点接触端直面齿轮啮合分析的高效计算方法

李 萍, 张宝玉, 李金华

(1.江苏电子信息职业学院 智能交通学院,江苏 淮安 223003,E-mail:489479047@qq.com;2.江苏食品药品职业技术学院 机电工程学院,江苏 淮安 223003;3.辽宁工业大学 机械工程与自动化学院,辽宁 锦州 121001)

端直面齿轮传动[1-3]是在新一代武器装备对动力传动系统小体积、轻质量、高承载能力、低噪音、高可靠性及长寿命的性能需求的背景下应运而生的新型先进传动构型。相对于传统的螺旋锥齿轮,端直面齿轮传动具有小体积、轻重量、低噪声和高互换性的优点,国外已经把端直面齿轮传动技术作为先进传动系统发展方向。美国军方[4-6]己成功应用在阿帕奇武装直升机上,实现传动系统体积降低40%,承载能力提高35%的效果。同期,西科尔斯基航空公司与美国军方将端直面齿轮传动技术应用在“黑鹰”直升机中,实现直升机功重比提升35%的效果[7-8]。此外,国外还将端直面齿轮传动应用在高档机床、雷达、船舶等武器装备传动系统中,取得了良好效果。随着计算机技术的快速发展,越来越多的学者热衷于端直面齿轮啮合分析的数值计算研究。

林超等[9]从几何学的角度提出了线接触端曲面齿轮副齿面接触算法,通过小齿轮和面齿轮对滚实验,验证了该算法的正确性。叶志刚等[10]采用可视化编程开发了渐开线少齿差行星传动齿轮啮合动态演示系统进行无侧隙啮合传动仿真,大大增强了其真实性,便于观察干涉和及时修改参数。孙殿柱等[11]论述了点接触齿面啮合理论求解接触点完整过程并推导出了取不同坐标系时求解接触点的同一计算公式。宋相男等[12]提出了斜齿面齿轮齿面接触问题的有限元-线性规划算法,通过与Hertz结果对比验证了该算法的有效性。杨主希等[13]提出了斜齿面齿轮接触应力计算方法及其公式,与解析结果对比误差为5.23%,验证了该方法与公式的有效性。苏睿[14]建立了二自由度差动调速周转轮系系统的时变非线性纯扭转动力学模型,通过仿真表明行星轮与齿圈的啮合力和相对位移呈现出高频大幅度振动的现象。周明刚[15]对直齿圆柱齿轮传动啮合特性进行有限元接触仿真分析,为降低齿轮转动过程产生振动与噪声和分动箱系统的优化设计提供依据。

综上所述分析,大多端直面齿轮的研究学者依然采用传统的啮合分析计算方法。然而传统的MATLAB齿面接触分析计算方法对于计算点接触面齿轮的传动误差不具有通用性,当面齿轮基本参数改变时,需要大量时间反复调整初值,程序通用性差。因此,本文开展基于选择性迭代的端直面齿轮啮合分析的计算方法研究十分有价值。

本文分析了端直面齿轮啮合分析的传统计算方法,指出了针对高阶曲面存在不足;提出了端直面齿轮啮合分析的高效计算思路,研究了高效计算方法优化原理;基于齿面成型原理,形成了端直面齿轮啮合分析的高效计算算法流程;通过算例,开展了端直面齿轮啮合分析优化算法的验证。

1 端直面齿轮啮合分析的传统计算方法

端直面齿轮啮合分析的传统核心求解方程是接触点位矢相等、接触点法矢相等以及接触点啮合条件。其中,位矢方程和法矢方程各自包含X、Y、Z三个方向上的分量方程;空间啮合条件仅一个方程式,总计七个方程式。涉及到需要赋初值的输入量有七个,如表1所示。

表1 传统计算方法的输入参数

在表1中,θα为齿顶圆对应的渐开线系数,Rmin为端直面齿轮最小内半径,Rmax为端直面齿轮最大外半径。

传统端直面齿轮啮合分析MATLAB程序计算方法无法通过消参的方式直接将啮合方程组简化,需要对互相关联的七个参数独自赋值。而初值的选取大小会造成计算程序存在无解、有意义解和无意义解等三种状态,对结果影响较大。计算不同基本参数的端直面齿轮时,需要根据实际情况调试输入量的初始数值,计算时间长、收敛性差。因而,减小输入量赋值的随机性或减少需赋值的输入量的个数可有效提升运算程序的计算效率。

