一种非均匀面目标毁伤效果计算方法

冯富强，王兆纶，欧渊，严雪飞，王帆

（军事科学院 系统工程研究院，北京 100082）

面目标作为一类广泛存在的目标，研究如何快速、准确地量化其在导弹等武器打击下的毁伤效果对战役级别作战筹划具有重要意义.面目标往往面积巨大、形状任意、内部结构非均匀，如何使用网格对面目标进行离散，采用何种数据结构使得兼顾对网格进行统一描述的同时体现面目标的非均匀性，在运用何种算法准确计算单个网格毁伤效果的同时快速综合所有网格毁伤效果得出整体的毁伤结论成为亟待解决的关键问题.

唐伟峰等[1]通过将战斗机群离散为微元点群，研究了战斗机群的群毁伤概率.杨奇松等[2]通过将停机坪离散为向量网格的方法，计算了停机坪在子母弹打击下的毁伤量化指标，并且可以通过预先参数设置进一步提高计算效率.李金华等[3]将面目标等效为带权重的图像矩阵，一定程度上解决了面目标非均匀的问题.以上研究适用于任意形状面目标且部分解决了非均匀的问题，但是仍存在如子目标发生位置变化时需要重新设置网格参数，并重新进行Monte-Carlo 仿真计算的问题，同时为了达到较高的精度，所需Monte-Carlo 的次数往往较高，这显然无法满足瞬息万变的现代战争中连续快速作战筹划要求.目前已有学者提出用公式推导、数据分析反演、毁伤判据灵活设置的方式代替纯粹Monte-Carlo 仿真来获得毁伤[4-6]，这些方法相对于数值仿真在应用的灵活性上有较大提高，并且随着计算手段的进步，具有解析形式的公式在计算效率上也具有优势.

针对此问题本文提出目标毁伤效果函数概念，该函数综合弹目相互作用，使用毁伤函数与弹药散布特性函数卷积计算代替Monte-Carlo 仿真获取目标网格毁伤概率，从毁伤概率的角度反映弹药威力场在空间中的分布，并用该函数方便地计算面目标毁伤效果表征.该方法由于不需要进行弹目模型构建，所以适用于任何非均匀面目标，同时在计算效率与灵活性上相比Monte-Carlo 方法有较大提升.

1 目标毁伤效果函数

1.1 毁伤函数

毁伤函数(damage function)是毁伤效果评估中的重要工具.毁伤函数定义为以弹药、目标相互作用条件为自变量，以毁伤元特征参数为因变量来表示目标毁伤可能性的数学表达式，是描述目标毁伤概率随到炸点距离或毁伤元参量变化规律的函数.毁伤函数是毁伤矩阵的解析形式，是目前表征弹目之间毁伤规律的最精确可靠的模式[7].常见的毁伤函数有饼切毁伤函数、Carleton 毁伤函数[7]、PROBIT 毁伤函数[8]，更一般地可以通过研究毁伤元对目标毁伤的物理学过程推导出该过程毁伤函数[9].

1.2 弹药散布特性函数

弹道终点的散布特性可以用一个概率密度函数表示，常用分布有高斯分布与瑞利分布.高斯分布作为一种基础分布，广泛存在于武器系统中，其概率密度函数也广泛用于描述弹道终点的散布特性，二维独立高斯密度函数如下：

式中 σx、 σy为弹道终点x轴、y轴方差.

远程导弹弹道末端入射角近似于90°，其落点散布接近圆形，此时σx=σy=σ.已知弹道末端圆概率误差CEP可求参数σ，两者关系为CEP==1.177σ.若弹道末端入射角小于90°，则可以根据CEP、入射角度等弹目交汇参数计算 σx、 σy，带入式(1)作为此时的弹药散布特性函数.

