一类抽象函数问题的解法探究

卓丽霞　林敏

［摘 要］对以抽象函数为背景，融合原函数和导函数的一类抽象函数问题的探究，关键是抓住函数的本质进行转化，从中培养学生的数学抽象能力和逻辑推理能力。

［关键词］抽象函數；解法；探究

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2023）17-0021-03

函数性质的研究是高中数学课程的重要内容之一，近几年的高考数学试题从多角度考查函数的性质，对学生的数学抽象能力、逻辑推理能力及综合应用所学知识分析问题与解决问题的能力都提出了较高的要求。《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出：“数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养。主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学语言予以表征。”

对于抽象函数的考查，多数以考查函数的奇偶性、周期性、对称性为主，往往可以通过特殊函数判别，但若在考查抽象函数的试题中引入导函数，加上多选题的题型设置，对学生的转化与化归能力就提出了更高的要求。这种题型的解题关键是要抓住函数的本质特征，对原函数和导函数进行相互转化，从中抽象出所要求的函数的性质。

一、几个结论

函数的奇偶性、对称性和周期性是函数的重要性质，在对试题的探究过程中经常会用到以下几个一般性的结论。

结论1：设函数[f（x）]的定义域为[R]，

①若[f（x）]关于（a，b）对称，则[f（a）=b]。

②若[f（x）]关于（a，a），（b，b）对称，其中[b>a]，则[f（x）]关于[（2b-a，2b-a）]对称。

证明：①因为[f（x）]关于（a，b）对称，则[f（2a-x）=2b-f（x）]，又函数[f（x）]的定义域为[R]，令[x=a]代入式子得[f（a）=b]。

②因为[y=f（x）]关于[（b，b）]对称，则[f（2b-x）+f（x）=2b]，其中[x]用[2a-x]代得，[f（2b-2a+x）+f（2a-x）=2b]。又[f（x）]关于[（a，a）]对称，于是[f（2a-x）+f（x）=2a]，则[f（2b-2a+x）=f（x）+2b-2a]，其中[x]用[x+2b]代得，[f（4b-2a+x）=f（x+2b）+2b-2a]。又由[f（2b-x）+f（x）=2b]得，[f（2b+x）=2b-f（-x）]，从而有[f（4b-2a+x）+f（-x）=4b-2a]，即[f（x）]关于[（2b-a，2b-a）]对称。

结论2：设函数[f（x）]及其导函数[f（x）]的定义域均为[R]，记[g（x）=f（x）]，

①若[f（x）]关于直线[x=a]对称，则[g（x）]关于[（a，0）]对称。

②若[f（x）]关于[（a，b）]对称，则[g（x）]关于直线[x=a]对称。

③若[g（x）]关于[x=a]对称，则[f（x）]关于[（a，b）]对称。

④若[g（x）]关于[（a，0）]对称，且存在[x0∈R]，使[f（x0）=f（2a-x0）]则[f（x）]关于直线[x=a]对称。

证明：①因为[f（x）]关于直线[x=a]对称，则[f（2a-x）=f（x）]，由复合函数求导得[f（x）=-f（2a-x）]，即[g（x）=-g（2a-x）]，所以[g（x）]关于[（a，0）]对称。

特殊地，若[f（x）]为偶函数，则[g（x）]为奇函数。

②因为[f（x）]关于[（a，b）]对称，则[f（2a-x）=2b-f（x）]，由复合函数求导得[f（x）=f（2a-x）]，即[g（x）=g（2a-x）]，所以[g（x）]关于[x=a]对称。

特殊地，若[f（x）]为奇函数，则[g（x）]为偶函数。

③因为[g（x）]关于直线[x=a]对称，则[g（2a-x）=g（x）]，即[f（x）=f（2a-x）]，所以[f（x）=2b-f（2a-x）]，则[f（x）]关于[（a，b）]对称。

特殊地，若[g（x）]为偶函数，则[f（x）]不一定为奇函数。例如[g（x）=cosx+1]，则[f（x）]的解析式可以为[f（x）=sinx+x+1]，满足[g（x）=f（x）]，但[f（x）]不是奇函数。

④因为[g（x）]关于[（a，0）]对称，则[g（x）=-g（2a-x）]，即[f（x）=-f（2a-x）]，所以[f（2a-x）=m+f（x）]，将[x=x0]代入解得[m=0]，所以[f（2a-x）=f（x）]，则[f（x）]关于直线[x=a]对称。

特殊地，若[g（x）]为奇函数，则[f（x）]为偶函数。

推广到一般情况：若[g（x）]关于[（a，b）]对称，则[f（x）]不一定关于直线[x=a]对称。

证明：由[g（x）]关于[（a，b）]对称可得[g（x）=2b-g（2a-x）]，即[f（x）=2b-f（2a-x）]，所以[f（2a-x）=m+2bx+f（x）]，则[f（x）]不一定关于直线[x=a]对称。

结论3：

①设函数[f（x）]及其导函数[f（x）]的定义域均为[R]，记[g（x）=f（x）]，若[f（x）]是以[T]为周期的函数，则[g（x）]也是以[T]为周期的函数。

