静力学“动态平衡过程”分析与极值探讨

张大洪

(重庆市潼南实验中学)

“静力学的平衡”是高中物理学习中同学们最先接触且涉及广泛的力学问题,其贯穿整个高中物理学习过程,是高考中最基本且最重要的一类问题.静力学平衡中的“动态过程”探讨更是历年高考屡见不鲜的考点,此类问题对高中数学三角函数知识及几何作图、识图能力的要求很高.处理此类问题要遵循“动中取静、静中探变”的思想,最常用的方法有力矢量三角形法、相似三角形法、三角函数解析法等.

1 动态力矢量三角形作图法

1)一个力的大小与方向均确定(恒力),另一个力的方向确定,探讨第三个力的大小与方向的动态变化过程与极值.

图1

A.FN1先增大后减小,FN2一直减小

B.FN1先减小后增大,FN2一直减小

C.FN1和FN2都一直在增大

D.FN1和FN2都一直在减小

图2

小结因二变力之合必与恒力等大反向,故以与恒力等大反向的力为合力更便于作图,抓住一个力的方向不变,利用平行四边形定则或三角形法则,正确表示另一个力的方向变化所引起的动态过程是处理问题的关键,据此来细致探讨二变力的变化情况及极值.

2)一个力的大小与方向均确定(恒力),另一个力的大小确定但方向可变,探讨由此力方向的变化引起的各力大小、方向的动态变化.

图3

A.导线受到的安培力逐渐变大

B.绝缘细线受到的拉力逐渐变大

C.绝缘细线与竖直方向的夹角θ先增大后减小

D.导线受到的安培力与绝缘细线受到的拉力的合力大小不变,方向随磁场方向的改变而改变

图4

小结正确进行受力分析,充分抓住辅助圆的半径大小不变来确保一个力的大小不变但方向可动态变化是处理问题的关键;注意重力为恒力且动态过程中满足三力之和为0,即三力矢量首尾相接必构成一个封闭的矢量三角形,可直观形象探讨动态过程中物理量的变化情况.

3)一个力的大小与方向均确定(恒力),另两个力仅大小相等且未知,而方向不确定,探讨另两个力的大小与方向的动态变化.

图5

A.若F一定,θ大时FN大

B.若F一定,θ小时FN大

C.若θ一定,F大时FN大

D.若θ一定,F小时FN大

图6

小结合理选择合力,抓住另两个力的特征,充分利用平行四边形定则或三角形法则,结合动态过程的诱因探究物理量的变化情况.

4)一个力的大小与方向均确定(恒力),另两个力的大小、方向均不确定,但此二力的夹角为定值,探讨此二力的动态变化.

图7

A.F增大、FN减小

B.F减小、FN减小

C.F增大、FN增大

D.F减小、FN增大

图8

小结动态平衡过程满足三力之和为0,即三力矢量首尾相接必构成一个封闭的矢量三角形,抓住二变力间的夹角θ及此角对应的那个力恒定不变,正确作出以此恒力为弦、以二变力间的夹角θ为此恒力弦对应的圆周角的辅助圆是解题的关键,即可借此辅助圆来直观细致探讨动态过程的变化情况.

5)一个力的大小与方向均确定(恒力),另两个力的大小、方向均不确定,但其间的夹角作单调增减变化,探讨二力的大小、方向的动态变化.

图9

A.OC绳的拉力逐渐增大,OD绳的拉力逐渐减小

B.OC绳的拉力逐渐减小,OD绳的拉力逐渐增大

C.OC绳和OD绳的拉力均逐渐减小

D.OC绳和OD绳的拉力均逐渐增大

图10

小结以与恒力等大反向的力为合力,充分利用平行四边形定则或三角形法则,抓住二变力的特点即可进行二变力的动态过程探讨.

2 力矢量三角形与几何三角形相似法的应用

图11

A.BC绳中的拉力F越来越大

B.BC绳中的拉力F越来越小

C.AC杆 中 的 支 持 力FN越来越大

D.AC杆 中的 支 持力FN越来越小

图12

其中mg、AB、AC均不变,BC逐渐减小,则由上式知FN不变,F变小,选项B正确.

小结首先对研究对象进行受力分析,利用共点三力平衡的条件即合力为0作出三力矢量首尾相接的封闭三角形,然后抓住此力矢量三角形所对应的几何三角形,利用相似的比例关系列出简单的关系式,再准确判断出动态变化过程中三力矢量与三边几何长度的不变量及变化量的特点与变化情况,利用比例关系式即可处理各变化量的动态变化情况.此方法能有效避免烦琐的数学运算(特别是三角函数的运算).