1.3 目标毁伤效果函数

假设面目标体系T0包含I个子目标Ti(i=1,2,···,I).将 面 目 标T0等 效 为R2中 区 域 Ω，Ti所 在 区 域 等 效为 Ω中子区域 Ωi，一般有 Ω=∪Ωi.使用L发弹药Ml(l=1,2,···,L) ，对T0进行打击，设弹药Ml对子目标Ti网格的毁伤函数为(x,y) ，弹药Ml的散布特性函数为fMl(x,y) ，设瞄准点为Dl=(xl,yl) 时，Ml的散布特性函数为(x,y)，则：

对R2中任意一点 (u,v) ，弹药恰好落在 (u,v)处的概率为：

此时R2中任意一点 (x,y)处Ti网格被毁伤的概率为：

遍历所有可能的落点 (u,v) ，则 (x,y)处Ti网格被Ml毁伤的概率(x,y)为

综合所有弹药Ml对目标Ti的打击效果，设PTi(x,y)表示 (x,y)处Ti网格被毁伤的概率，则：

称PTi(x,y)为Ti的目标毁伤效果函数.

由于PTi(x,y) 只在 Ωi上有意义，记XΩi(x,y) 为 Ωi的特征函数：

毁伤函数体现了弹药对目标网格毁伤效果的随目标与落点相对位置变化的客观规律，P(x,y)是综合所有弹药对目标中任意网格的毁伤函数在给定落点条件分布即弹药散布特性函数下的全概率形式.对任意(x,y)，P(x,y)为(x,y)处网格毁伤概率，对面目标T0，P(x,y)描述了弹药对T0毁伤效果在其等效区域Ω中的分布.面目标非均匀性的影响体现在 Ωi上的PTi(x,y) 不同， Ωi在P(x,y) 中体现为XΩi(x,y)，XΩi(x,y)的构造较为简单且任意，因此P(x,y)构造方法适用于任何非均匀面目标.

2 目标毁伤效果函数计算

2.1 面目标计算域离散化

以图1 的面目标为例，取非均匀面目标体系T0的等效区域 Ω的最小包络矩形S，如图2 所示，取S为计算域，将S一致离散为大小一致的方格，其中沿较长边方向有K个方格，较短边方向有M个方格，记N=K×M，记第n个方格为 Δn，Δn体积为Δ，选取方格Δn中心点(un,vn)为Δn计算点，若Δn∩Ωi的面积大于0.5Δ，则认为 Δn为子目标Ti网格.

图1 面目标最小包络矩形Fig.1 Minimum envelope rectangle of area target

图2 一般二维卷积流程与二维FFT 卷积流程对比Fig.2 Normal two-dimensional convolution and two-dimensional FFT convolution

2.2 目标毁伤效果函数FFT 矩阵卷积算法

式（3）的离散表达式为:

采用两层循环嵌套模式进行积分计算，算法复杂度为O(N2)，计算代价较大，另一方面，式（5）可以看作矩阵与的卷积，其中为K×M矩阵，为2K×2M矩阵.直接进行卷积算法复杂度仍为O(N2)，由卷积定理可知，时域卷积等效于频域乘法，借助快速傅里叶变换（fast Fourier transform，FFT）可以将算法复杂度降为O(NlbN)，具体原理参考文献[10].由于FFT 卷积要求2 个矩阵形状相同，所以需要首先对和进行补0，直接卷积和FFT 卷积方法数据流向与形状变化如图2 所示.

FFT 与IFFT 算法复杂度均为O(NlbN)，故算法整体复杂度为O(NlbN)，由于CUDA7.5 以上版本中已经包含CUFFT 库，可以借助GPU 对矩阵卷积计算进行进一步的加速.使用小型移动工作站（环境配置如表1所示）对算法进行测试，不同数据规模下，嵌套循环积分算法、FFT 矩阵卷积算法（CPU/GPU）计算时间如表2 所示.

表1 移动工作站环境配置Tab.1 Environment and configuration of mobile workstations

表2 不同数据规模下计算时间Tab.2 Calculation time at different data scales

2.3 算法收敛性

一般情况下毁伤函数与目标散布特性函数在实数域中黎曼可积，则式(3)黎曼可积，且积分值不受网格划分方式与网格计算点选择影响.设 ε为网格计算误差，由于 max()≤1，则在一致连续的位置有：

