在做中深入理解概念的本质

李林环

［摘 要］“做数学”是学生感知数学概念、建构数学概念、理解概念本质的直接方式，也是新课程改革倡导的有效学习方式之一。在“圆的认识”教学中，教师设计用实物拓画圆、用拉绳试画圆、用圆规试画圆、自由选择画圆等活动，引导学生亲身经历探究的过程，在具体的实践操作中深入感悟圆的构造、理解圆的本质，积累丰富的数学活动经验，让学生对数学学习充满兴趣，实现提升学生数学核心素养的目标。

［关键词］画圆；感悟；本质；做数学

［中图分类号］ G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-9068（2023）24-0042-03

教学“圆的认识”一课，教师围绕圆设计一系列的“做数学”活动，如看圆、做圆、画圆、欣赏圆等。通过不同的实践活动，可以让学生深入地理解圆的构成，掌握圆这一知识点，并能较好地理解圆的要义——它是一个完全封闭的曲线图形，是一个从定点到曲线上任意点同长的图形。下面，笔者结合不同的实践活动，就如何在活动中引导学生较好地感悟圆的构造、理解圆的本质，简略谈谈几点做法。

一、用实物拓画圆，感知圆是曲线图形

圆在小学阶段是一个特殊的知识点，因为它有别于学生经验中早就存在的长方形、正方形、梯形等图形。尽管在一年级的“认识图形”中，学生初步认识了圆、圆柱和球，但对这些知识点仅仅处于了解层面，并没有真正触及知识的内核。为此，笔者在教学中通过具体的实物，引导学生更好地感知圆的存在，并通过用实物拓画圆的活动，帮助学生体会圆是“由曲线围成的图形”这一知识要点。

师：我们观察了这么多的图形，也说出了很多身边的圆，想不想利用自己准备好的学具，创造出一个漂亮的圆？

（学生对此充满兴趣，迫不及待地想要尝试）

生1：沿着茶杯盖子画一圈，就能得到一个圆。

生2：我用一元的硬币画出了一个圆。

生3：我用胶带中间的那个硬纸板圆圈，也画出了一个圆。

生4：我用圆形的学具画出了一个漂亮的圆。

生5：我可以用一根硬铁丝拴住一支铅笔转一圈，画出一个圆。

师：回忆自己画圆的过程，思考一下，圆是一个什么样的图形？它给你最明显的感觉是什么？

生6：圆的边不像长方形、正方形那样是直直的，而是一条弯弯的线。

生7：圆的边是弯曲的，但画出来后感觉蛮圆滑的，整个图形很漂亮。

生8：画圆时要仔细、认真，不然就会画歪曲。

生9：我怎么感觉圆有点怪怪的。你们看，它没有顶点，也看不到角。

师：经过讨论交流，结合自己的思考，谁能比较简洁地说出自己对圆的理解？

生10：圆是一个曲线图形。

生11：圆的边不是直线，而是弯曲的。

师：看来，同学们对圆的认识还是蛮丰富的。大家想不想结合以前认识长方形、三角形、平行四边形等平面图形的经验，对圆做一个较为合理的解释或归纳呢？

……

“数学源于生活，用于生活，高于生活”，所以数学教学应该贴近学生的生活现实、已有的知识经验。上述教学，笔者紧扣用实物拓画圆这一主旨，一方面，激活学生对圆的已有认知；另一方面，让学生在具体的用实物拓画圆中，感受圆的边不是直线构成的，而是弯曲的，帮助他们初步形成圆是曲线图形的感知。通过用实物拓画圆的活动，能够帮助学生更好地理解圆的构造：它不像三角形、梯形、正方形等平面图形，边是一条直直的线段，有顶点；圆是没有直的边，也没有顶点的。这样教学，能使学生更好地联系旧知进行探究性学习，体会圆的特殊之处，对几何初步知识的学习更加理智。

二、用拉绳试画圆，掌握圆的基本要点

圆在中国古代数学文献中是这样描述的：“一中同长。”何为“一中同长”？“一中”就是指一个圆的圆心是唯一的，也是确定圆的位置的根本要素；“同长”就是指圆心到圆上任意点的距离都是相等的。为此，笔者在教学中设计了一个体验活动——用拉绳试画圆，即让学生在拉绳、定位等具体翔实的活动中，初步感知“一中同长”的基本要义。这样能让学生较好地掌握圆的基本要点，为建构圆的数学模型提供认知支持，进一步拓展思考空间。

