导杆式万向节的运动分析及仿真

张 铮，胡凌辉，熊盛辉，胡新宇

（湖北工业大学机械工程学院，湖北 武汉 430068）

1 引言

在现有的万向节中，十字万向节在两节或两节以上使用时受到轴向压力［1］，由于无法限制输入轴与输出轴的夹角，运动过程中会过度弯折，从而使万向节无法正常工作，十字万向节输入轴与输出轴具有不等速性，在输出端对转动匀速性要求较高的场合不适用，球笼式万向节输入输出轴虽具有等速性［2］，但无法传递轴向力。在一些特殊的工作场所中，万向节两端或一端的位置是非固定的，在传递扭矩的过程中需要传递一定的轴向力且需要输入轴和输出轴间的间距不发生较大的变化，如螺旋前进的多节管道机器人、需要传递扭矩的多节小车以及其他一些传递扭矩的同时要传递轴向拉力或轴向压力的地方，常用的万向节中无法限制输入轴与输出轴夹角，在多节同时使用到的情况下如受到轴向压力，会形成较大的夹角，从而使传动效率大大降低，无法满足正常工作的要求。针对这种对传动平稳性要求较高且轴向载荷对万向节的正常工作不产生影响的情况，设计了一种三导杆的万向节装置，结构简单紧凑，输入轴和输出轴具有良好的等速性，从运动学的角度进行了分析求解，对万向节的导杆与输入轴间距、导杆行程、铰接点带导杆行程端点距离和输入轴与输出轴最小夹角等主要参数及参数运动特征之间的关系进行了推导和对各部件进行了仿真受力分析，并在此基础之上进行了实验，验证了理论推导的正确性以及该方案的可行性。

2 导杆式万向联轴器的结构分析

恒等速三导杆式万向节装置的结构图，如图1所示。该装置的输入轴输出轴整体上呈对称结构，其输入轴的尾部有一个轴承座，轴承座上设计3个呈120°均布的三个圆形轴承孔，轴承孔的轴线和输入轴的轴线平行，三个轴承孔内放置有直线轴承，导杆安装在轴承上。该装置的输出轴结构与输入轴结构相似，输入轴的三个导杆与输出轴的三个导杆在端部通过销钉铰接。导杆一端设计为凸台结构，另一端设计有螺纹结构，螺母可在导杆尾端的螺纹进行前后调节距离，在旋转过程中导杆做往复直线运动，凸台和螺母为导杆两端的限位点，螺母与凸台之间的距离减去圆盘的厚度就为导杆的实际行程，在输入轴与输出轴处于最小夹角传递时，导杆旋转到夹角最外端时，导杆完全伸出，此时导杆尾端的调整螺母与圆盘接触限位；导杆旋转到夹角最里端时，导杆完全缩回，此时导杆头部的台阶面与轴承座接触限位，输入轴每旋转一周，导杆来回做一次往复运动，在万向节实际的应用中，可根据实际工作环境的需要，来调螺母在导杆上的位置来调整导杆的行程来改变输入轴与输出轴之间的最小夹角。

图1 导杆式万向节结构简图Fig.1 Schematic Diagram of Guide Rod Type Universal Joint

在导杆式万向节实际工作时，输入轴和输出轴的夹角被外界条件所约束，三组铰接在一起的导杆中，有两组导杆实际上是虚约束可等效为一组导杆，整个机构在自由度计算时有输入轴、输出轴和两根导杆，共4个构件，输入轴和输出轴分别与机架间分别有1个旋转副，两导杆铰接处也有一个旋转副，各具有1个自由度，两个导杆与输入轴和输出轴尾端的轴承支座间共2 个圆柱副，各具有2个自由度。由此可推算出导杆式万向联轴器的自由度应为：

故在实际工作过程中若输入轴和输出轴的夹角被外界条件所约束的情况下，输入轴在一定转速旋转的情况下，导杆、铰接销和输出轴都具有确定的运动规律，结构图如图1所示。

3 运动情况及受力分析

为了更加精准直观的描述导杆式万向节在运动过程中各个部件的空间位置姿态，采用Denavit-Hartenberg方法对万向节进行运动学建模，如图2所示。建立D-H规则对万向节建立三维坐标系，根据Denavit-Hartenberg 规定Zi为第i个运动副的轴线，Xi为Zi与Zi+1的公垂线，转角αi为绕X轴Zi与Zi+1的逆时针夹角，θi绕Z轴Xi与Xi+1的逆时针夹角，φi为输入轴在t时刻旋转过的角度。各运动副的参数，如表1所示。

