解答三角形最值问题的几种措施

何永安

三角形最值问题对同学们的运算以及逻辑推理能力有较高的要求.此类问题通常侧重于考查正余弦定理、三角函数的定义、三角函数的单调性、基本不等式等.本文结合一道三角形最值问题，谈一谈解答此类问题的常用措施.

该解法主要運用了正弦定理，根据角之间的关系进行三角恒等变换，得到[tanA=3tanB]，再根据正弦函数的有界性求得最值.我们还也可以根据正切函数的定义和勾股定理，在[RtΔBDE]中，求得[tanB=DEBE=CF3AF]，在[RtΔACF]中，求得[tanA=CFAF]，从而得出[tanB=13tanA]，再根据正弦函数的有界性求得最值.利用三角函数的性质求解三角形最值问题，关键是将目标式化为关于角的三角函数式，并将其化简为只含有一种三角函数名称的式子，就能根据三角函数的有界性和单调性顺利求得最值.

三、构建坐标系

运用坐标法求解三角形最值问题，需先根据三角形的特征，建立合适的平面直角坐标系：可以三角形的一条底边为坐标轴，以一个顶点或底边的中点为原点；也可以三角形底边为x轴，底边的中垂线为y轴来建立坐标系.在建立坐标系后，求得各个点的坐标，再运用两点间的距离公式、直线的斜率公式和方程、三角函数的定义来求得角、边长以及目标式，最后运用函数的性质、三角函数的性质、基本不等式求最值.

根据等腰三角形三线合一的性质，过点O作[DO⊥AB]，以O为原点，AB为x轴，OD为y轴建立平面直角坐标系[xOy]，即可快速求得D、C的坐标.再用角B的三角函数表示出[tanAcos2B]，便可根据正弦函数的有界性求得问题的答案.

求解三角形最值问题的思路较多，无论运用哪种思路解题，都需灵活运用正余弦定理进行边角互化，求得目标式，然后根据目标式的结构特征，选用合适的方法求最值.