师：刚才是用具体的圆形物品来拓画圆的，你在生活中还见过这样的画圆方法吗？

课件呈现：体育老师在操场上用一条较长的绳子，画出了一个大大的圆。

生1：见过，我们体育老师也这样画过圆。

生2：园林工人在修剪草坪时，也先用绳子画出一个圆，再修剪草坪，这样可以修剪出漂亮的圆形图案。

师：你认为在这样的画圆活动中，哪些材料是必备的？

生3：固定绳子用的木桩，还有一定长度的绳子。

师：是不是给这样的材料，你就能画出圆来呢？材料袋中就有相关的材料（有图钉、棉线等），你们能用这些材料画出一个圆来吗？小组合作试一试。

（学生进行画圆，并把自己的思考和操作过程在小组中交流）

生4：我先用圖钉把棉线的一端固定在小木板上，再在棉线的另一端捆绑好一支红笔，然后拉动红笔在木板上转一圈，就得到了一个圆。不过，这个圆不是很漂亮。

师：方法基本正确。可为什么有的同学画出的圆比较圆润、光滑，而有的同学画出的圆却是歪歪扭扭的呢？先看一下视频，再进行分析。

（课件播放用图钉画圆的具体过程）

生5：我发现要画好一个圆，首先要把图钉固定牢，不能晃动，不然图钉一晃动，画出的线就会歪曲；其次，一定要把棉线拉紧、绷直，不然一会儿画的短些，一会儿画的长些。

师：你的分析很透彻。可为什么要这样做呢？

生6：将图钉固定牢，就是保证圆心的位置不会发生变化。

生7：绳子不能松，就是保证红笔与图钉之间的距离是固定不变的，要不然就会时长时短了。

师：你们真是一群爱观察、爱动脑筋，更会动手实践的聪明孩子！那你们知道这些注意点，在数学上又是怎样表述的吗？请仔细观察视频，并认真阅读相应的解说词。

（课件播放拉绳画圆的视频，呈现圆的基本要素）

……

用拉绳法画圆，远比用实物拓画圆要复杂得多，能让学生体会到图钉的具体作用，发现图钉的位置决定了整个圆的位置。同时，学生感悟到笔与图钉之间的距离越大，画出的圆就会越大；反之，就会变小。这样的活动还能帮助学生较好地感知圆的圆心、半径等基本要素，明白这些要素与拉绳画圆之间的内在联系。通过具体的操作、反思与交流等活动，让圆的定点、定长变得不再神秘，而是清清楚楚地呈现在学生的眼前，使学生获得最为真切的学习体验。

三、用圆规试画圆，感悟圆的本质属性

用圆规画圆是一种最直观，也是最有效的画圆方法。这样既能呈现拓画圆的圆润与完美，又能呈现拉绳画圆的基本原理，更好地展现圆的基本属性，从而最大限度地丰富学生对圆的认识。同时，还能在具体的画圆活动中孕伏圆的诸多属性，对学生建构圆的数学模型大有裨益。

