对一道最值问题的解法的探究

胡紫薇

最值问题具有较强的综合性，侧重于考查同学们的运算和数学思维能力.解答最值问题的方法很多，常用的有利用基本不等式、利用二次函数的性质、利用三角函数的性质以及导数法等.下面就以一道题为例，谈一谈解答最值问题的方法.

一、三角换元法

三角函数的单调性和有界性是解答最值问题的重要工具.在求最值时，可先根据同角的三角函数关系式将变量替换成三角函数，将目标式化为三角函数式；然后利用三角恒等变换的技巧，将三角函数式化简为只含有一种函数名称，如正弦、余弦、正切函数的式子，再利用三角函数的单调性和有界性求最值.

二、利用简单基本函数的单调性

在解答最值问题时，我们通常可通过换元、消元，将问题转化为简单基本函数的最值问题，利用简单基本函数，如一次函数、二次函数、指数函數、对数函数、幂函数的单调性来求最值.

三、利用基本不等式

四、利用导数法

运用导数法解答最值问题，需先对目标式求导；然后讨论导函数与0的大小关系，从而根据导函数与函数单调性之间的关系判断出函数的单调性，进而根据函数的单调性求出函数在定义域内的最值.

以上四种方法都是解答最值问题的重要方法.求解最值问题，不仅可以运用不等式知识，还可以从函数、三角函数、导数等角度进行思考，寻找到更多、更好的解题方法.

（作者单位：江苏省大丰高级中学）