-1)]=

(10)

[r′(-M+1),r′(-M),…,r′(0)]=

(11)

(12)

(13)

根据式(9)和式(13)构建新的矩阵:

Y=YY1+YY2。

(14)

由文献[10]、[12]和[17]可知,因为矩阵Y1和矩阵Y2是Toeplitz矩阵,经过变换后的矩阵YY1和YY2也是Toeplitz矩阵,进而矩阵Y也是Toeplitz矩阵,所以rank(Y)=Q,即Toeplitz矩阵Y的秩等于相干信号的个数。并且由文献[18]和[19]可知,新方法构造出的Toeplitz矩阵Y中同样包含了各入射信号的波达方向信号,所以矩阵Y可以等效成相干入射信号的新协方差矩阵,因此可以通过协方差矩阵Y估计出相干信号的DOA,并且该矩阵的秩等于入射信号数,对应的阵列阵元数仍为M,即没有阵列孔径的损失。

接下来,利用MUSIC算法从Toeplitz矩阵Y中估计出相干信号DOA。

对矩阵Y进行特征值分解可以得到

(15)

式中:U=[u1,…,uM];Σ=diag{λ1,…,λM},λ1≥…≥λQ>λQ+1=…=λM=σ2,其中diag{·}表示对角矩阵;Uss=[u1,…,uQ];Σss=diag{λ1,…,λQ};Unn=[uQ+1,…,uM];Σnn=diag{λQ+1,…,λM}。Uss的列张成的信号子空间与入射信号的导向矢量A的列张成的是同一个空间,并且信号子空间正交于由Unn的列张成的噪声子空间,因此,MUSIC算法的空间谱函数为

(16)

对式(16)进行谱峰搜索,其谱峰位置点处即为相干入射信号DOA。

综上所述,本文提出的I-MUSIC算法步骤可归纳为图2。

图2 相干信号的改进MUSIC算法步骤

3 仿真实验

对于接收到的多个信号,一般可以用信号之间的互相关系数衡量它们之间的关联程度。信号si(t)和sj(t)之间的相关系数可以表示为

(17)

相关系数满足|ξij|≤1。当|ξij|=0时,称si(t)与sj(t)不相关;当0<|ξij|<1时,称si(t)与sj(t)相关;当|ξij|=1时,称si(t)与sj(t)相干。

仿真1 将I-MUSIC算法与MUSIC算法、FSS算法、FBSS算法和文献[12]的算法进行仿真对比。设置3个相干信号,且入射角分别为-20°,5°,40°。阵列的阵元间距为半波长,阵元数为8,信噪比(signal-to-Noise Rasio,SNR)的定义为信号能量与噪声能量的比值[20],信噪比越大表示信号的能量越大,噪声越小,在进行实验仿真时效果越好。这里将信噪比设置为10 dB,快拍数为500,则各算法对信号DOA估计结果如图3和表1所示。

图3 I-MUSIC、MUSIC、FSS、FBSS算法的DOA谱估计

表1 文献[12]算法信号DOA估计结果

由图3和表1可以看出,当信号为相干信号时,MUSIC不能有效的估计出3个相干信号,而I-MUSIC算法、FSS算法、FBSS算法和文献[12]算法可以很好地估计出所有的相干信号,且在谱估计算法中I-MUSIC的峰值更尖锐,性能最优。由于文献[12]算法是采用ESPRIT进行DOA估计的,所以这里采用表格的形式对信号DOA结果进行展示。

仿真2 设置3个相干入射信号,且角度分别为0°,7°,30°。阵列的阵元间距为半波长,阵元数为8,对比I-MUSIC算法、FSS算法、FBSS算法和文献[12]算法的DOA估计性能。为了更直观地查看各算法的性能优劣,这里采用了各算法DOA估计时的均方根误差(Root Mean Square Error,RMSE)随SNR和快拍数变化的频谱图进行展示。RMSE定义为

(18)

1)相干信号的DOA估计性能随SNR变化

固定快拍数为200,信噪比SNR从-10 dB变化到20 dB,各算法在对入射相干信号进行DOA估计时的RMSE如图4所示。

图4 相干信号DOA估计的RMSE随信噪比的变化

由图4可以看出,针对入射相干信号的DOA估计,I-MUSIC算法的估计性能在各信噪比下均优于其他算法,尤其是在信噪比较低的情况下优势更为明显。

2)相干信号的DOA估计性能随快拍数变化

固定信噪比为5 dB,快拍数从50变化到400,各算法在对入射相干信号进行DOA估计时的RMSE如图5所示。

图5 相干信号DOA估计的RMSE随快拍数的变化

由图5可以看出,针对相干入射信号的DOA估计,本文所提的I-MUSIC算法估计性能在各快拍下均优于其他算法。

仿真3 设置7个相干信号,且入射角分别为-60°,-40°,-20°,0°,20°,40°,60°,阵元数为8,信噪比为10 dB,快拍数为500,验证I-MUSIC无阵列孔径损失。I-MUSIC算法、FSS算法、FBSS算法的信号DOA谱估计结果分别如图6和图7所示,文献[12]算法的信号DOA估计结果如表2所示。

(b)FSS算法的DOA谱估计

(c)FBSS算法的DOA谱估计图6 8个阵元7个相干入射信号时I-MUSIC、FSS、FBSS算法的DOA谱估计

图7 8个阵元7个相干入射信号时I-MUSIC、FSS、FBSS算法的DOA谱估计

表2 文献[12]算法对所有信号的DOA估计结果

对于M个阵元组成的阵列,FSS算法最多能够识别出⎣M/2」个相干入射信号[7],FBSS算法最多能够识别出⎣2M/3」个相干入射信号[7],均存在阵列孔径损失,因此它们在此仿真实验中(M=8)均无法成功识别出7个相干入射信号,如图6(b)、(c)所示。但I-MUSIC和文献[12]算法一样,由于没有牺牲阵列孔径,所以均能成功识别出最多M-1 = 7个相干入射信号,如图6(a)和表2所示。由于文献[12]算法是采用ESPRIT算法进行DOA估计的,所以这里采用表格的形式对DOA结果进行展示。

值得注意的是,虽然文献[12]算法和本文改进算法一样不存在孔径损失,但其DOA估计性能不及本文算法。并且由于本文I-MUSIC算法与FSS算法以及FBSS算法都是利用MUSIC算法进行DOA估计的,都需进行谱峰搜索,所以计算复杂度相类似。文献[12]算法是利用ESPRIT算法进行DOA估计的,尽管I-MUSIC算法在计算复杂度方面稍逊于文献[12]算法,但是由于文献[12]算法只能使用ESPRIT算法进行DOA估计而不适用于MUSIC算法,所以不能将其运用到MUSIC算法中进一步提升DOA估计性能。