2 端直面齿轮啮合分析的高效计算方法

通过输入参数相关性试验分析,小齿轮实际转角和小齿轮渐开线系数初值的选择对结果的影响的权重系数较大,其余五个变量只要在满足值域的范围内取值对结果无影响。针对此现象,拟对小齿轮实际转角和小齿轮渐开线系数进行人为干预的赋值,剩余五个初值的参数由方程求得。

2.1 算法优化

▲图1 啮合分析方程解对应的物理意义

抛开纯粹的数学运算,将啮合过程的物理意义融入计算过程中。具体两齿面的啮合形态如图1所示,齿面分离、齿面相切以及齿面干涉三种状态。将啮合形态与方程解对应起来,两齿面分离时,方程组无解;两齿面相切时,由于端直面齿轮齿面进行了局部点接触处理,方程组有唯一解;两齿面干涉时,方程组有无数解。

考虑所用MATLAB最优化算法在程序试验中呈现的特点:当方程组按照固定方向进行方程解的搜索时,即使有多个符合给定条件的解,算法只给出第一个搜索到的解便停止计算,因为这可以保证迭代次数最少,运算时间最短。因此可以发现,只要设定最优化算法的初值条件对应两齿面未接触的状态,在求解过程中,程序便会按照从无解到有解方向的搜索,对应实际过程中两齿面从相离到接触、再到干涉的过程;欲使初值设定满足两齿面未接触的状态,需要保持小齿轮实际转角为0°,端直面齿轮转角稍转开一个微小的角度即可;例如本文设置虚拟插齿刀转角为0°,端直面齿轮实际转角为0.001°。

求解过程给出第一个符合预设条件的解,这个解在物理意义上对应一个齿面点,这个齿面点所对应的实际情况只能是两齿面恰好接触或者干涉;由于是搜索方向上率先求得的点,此时两齿面干涉程度是最小的。

(1)

▲图2 小齿轮转角与齿高位置关系

2.2 算法流程

基于端直面齿轮的展成方法及空间啮合原理,优化后的算法流程如图3所示。

▲图3 优化算法流程图

图3中最接近实际啮合点的齿面点坐标在齿面上的位置即是近似的接触迹位置,传动误差即是近似传动误差。通过该方法的计算原理分析,增大j值,则所得结果会向真实结果逼近;i值大小对于结果无影响。

2.3 优化算法验证

本文试验中面齿轮相关参数如表2所示。

表2 端直面齿轮设计参数表

▲图4 优化算法初步求解结果

▲图5 优化算法最终求解结果

将优化算法得到的齿面接触点图像(红色)与标准方法得到的齿面接触点图像(蓝色)相对比,如图6所示。

▲图6 n=10优化算法与传统算法接触迹对比

在n=10时优化算法算出的接触点在整体趋势上与标准算法算出的接触点十分接近,但相对齿面的分布位置存在明显的误差,误差在1 mm之内;局部放大图中黄色部分为优化算法未进行筛选过程之前的齿面点。

▲图7 优化算法与传动算法接触迹对比

当n由10依次增大到20和100时,优化算法和标准算法计算的结果对比情况依次如图所示,可见,随着n的细分,接触迹会越来越接近标准方法所求得的理论接触迹,相对齿面的分布位置误差也会越来越小;当n=20时,这种相对位置误差已经在0.5 mm之内,当n=100时,相对位置误差已经在0.1 mm之内,n取不同值时齿面接触迹位置对比图如图7所示。

用优化算法算得的传动误差随着n值的增大逼近于0;当n=10、20、100时,传动误差峰值分别为1.18×10-4、-2.435×10-5和-1.508×10-6,可见当n值增大,传动误差减小且无限趋近于0,传动误差及峰值状况如图8所示。

▲图8 优化算法的传动误差

通过上述运算结果对比,由于所求得的接触迹会随着算法中小齿轮齿高方向分割份数n的增大无限接近于实际接触迹,通过增大n的取值,可获得位置更精确的接触迹以及更精确的传动误差。

3 结论

本文分析了传统算法在点接触面齿轮齿面应用方面的局限性,提出了算法优化原理,并将优化算法与传统计算进行了对比,验证了优化算法的正确性。得到如下结论:

(1) 对计算过程中传统算法导致的计算时间过长问题进行了优化,并结合联立的齿面点位置向量以及法向量方程组的物理意义进行了面齿轮齿面接触分析的计算。

(2) 当面齿轮基本参数改变时,优化算法可直接在已知取值范围内选取,不需要调试,程序通用性强,计算效率高。

(3) 优化算法通过增大n值,可达获得位置更精确的接触迹及更精确的传动误差。