表1 导杆式万向节D-H参数Tab.1 D-H Parameters of Guide Rod Type Universal Joint

图2 导杆式万向节D-H矩阵坐标系Fig.2 Guide Rod Type Universal Joint D-H Matrix Coordinate System

3.1 导杆行程与转动角度的关系

此万向节区别于其他万向节的显著特点是：在不同的工况下，可以根据实际工作环境的需求，来快速调节导杆式万向节导杆尾部的限位螺母来改变导杆的行程，从而使输入轴与输出轴之间的角度为β在实际工作环境所需要的角度内工作，避免了外力或其他因素的干扰而导致万向节角度小于实际工作所需要的角度，从而影响了万向节的传动效率。根据模型上的约束关系，在输入轴旋转过程中，六根导杆中每对导杆的铰接点始终保持在输入轴和输出轴轴承座端面的角平分面内运动，输入轴或输出轴旋转一周的过程中，三对导杆分别相对于输入轴或输出轴在有效行程两端点间完成往复运动的一个周期。

取导杆行程为l0，铰接点距导杆有效行程端点的距离为了l1，输入轴与输出轴之间的角度为β，导杆中心到输入输出轴的中心距离为R1，可由几何约束关系列出导出式（2）。

在设计导杆式万向节时，一般先通过工作环境计算出单个万向节输入轴与输出轴之间所需的最小夹角，再由最小夹角根据上述公式求出导杆式万向节的各个尺寸。

3.2 铰接点的运动情况分析

通过D-H坐标系可以得出当输入轴旋转φi时，铰接销相对于机架的关系为：

取输入轴中心线到铰接投影连线与输入轴轴承座端面延长线的交点距离为l2，以圆盘圆心正上方为起点，转动角速度为ω，t时刻转过角度为φ，铰接点到圆盘的距离为x+l1，可推导出铰接点的位移公式：

铰接点沿着输入轴轴向的位移公式为：

根据位移公式，可分别求出铰接点运动的速度v和加速度a：

3.3 导杆式万向节同步性分析

输入轴坐标系ox1y1z1与输出轴坐标系ox7y7z7间存在如下变换关系：

式（9）中：

由上面的D-H坐标系可得，销轴的中心在输入轴坐标系中的方程为：

销轴的中心在输出轴坐标系中的方程为：

因为两坐标系中的销轴为同一个销轴，故存在：

式（13）中φ0代表输入轴在任意时刻旋转的角度，φ1代表输出轴在任意时刻旋转的角度，展开得：

由上述方程组可得出：

由此可以得出导杆式万向节的输入轴和输出轴在任意时刻转过的角度始终相等，即角速度始终相等，能实现同步传动，故此导杆式万向节实际上是一种准等角速传动联轴器。

3.4 输出轴的位置计算

在运动过程中输出轴与机架的位置关系为：

式（16）中：

将φi= 0，β= 0带入输出轴的位置矩阵中，得到Tc。

由Tc可以看出，此时万向节应处于旋转且输入轴和输出轴无夹角的状态，符合万向节的实际工作状态，即验证了万向节输出轴位置矩阵的正确性。

4 仿真与实验

4.1 铰接点运动情况仿真

为进一步分析恒等速三导杆式万向节装置的输入轴与输出轴以及导杆的运动特性，在SolidWorks中建立万向节的模型，在导杆式万向节各零件中添加相应的运动副，约束输入轴与输出轴的夹角为135°，在输入轴上添加ω1= 20r/min的角速度进行运动学仿真，铰接点在输入轴轴向的位移情况，如图3所示。速度情况，如图4所示。加速度情况，如图5所示。与前文的计算公式相吻合。

图3 铰接点运动位移图Fig.3 Motion Displacement of Hinge Points

图4 铰接点速度图Fig.4 Speed of Hinge Points

图5 铰接点加速度图Fig.5 Acceleration of Hinge Points

4.2 受力情况仿真

在本机构中，由于导杆都以120°的夹角均布在输入轴或输出轴上，受力图情况完全相同，只是存在相位差，故只用选取一根导杆进行受力分析。此外对各构件受力情况产生影响的因素主要有摩擦系数和输入轴的转矩，所以选取进行运动仿真的模型，在输出轴扭矩为100N·m，轴承与导杆间摩擦因数为（0.1～0.3）的情况下，对输入轴侧的导杆受到的输入轴的合力进行了预测结果，如图6所示。在轴承与导杆间摩擦因数为0.1，输入输出轴的夹角为135°的情况下，在输入轴转矩为（100～180）N·m的情况下对输出轴的转矩进行了测量结果，如图10所示。在输出轴负载一定的情况下，预测不同摩擦因素情况下使万向节匀速转动所需的输入轴扭矩结果，如图9所示。

