整合教学内容 促进整体理解

■刘才云

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》（以下简称新课标）提出“改变过于注重以课时为单位的教学设计，推进单元整体教学设计，体现数学知识之间的内在逻辑关系，以及学习内容与核心素养表现的关联”。基于以上要求，笔者对几何教学内容中的众多定理进行再思考，在数学教研组集体备课时做了深入研讨。全组教师形成比较一致的观点：要整合教学内容，促进学生在联系中整体理解教学内容。下面是研讨心得，以供更多同行参考、讨论。

一、从联系的角度，分析、整合几何教学内容

我们基于联系的角度，分析初中几何教学内容，打破原先以课时为顺序的教学方式，对平行线的判定与性质、全等三角形的判定方法、角平分线（线段垂直平分线）的性质与判定、等腰三角形等内容进行了整合，下面分别展开解读。

1.平行线的判定与性质

一般来说，研究几何对象的顺序是定义、判定与性质。比如，研究平行线的判定时，教师可以引入一条截线，生成8 个角（“三线八角”），依据教材，定义这8 个角的名称（同位角、内错角与同旁内角），然后从“三线八角”的数量关系来研究两条直线是否平行的位置关系；反过来，从两条直线的平行关系，研究“三线八角”的数量关系。这样的“正反”研究方式是几何研究的“基本套路”，应该整合在一个单元（学情较好，可以整理在一个课时）中进行整体教学，有利于学生整体感知平行线的判定与性质。至于平行线的判定与性质的例、习题教学，教师可以在后续课时中集中进行习题巩固训练与讲评。

2.全等三角形的判定方法

不少版本的教材上关于全等三角形的不同判定方法是按课时逐一学习的，比如“边边边”安排一课时，“边角边”安排一课时，等等。从单元整体教学的角度考虑，教师也可以在第1课时，让学生从全等三角形的定义出发，发现运用定义法来证明两个三角形全等需要太多的条件。教师提出问题：“能不能少一点条件呢？”经过讨论、列举以及举反例，最后聚焦在三个条件（至少有一组边对应相等）的不同组合上，再通过画图、叠合验证，梳理出全等三角形判定的方法（新课标称“SAS”“ASA”“SSS”为“基本事实”）。以上内容是单元整体教学的思路，根据学情可能需要1～2课时才能完成，至于具体的例、习题的巩固训练，要到第3或第4课时再安排。

此外，人教版、苏科版教材都是将直角三角形的比较特殊的一种全等判定方法（HL）的内容安排在一般三角形的全等判定之后，而且只给出画图验证，并没有给出具体的推理证明（只是说明这是一个“定理”，我们在后续进行证明）。而查阅新课标会发现，在三角形全等的判定方法内容中并没有“连续”提及“HL”定理，而是在直角三角形、勾股定理之后提到了“探索并掌握判定直角三角形全等的‘斜边、直角边’定理”。对比来说，笔者认为，一般三角形的全等判定方法作为一个单元整体建构更加合适，而直角三角形的全等方法可以安排在等腰三角形的性质之后再学习，到时也可借助等腰三角形的性质进行证明。

3.角的平分线与线段垂直平分线

人教版教材中，学生在学习了全等三角形之后就“连续”进行判定定理、角平分线性质的学习，而到了下一章学习轴对称与轴对称图形时，再学习线段垂直平分线的有关内容。笔者认为，角平分线的性质与判定定理，适合与线段的垂直平分线性质和判定安排在一起作为单元整体建构，包括角平分线、线段垂直平分线的尺规作图等。这些内容整合在一起进行教学，有利于学生对这两个“结构相似”的知识模块的理解和掌握。同时，不要急于在学完全等三角形之后，立即安排它们的学习，而应让学生在学习全等三角形后，通过练习得到更充分的巩固。