3 面目标毁伤表征

3.1 面目标整体毁伤表征

由于面目标具备非均匀性，体现在不同区域重要性不同，若面目标不同区域重要性不同，则存在ω(x,y) 为 Ω上权函数，此时

3.2 子目标毁伤表征

对大型面目标如机场中子目标如飞机、车辆等的群毁伤效果通常也是作战筹划中的重要参量，对于这种子目标的毁伤程度表征可以借鉴平均相对毁伤的概念，记子目标平均相对毁伤率为 α=×100%，其中ND为子目标被毁伤网格数的期望值，N0为子目标网格总数，借助子目标的目标毁伤效果函数PTi(x,y)可以得到

其中PTi(xj,yj)为子目标包含的第j个网格坐标.由于子目标往往具备功能性，各组件对子目标功能重要性不同，若子目标组件重要性不同，则存在ω(xj,yj)为第j个网格所包含组件权重，此时

4 算例研究

停机坪与其附属机库组成的功能区作为军用机场重要的组成部分，是作战筹划中重点关注的目标.由于停机坪面积较大，区域内飞机、车辆等目标分布稀疏，精准地选择瞄准点对实现区域内目标最大程度的毁伤具有重要意义.另一方面，由于停机坪中飞机流动性较大，所以对该目标的打击非常注重时效性，由于侦察数据的传回需要一定的时间，准确预判敌方目标可能出现的位置变化，并预估出因此导致的毁伤结果变化，有助于进行更为科学的作战筹划.

4.1 算例说明

本算例研究大质量战斗部导弹对图3 所示停机坪的毁伤效果，该目标由10 个停机位组成的停机坪和分布在两侧的机库组成，内部包含6 架飞机.首先需要说明的是，由于战斗部对建筑物的毁伤结果受到建筑物高度的极大影响，一般情况下高层建筑不能被视为面目标，但是低层建筑特别是低层钢结构建筑因其结构简单、毁伤机理清晰，可以被作为面目标毁伤研究对象.本算例具备以下作战场景：我方根据t=0 时刻情报评估作战效果，装订作战参数发射导弹，导弹t=1 时刻落地，但此时目标区域内飞机由于收到预警，位置发生较大变化，计算此时导弹对停机坪内飞机的毁伤效果.

图3 不同时刻机场停机坪Fig.3 Airport apron at different times

4.2 目标与弹药参数

机库为钢结构建筑，长80 m、宽40 m.停机坪中每个停机位长、宽均为40 m，停机位中停泊的飞机参数如表3 所示，使用0.5 m×0.5 m 网格对目标进行离散化，则机库包含12 800 个网格，单架飞机包含3 213个网格.

表3 飞机参数Tab.3 Aircraft parameters

由于需要兼顾对机库和飞机的毁伤，所以选用大质量整爆弹对目标进行打击，整爆弹战斗部TNT当量为500 kg.

4.3 毁伤函数选取

整爆弹对低层建筑主要杀伤元为冲击波[8-11]，毁伤准则采用超压-冲量联合准则，设P、I分别表示超压和冲量，则建筑网格被毁伤概率Y有如下形式[8]：

式中A、B、C、D、e、f为拟合系数.

设l=d(x,y)，根据文献[8]推导结果，所用整爆战斗部对低层建筑物的毁伤函数有如下形式：

由于飞机属于无装甲/轻装甲目标，需要同时考虑大质量整爆战斗部破片和冲击破的毁伤效应，根据文献[12]，破片对飞机穿透毁伤的毁伤函数具有类高斯模式，文献[7]指出可以使用Carleton 毁伤函数作为破片云对轻装甲目标的毁伤函数，Carleton 毁伤函数具有如下形式：

式中R1、R2是与密集杀伤面积A0相关的常数，在落角为90°时，R1=R2，A0=πR1R2[7].

假设500 kg 整爆弹破片对飞机蒙皮的密集杀伤面积不低于5 000 m2，则此时可取破片对飞机网格毁伤函数为：

由于飞机蒙皮、框架等重要结构组件多是由铝合金制成，根据文献[13]，冲击波在近距离对飞机蒙皮、框架毁伤效果较好，但是毁伤效果随距离的增加呈指数型下降衰减；根据文献[14]，当振面超压小于0.03 MPa 时冲击波难以对飞机蒙皮、框架造成严重毁伤；根据文献[15]，所用战斗部距离爆心35 m 处超压为0.033 2 MPa，故可近似取0-1 毁伤函数：

4.4 计算工况

使用3 发相同的整爆弹进行打击，考虑不同瞄准点、CEP 对毁伤效果的影响，工况如表4 所示.