②设函数[f（x）]及[g（x）]的定义域均为[R]，[f（x）+g（x）=m]，若[f（x）]是以[T]为周期的函数，则[g（x）]也是以[T]为周期的函数。

证明：①由[f（x）]是以[T]为周期的函数得[f（x+T）=f（x）]，求导得[f（x+T）=f（x）]，即[g（x+T）=g（x）]，即[g（x）]也是以[T]为周期的函数。

说明：若[g（x）]是以[T]为周期的函数，则[f（x）]不一定是周期函数。

由[g（x）]是以[T]为周期的函数可得[g（x+T）=g（x）]，即[f（x+T）=f（x）]，则[f（x+T）=f（x）+m]，当[m=0]时，[f（x）]是以[T]为周期的函数；当[m≠0]时，[f（x）]不是周期函数。

②由[f（x）]是以[T]为周期的函数得[f（x+T）=f（x）]，又因为[g（x）=m-f（x）]，则[g（x+T）=m-f（x+T）=m-f（x）=g（x）]，所以[g（x）]也是以[T]为周期的函数。

二、解题探究

［例1］已知函数[f（x）]及其导函数[f（x）]的定义

用特殊函数解决这类问题，一方面由于多选题选项的设置，可能会误选了个别选项；另一方面在平时教学中，由于特殊函数不具备一般性，若只以特殊函数来解决这一类型的函数问题，过程不严谨，应该抓住本质。本题的解答把函数和导函数性质之间的关系进行转化并抽象出一般的函数性质，培养学生的推理论证能力、概括抽象能力以及函数与方程的思想、转化与化归思想，提高学生的思维严谨性。

［例2］设定义在[R]上的函数[f（x）]与[g（x）]的导函数分别为[f（x）]和[g（x）]，若[g（x）=f（2x-1）-2x]且[f（x）]与[g（x+1）]均为偶函数，则下列说法中一定正确的是（ ）。

[A.] [f（1）=1]               [B.] [f（2023）=2023]

评注：本题以[g（x）=f（2x-1）-2x]这个关系式作为载体，本质上还是探究原函数和导函数之间的关系。对于这种类型的题目，特殊的函数就不好确定，那么如何将原函数的性质转化到导函数的性质就是关键，可以善用以下两点：一个是复合函数的求导法则；二是函数图象的平移伸縮变换，在进行图象变换的同时，函数的对称轴或者对称中心也进行了相应的变换。

［例3］已知函数[f（x）]，[g（x）]的定义域为[R]，[g（x）]为[g（x）]的导函数，且[f（x）+g（x）-10=0]，[f（x）-g（4-x）-10=0]，若[g（x）]为偶函数，则下列一定成立的有（ ）。

[A.] [f（2）=10]                [B.] [f（4）=10]

[C.] [f（-1）=f（-3）]       [D.] [f（2023）=0]

解：若[g（x）]为偶函数，即[y=g（x）]图象关于[x=0]对称，由结论2中①得，[y=g（x）]图象关于[（0，0）]对称，[y=g（4-x）]图象关于[（4，0）]对称。又[f（x）+g（x）-10=0]，即[f（x）=10-g（x）]，则[f（x）]的图象关于[（0，10）]对称，由结论1中①得[f（0）=10]。因为[f（x）-10=g（4-x）=-g（x）=g（-x）]，所以[g（x）]是以[4]为周期的函数，由结论3中②得，[y=f（x）]是以[4]为周期的函数。又由结论3中①得，[y=f（x）]也是以[4]为周期的函数。由[g（4-x）=-g（x）]，令[x=2]得，[g（2）=0]，则[f（2）=10-g（2）=10]，故选项[A]正确。由[f（0）=10]和[f（x）]是以[4]为周期的函数得[f（4）=10]，故选项[B]正确。由[f（x）]的图象关于[（0，10）]对称和结论2中②得，[f（x）]关于[x=0]对称，所以[f（-1）=f（3）=f（-3）]，故选项[C]正确。[f（2023）=f（4×505+3）=f（3）]，当[f（3）≠0]时，[f（2023）≠0]，故选项[D]错误，应选[A、B、C]。

评注：该题给出两个函数的原函数和导函数的两个关系式，呈现出开放、综合、灵活、多样的特点，教学时需要解决两大关键问题：数学抽象和逻辑推理。从例2中一个函数的原函数和导函数的关系拓宽到两个函数，提升了高度，挖掘了深度，进一步加强学生关键能力的培养和提升。

抽象函数问题是一类综合性比较强的问题，抽象性强，灵活性大，试题入口广，对于数学抽象能力不足的学生可以寻找具体的函数模型，也可以借助函数图象通过观察和分析图象的特征得到函数的性质，但碰到具体函数模型或者图象不好确定时，学生还可以通过代数运算，将不同的函数联系起来，利用已有的结论对原函数与导函数的奇偶性、对称性、周期性进行分析，从而解决这一类型问题，让不同层次的学生在面对这一类抽象函数问题时，都能得到解题的思路和方法，促进学生数学抽象能力和逻辑推理能力的发展。

［   参   考   文   献   ］

［1］  中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准：2017年版2020年修订［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］  莫定勇，唐小荣，吴万兴.引导教学：彰显高考试题的核心价值［J］.中学数学教学参考，2022（28）：33-34.