图6 输入端导杆受力图Fig.6 Force on the Guide Bar at the Input

图7 输入轴扭矩与摩擦因数关系图Fig.7 The Relation Between Input Shaft Torque and Friction Factor

由图8 可以得知，导杆受力的峰值是导杆受力均值的1.38倍，在设计导杆长度时可参考受力峰值与平均值的关系对导杆直径进行选择，摩擦因素越大的情况下，导杆的受力的最大峰值不变，但受力变化的幅度增加，稳定性变差，由图9、图10可知摩擦因素在（0.1～0.3）时导杆式万向节的传递效率在（99.6～99.85）%。

图8 输入轴和输出轴扭矩关系图Fig.8 Torque Relationship Between Input Shaft and Output Shaft

图9 万向节尺寸关系图Fig.9 Dimension Relation of Universal Joint

图10 实验万向节Fig.10 Experimental Universal Joint

4.3 主要尺寸关系仿真

取输入轴与导杆距离R范围（10～30），取导杆行程l0（0～45），进行仿真，得出输入轴与输出轴的最小夹角β与R和l0的关系图，如图9所示。

图9直观的展现了输入轴与输出轴的最小夹角β与R和l0的关系，与式（3）相符，在导杆式万向节的设计中，可根据实际需要确定万向节的β与R两个参数，然后利用上述关系求出所需的导杆行程l0。

4.4 角速度与转矩实验

选取行程l0为12mm，输入轴与导杆距离R为16mm 的万向节，如图10所示。在输入轴的角速度在（0～100）deg/sec下，对输出轴的角速度进行测量，得出的输入轴与输出轴的角速度关系，如图11所示。使输入轴与输出轴的夹角为135°，在输入轴转矩为（100～180）N·m的情况下，对输出轴的转矩进行测量，得出的输入轴与输出轴的角速度关系，如图12所示。

图11 输入输出轴角速度关系Fig.11 Angular Velocity Relationship of Input and Output Axes

图12 输入输出轴转矩关系Fig.12 Torque Relationship of Input and Output Axes

根据图11可以看出输出轴的角速度与输入轴的角速度始终保持相等，与推导的式（15）相符，证明了导杆式万向节确实是一恒等速万向节，根据图12测得的扭矩图，与图8的扭矩仿真图基本相同，根据实验结果可推算出万向节实际的传输效率为99.23%。

4.5 仿真与实验结果分析

从上述仿真和实验结果可以看出，导杆式万向节在工作过程中，铰接点的位移、速度、角速度曲线平稳，没有任何突变，周期性运动规律与实际运动情况相符。从图8 可以看出，摩擦因素越小，导杆在输出轴转动的过程中受力的变化越平稳，万向节的传动更加稳定。在135°时导杆式万向节的传动效率较高，在输入轴扭矩在100N·m 左右时，摩擦因数对万向节的传递效率影响较小。实验测得的输入轴、输出轴的转速和扭矩误差较小，消除误差后的关系与理论计算和仿真结果相符，从而证明了前文公式推导和分析的正确性。

5 结论

（1）设计了一种新型恒等速三导杆式万向节装置，并对导杆式万向节的结构进行了介绍，详细阐述其工作原理。（2）针对导杆式万向节在实际工作过程中的约束，用D-H的方法建立了运动学模型，求出了导杆式万向节导杆与输入轴间距、导杆行程、铰接点到导杆行程端点距离和输入轴与输出轴最小夹角等主要参数之间的关系和导杆式万向节的运动特性。（3）利用仿真软件对其实际运动过程进行仿真和对万向节的实际工作状态进行实验，得出了万向节内部铰接点、输入输出轴运动关系和摩擦因数对万向节工作状态的影响，得出了万向节的传递效率。（4）仿真和实验结果表明，三导杆式万向节装置是一种恒等速万向传动装置，且传动效率较高，研究发现仿真结果、实验结果和理论分析结果一致，验证了理论模型分析的正确性和模型结构设计的合理性，对导杆式万向节的进一步研究具有一定的参考价值。