3 解析法处理静力学平衡的动态过程及极值探究

1)用三角函数的单调性分析处理动态平衡问题.

图13

A.F逐渐变大,FT逐渐变大

B.F逐渐变大,FT逐渐变小

C.F逐渐变小,FT逐渐变大

D.F逐渐变小,FT逐渐变小

小结正确受力分析并利用平衡条件建立各力间的平衡方程,抓住各力与三角函数的单调变化关系,即可探讨此类平衡的动态问题.2)用正弦定理处理动态平衡过程.

图14

A.甲绳的拉力先增大后减小

B.乙绳的拉力先增大后减小

C.当重物接近乙处时甲绳的拉力接近

D.当重物接近乙处时乙绳的拉力接近mg

图15

重物向乙处移动的过程中α、β均增加,设直线l甲乙与过点甲的竖直线的夹角为θ,则必有2β+(θ-α)＝180°,设α增加角度x时β增加的角度为y,则有

由此二式得x＝2y,即在动态变化过程中α角的增加值是β角增加值的2 倍,故在α、β均增加的过程中β-α必减小,即减小,则FT1始终减小,故选项A 错误.

因为α、β始终为锐角,且α＜β,由三角函数关系式可知

当α增加x,且β增加y时,乙对物体的拉力为F'T2,则同理有

如图16所示,重物接近乙时,乙与重物的连线逐渐与重物的轨迹相切,两绳间的夹角逐渐趋近90°,即两拉力垂直,由相似三角形可得

图16

小结在用正弦定理处理静力学平衡的动态问题时,首先要作出共点三力平衡的封闭力矢量三角形,找准其边、角对应关系,在处理实际动态变化过程中要仔细研究角度变化的制约关系及其相应三角函数的变化情况,熟练应用三角函数运算及其变换,才能正确解决动态问题.

图17

小结正确理解与应用三角变换.

图18

4)用cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ处理动态平衡问题.

图19

(1)α、θ间满足什么条件时,拉力F有最小值,求此最小值;

(2)求在拉力F取最小值的情况下木楔对水平面的摩擦力.

(1)木块在力F的作用下沿斜面向上匀速运动时其受力如图19所示,由力的平衡条件可得平衡方程

由于θ是恒定不变的,故只有当cos(θ-α)取最大值1时,即α＝θ时,拉力F有最小值,且最小拉力为Fmin＝mgsin2θ.

(2)以M+m为整体,因木块沿木楔匀速上升而木楔始终静止,M+m整体处于平衡态,故整体受到地面的摩擦力等于F的水平分力,即

当F取最小值Fmin＝mgsin2θ时有

小结合理选择研究对象,正确受力分析,利用平衡条件建立各力间的平衡方程,熟练掌握三角函数的和差化积、倍角关系等公式及其应用,结合三角函数的变化特征即能快速处理动态平衡问题中的临界与极值问题.

5)静力学平衡动态过程中的自锁问题.

图20

(1)求地面对物体A的静摩擦力大小;

(2)无论物块C的质量多大,都不能使物块A或B沿地面滑动,则μ至少要多大?

图21

对物体A水平方向有

(2)要使A、B始终不沿地面滑动,则须满足地面对其实际静摩擦力小于或等于其最大静摩擦力,即Ff≤Ffm,由于A与地面之间的最大静摩擦力为

小结对于摩擦自锁问题,沿自锁面的实际静摩擦力小于或等于此表面的最大静摩擦力即为自锁条件.

总之,处理静力学平衡的“动态过程”问题时,作图法能直观、形象地反映出动态过程中相关物理量的大小、方向的变化情况与过程,能简洁地反映出物理量变化中可能出现的极值,避免了烦琐的数学运算,处理动态平衡问题会更简便、快捷,用时更少,效率更高.但不能得出各状态的具体数值,对几何作图与分析的要求也较高,抓住动态过程中某物理量的本质特性正确建立辅助图形(辅助圆、矢量三角形、几何三角形、平行四边形等)是探究动态过程的关键.解析法能准确、细致得出动态过程中各状态物理量的具体数值,且对多力(三个以上)平衡问题的处理也更恰当,但其对三角函数及其相应的各种变换与计算要求很高,计算过程也较复杂,因此要求同学们有充足的知识与能力储备.

(完)