4.等腰三角形

根据有些教材上的课时划分，“等腰三角形第1课时”通常只是学习等腰三角形的性质（如“等边对等角”“三线合一”），然后进行例、习题的讲评，巩固训练等腰三角形的性质；第2课时再学习等腰三角形的判定方法（“等角对等边”）。从单元整体建构的角度看，可以在第1 课时学习了“等边对等角”之后，就学习“等角对等边”，这样基于“正、反”思考，符合认知规律和前后一致的研究思路，并且从学生构建辅助线的方法来看，也能让学生感受到“和而不同”（作底边上的高或顶角平分线都能解决，但作底边上的中线并不适合“等角对等边”的证明）。由于等腰三角形包含更特殊的等边三角形、等腰直角三角形，教师也可在第2课时将等腰三角形进一步特殊化为等边三角形和等腰直角三角形，然后依次展开研究。这个学习路径与后续平行四边形的学习路径是一样的，先学习平行四边形的性质和判定，再依次学习性质比较特殊的矩形、菱形以及正方形。

二、关于单元整体教学的进一步思考

1.单元整体教学选编学材，要注重教材内容的重组与加工

我们知道，新课标颁布之后，各版本教材编写组才能根据课标要求进一步改编出符合新课标理念的新版教材，在目前“新课标、旧教材”的现状下，教师在开展单元整体教学时需要对教材内容进行重组。

这方面，全国著名特级教师李庾南围绕初中数学课堂教学提出了“三学”，即学材再建构、学法三结合、学程重生成。其中“学材再建构”主要就是针对教材内容的重组、加工与转化。基于教材、学材重组，是每个教师应该修炼的专业基本功。关于教材重组，我国著名数学教育家曹才翰先生就曾指出“下要保底，上不封顶”，即课标上虽然对有些教学内容进行了删减或以“※”号标注作为选学内容，但是实际教学中，为了保持教学内容的逻辑严谨与知识体系的完整性，教师结合学情，可以进行必要的增补。比如，课标将平行线分线段成比例性质作为“基本事实”，只让学生进行实验确认，其实借助平行线等分线段定理（或者面积法）就可证明这个性质；再比如由圆内的相交弦性质到切割线性质（即圆幂定理）等，都可以基于它们的一致性或变式拓展，给学生进行梳理、补充。

2.单元整体教学起始课要以知识建构为主、习题训练为辅

有些刚刚接触、尝试单元整体教学起始课的教师常常抱怨内容太多，感觉一节课来不及讲这么多内容。这是一种现实，很多教师都会有这样的困惑。实践表明，单元整体教学起始课并不能面面俱到，需要聚焦主线，删减旁枝末节，特别是例、习题的训练用时要大大压缩，甚至要将例、习题置后，在习题课中再进行讲解。

以上文提到的全等三角形的判定单元教学为例，全课要以知识建构为主，需要组织学生从全等三角形的定义分析，减少一些条件来判定两个三角形全等，当条件删减到3 个时，至少要有一条边相等，然后通过画图、举反例的过程，将研究目光聚焦在有限的几个判定方法上，验证之后得出全等三角形判定的“基本事实”，再板书它们的文字语言、符号语言。该课教学内容很多，基本没有时间进行例、习题的教学。

再比如，学习了三角形中位线性质定理之后，可以在后续习题课中安排梯形中位线性质的例、习题，还有“中点四边形”的题组训练，包括总结原四边形对角线的数量与位置关系对“中点四边形”形状的影响，都是例、习题课的教学目标。

3.单元整体教学在知识体系建构之后要安排例、习题课

如上所述，有些单元教学起始课侧重于新知生成、知识体系的构建，而巩固新知还需要必要的例、习题训练与讲评。所以，单元整体教学起始课之后，要安排必要的例、习题课，这里题目的选取、改编都要精心设计，而不是按照教材上的例、习题的顺序展开。

笔者的做法是以题组呈现的方式，进行必要的变式与拓展，可以使一些基本问题的教学价值得到较大的发挥。比如，等腰三角形单元整体教学之后，可以选取顶角为36°的等腰三角形，围绕这个基本图形设计系列问题；或者以等腰直角三角形为背景设计1～2 节专题课；再比如围绕等边三角形设计1～2 节专题课，这样才能帮助学生对这些基本图形有比较深刻的理解。