师：如何克服拓画圆、拉绳画圆等方法中的不足呢？该如何选择画圆的工具呢？

生1：用圆规，它能更好地画出圆来。

师：是吗？你会使用圆规画圆吗？自己试试，并把画圆的过程和想法告诉你的同伴。

（学生用圆规试着画出不同的圆）

生2：先把圆规的钉脚固定在一点，再叉开另一只铅笔脚，将它在纸上旋转一周，就能画出一个圆。

师：你的描述很精彩。圆规有两只脚，分工不同，作用也不一样。

生3：是的。圆规的钉脚是固定用的，铅笔脚是画圆用的。

生4：圆规的钉脚是不动的，铅笔脚会走路。

生5：圆规两脚之间的距离决定了圆的大小，这也是圆的半径。

师：不错！圆的半径在哪里？有几条？它们的长度关系又是怎样的？

生6：圆心到曲线上的连接线段，就是圆的半径；一个圆中，半径有无数条，它们都是圆规两脚之间的距离，是一样长的。

师：你能画出一个半径是2厘米的圆吗？

（学生尝试用圆规画圆）

生7：先把圆规两只脚的距离调整为2厘米，再画圆，这样就能画出半径是2厘米的圆了。

生8：我明白了。圆规两脚之间是几厘米，画出的圆的半径就是几厘米。

……

指导学生用圆规画圆，不只是为了完成教学任务，还要帮助学生掌握重要的数学技能，丰富他们的数学活动经验。为此，在教学中，笔者首先组织学生开展自主使用圆规的活动，让学生在练习纸上用圆规画出自己认可的圆。通过观察圆规、使用圆规画圆的活动，帮助学生更加直观地认识圆，学会用自己的方式去解读圆的构成。其次，组织画圆的交流活动，让学生的感性经验、活动经验得以丰富，较好地帮助学生理解圆的本质。最后，引导学生画出指定的圆，让整个学习活动跃升为学以致用的境界，显得自然、高效，富含智慧。

四、自主选择画圆，促进圆的认知构建

教师需要深入钻研数学教材和课程标准，精心打磨教学细节，创设具有探究性的问题情境，促使学生积极开动脑筋，在思维碰撞中迸发出灵感，在获得解决问题方法的同时，实现有效学习的构建。如在本课的画圆活动中，笔者开展自主选择画圆活动，让学生在具体的操作中感悟圆的本质，建立圆的表象。

师：学习了这么多的画圆方法，你最喜欢哪一种，或是你还有什么不一样的画圆方法？

生1：我有一种新的方法。就是用一条细细的小木条，将它的一端用图钉固定在纸上，另一端绑好一支铅笔，这样旋转一圈，也可以画出一个圆。

师：是有这样的方法。那你能根据自己的画法，以及工具的使用，解释一下有关圆的知识点吗？

生2：那个图钉固定的点就是圆的圆心，图钉与铅笔之间的距离就是圆的半径，一圈的曲线就是圆的周长。

生3：看来，使用圆规画圆最方便，要大要小都可以，比用木条画圆方便。

生4：是的，圆规是画圆的最好工具。当圆规的钉脚确定下来，圆心也就定下来了，把铅笔脚调整一下，就可以画出大小不一样的圆了。

生5：圆规两脚之间的距离就是圆的半径。

生6：从圆心开始画一条线段，另一个端点在圆上，它就是圓的半径。

生7：这样的线段有无数条，所以圆的半径有无数条，且它们的长度都是相等的。

生8：如果把这条线段向另一边延长，也把端点落在圆上，就变成了圆的直径。同样，这样的线段也有很多条，长度也是相等的。

生9：我们在折叠的过程中发现，圆的直径就是圆的对称轴，这说明圆是轴对称图形。

生10：圆有无数条对称轴，它们都是圆的直径。

……

有效的认知建构需要丰富的学习经验来支持，这样的数学学习才是智慧的、富有生机的。结合上述教学可以看出，教师引导学生进一步探究不一样的画圆方法，并给予学生自由探究的空间，他们就能够迸发出个性化的思维火花，让整个教学活动变得有灵性、厚实。同时，这也为学生的认知建构奠定了坚实的基础，使学生对圆的认知更加清晰，相应的认知表象建立也愈发牢固。

综上所述，基于不同画圆活动的开展，以及学生的自主探究活动，不仅能帮助学生更有效地感知圆、感悟圆的构成元素以及圆的本质属性，还有利于学生把画圆的活动体验与圆的学习紧密联系起来，使得整个教学活动层层递进，不断深化学生的感悟。特别是不同的画圆活动，能够帮助学生借助可视的、可触摸的实物，提炼出有价值的数学信息，并在交流讨论中促进思考的深入，最终让学生积累更加有意义的数学活动经验，提升他们的数学核心素养。

［ 参 考 文 献 ］

[1] 周丽.抓系统设计  促智慧生成：《圆的认识》和《认识平年和闰年》两份网络教研团队作品评析[J].中国信息技术教育，2019（Z1）：23-25.

[2] 方芳.重视活动经验，凸显概念本质：《圆的认识》教学与思考[J].教育视界， 2018（12）：49-52.

[3] 王茜. 在文化的脉络中理解概念：《圆的认识》教学设计与思考[J]. 教育视界， 2018（12）：55-58.

（责编 杜 华）