表4 计算工况Tab.4 Working conditions

4.5 计算结果

不同工况下3 枚大质量整爆弹对目标的毁伤概率场如图4 所示.图4 表现了不同打击方案下，弹药对机库与停机坪中机群目标的毁伤效果与毁伤幅员.图4(a)红框说明同一发弹药对两种目标的毁伤幅员不同，弹药对机群毁伤幅员大于对机库毁伤幅员.

图4 不同工况下目标毁伤效果函数计算结果Fig.4 Damage effect function under different working conditions

不同工况下t=0、1 时刻机库与机群毁伤效果如表5、表6 所示.

表5 机库毁伤效果Tab.5 Hangar damage effect

表6 飞机平均相对毁伤率Tab.6 Average relative damage rate of aircraft

4.6 结果分析

4.6.1 毁伤效果对CEP 敏感度分析

工况1、3，工况2、4 计算结果显示，机库在10 、30 m CEP 下的平均相对毁伤相差＜1%，这说明当建筑幅员相对弹药毁伤幅员与CEP 较大时，毁伤效果对CEP 不敏感，因此打击幅员较大的建筑时可以使用精度相对较低的弹药，节省宝贵的高精度弹药.

工况1、3，工况2、4 计算结果显示，当CEP 由10 m变为30 m 时，每架飞机平均相对毁伤均下降约1%～8%，说明机群毁伤效果对CEP 较为敏感，因此当弹药毁伤幅员相较机群等子目标大小接近时，需要使用较高精度的弹药进行打击.

4.6.2 毁伤效果对瞄准点敏感度分析

工况1、2，工况3、4 计算结果显示，机库受损程度较低，受损比例＜25%.工况1、3，工况2、4 计算结果显示，当瞄准点远离建筑几何中心后，毁伤效果急剧下降，说明建筑物毁伤效果对瞄准点敏感，因此打击建筑物时瞄准点应选择建筑物几何中心或者边界中心.

工况1、2，工况3、4 计算结果显示，瞄准点变化使得每架飞机平均相对毁伤变化6%～53%，说明机群毁伤效果对瞄准点选择敏感，综合计算结果，为了获得对机群较好的毁伤效果，瞄准点选择应使得弹药毁伤幅员均匀地覆盖整个停机坪区域.

4.6.3 毁伤效果对时间敏感性分析

建筑物毁伤效果对时间不敏感.工况1～4，t=0和t=1 两时刻的计算结果显示，当机群接收到预警并采取相应的规避机动后，毁伤效果将明显下降，这说明机群毁伤效果对时间敏感.如果可以预测敌方规避路线提前进行覆盖，则可以保留一定的毁伤效果.综合4 种工况计算结果，瞄准点选择应尽量使得弹药毁伤幅员均匀覆盖大部分目标区域，若可以预判目标可能出现的移动，则需要考虑覆盖目标移动方向.

5 结 论

本文通过研究面目标毁伤技术与现状，基于微分思想提出了目标毁伤概率可视化建模的面目标毁伤效果量化方法.针对无限空间卷积积分计算算法复杂度高的问题，借鉴信息学与积分变换，将目标的目标毁伤效果函数积分计算转化为矩阵卷积计算，借助数字信号处理的思想和GPU 运算能力，将FFT算法运用于矩阵卷积，大大提高了计算效率，计算时间可以达到秒级甚至毫秒级.本文中公式与方法可以推广到三维空间中，同时由于FFT 算法的优越性，在三维空间中理论上依然可以保持秒级的计算能力.由于弹药发射出去后其对目标的目标毁伤效果函数不随时间变化，因此可以对目标位置变化导致的毁伤效果变化进行预测，一次计算即可为作战筹划提供更多的依据，提高作战筹划的灵活性与科学性.由于目标毁伤效果函数基于公式的解析推导，且具有一定的模块化潜力，编程思路清晰、过程简单，可以为将来作战筹划系统的编制提供便利.