基于正态概率密度函数的改进灰狼优化算法研究

董宇轩

广东君宸科技有限公司，广东东莞，523000

0 引言

近年来，随着工业和生活上的问题的复杂度不断增加，群智能算法被用来作为解决这些问题的重要手段[1]。因此，多种群智能优化算法相继被提出，例如粒子群优化算法（PSO）[2]、蚁狮优化算法（ALO）[3]等。

Mirjalili[4]于2014年受到自然界中灰狼狼群的领导层级和狩猎机制的启发提出了灰狼优化算法。由于GWO具有易编程实现、调节的参数少、原理简单易于理解及具有自适应的可调节收敛因子等优点，受到了广泛关注且已经应用于解决多种实际问题[5-6]。孙丽君等[7]已经通过建立Markov链模型和鞅理论系统证明了GWO的全局收敛性，这使得算法具备了理论基础。刘佳鸣等[8]将灰狼优化算法引入K均值聚类算法，改善了K均值聚类算法对初始聚类中心位置敏感和稳定性较差的问题。林玲等[9]将灰狼优化算法与支持向量回归相结合建立了网络舆情预测模型。董倩等[10]使用莱维飞行策略改进GWO，并将改进后的GWO用于调度云计算资源。为了提高GWO算法的收敛速度和求解精度，降低算法陷入局部最优的概率，本文提出了一种基于正态概率密度函数的改进灰狼优化算法。

1 灰狼优化算法

GWO算法的步骤如下。

（1）初始化种群，种群规模记为n，选择适应度值最小的3匹狼并将它们的位置分别记为Xα、Xβ和Xδ。

（2）根据α狼的位置X α调整其余灰狼Xi(i=1,2,...,n)的位置：

其中，c为收敛因子，随着迭代次数增加线性减小至0；r1、r2为取值在[0,1]内的随机数。同理根据β狼和δ狼的位置得到X2和X3，最后通过式（3）更新自己的位置：

（3）重新计算整个狼群的适应度值，将新的适应度值最小的三匹狼作为头狼，一次迭代结束。重复步骤2直至达到最大迭代次数。

2 基于正态密度函数加权的灰狼优化算法

2.1 正态概率密度函数与惯性权重

正态分布是概率论与数理统计中一个使用广泛、功能强大的分布。考虑到它的诸多优点，我们将其应用到灰狼优化算法中。正态密度函数的表达式为：

其中，μ和σ为常数，分别表示该正态分布的均值和标准差。正态密度函数曲线如图1、图2所示：函数曲线完全对称，类似山峰。均值影响函数曲线最高点所在位置；标准差影响曲线的陡峭程度：标准差越大，曲线越平缓，反之越陡峭。

图1 正态函数曲线（μ=0,σ=10）

图2 正态函数曲线（μ=30,σ=50）

从图1和图2可以看出，正态密度函数的曲线是关于x=μ完全对称的。当x=μ的时候，正态密度函数取最大值。图1的正态密度函数曲线的σ=10，图2中的正态密度函数曲线的σ=50。σ=10时的正态密度函数曲线明显比σ=50时的正态密度函数曲线陡峭。

本文设置的惯性权重的公式为：

图3 基于正态密度函数的惯性权重曲线

从图3可以看出，这种惯性权重策略采用分段函数进行调控惯性权重在迭代次数较小时始终保持最大值，随着迭代次数的增加，惯性权重开始递减，最终在迭代次数的后期保持在一个较小的惯性权重。这种改进策略首先能够使得算法在迭代初期在一段较长的时间内保持较大的惯性权重，从而算法能够在较大范围内进行搜索，加强算法的全局搜索能力；然后惯性权重开始变小，这使得算法从偏向于全局搜索转而偏向于局部搜索；而在迭代后期，惯性权重将长时间保持一个较小的值，这使得算法能在一个小区域内精确地搜索全局最优解，提高了算法的求解精度。

2.2 改进的灰狼优化算法

基于上一小节对惯性权重的讨论，这里给出基于正态密度函数的灰狼优化算法的具体步骤。

（1）初始化狼群，并选择适应度值最小的三匹狼作为头狼，分别记为α狼、β狼和δ狼，其位置分别记为Xα、Xβ和Xδ。

（2）根据当前迭代次数，按照式（5）计算惯性权重w的取值。

（3）其余狼群X根据α狼的位置调整自己的位置，如式（6）：

其中，w为步骤2中计算得到的权重，c为收敛因子，随着迭代次数增加线性减小至0；r1、r2为取值在[0,1]内的随机数。同理根据β狼和δ狼的位置得到X2和X3，最后通过式（3）更新自己的位置。

（4）重新计算整个狼群的适应度值，将新的适应度值最小的三匹狼作为头狼，一次迭代结束。重复步骤2直至达到最大迭代次数。

改进算法的流程图如图4所示。

图4 NGWO 算法流程图

可见NGWO的大体流程和GWO相似，不过在每次循环中，更新灰狼当前位置前，NGWO增加了根据惯性权重公式（5）计算惯性权重w的步骤。同时在根据迭代次数更新参数时需要额外更新参数w。NGWO算法与GWO算法的关系如图5所示。

图5 NGWO 与GWO 算法的关系图

从图5可以看出，如果NGWO中的惯性权重随着迭代次数的增加始终为1，那么NGWO就会退化为GWO。当GWO中始终为1的惯性权重变成式（5）中的惯性权重公式时，GWO就会进化为NGWO。这说明NGWO算法是GWO的一种扩展，NGWO包含了GWO。

3 仿真实验及结果分析

3.1 实验设计

仿真环境：Windows 10，内存：16G，机器主频：2.30GHz，软件：MATLAB R2023a。本文选择了4个测试函数来验证NGWO的寻优效果，如表1所示。

3.2 实验结果

实验另外选择了5种群智能优化算法进行比对，它们分别为PSO、FA、ALO、FOA和GWO。对每一种测试函数和优化算法的组合，实验均分为三个维度进行，分别在低维度（dim=30）、中维度（dim=80）和高维度（dim=300）进行了20次独立重复实验并取平均值作为最终结果。实验最终结果如图6-图9所示。

图6 6 种算法在F1 函数下的寻优曲线对比图（dim=30，dim=80，dim=300）

从图6-图9可知，6种算法在4种测试函数的测试下，基于三种解维度，NGWO算法的适应度值随着算法迭代次数的增加下降最为明显，说明NGWO在4种测试函数中均表现出了优异的收敛速度和求解精度。由图6和图7可知，在F1和F2所代表的单峰测试函数下，NGWO算法相对其他5种算法，不仅能够最快速收敛，还能具有最高的求解精度。从图8可知，在三种解维度下，PSO、FA、ALO和FOA都快速地陷入了局部最优解，但是NGWO和GWO没有陷入局部最优解。同时，NGWO相比GWO能够更快地向全局最优进行逼近，说明NGWO针对带有随机数的测试函数F3的测试，相比其他5种算法具有更快的收敛速度和寻优精度。由图9可知，对于F4所代表的多峰函数来说，其他5种算法很快地陷入了局部最优解，NGWO算法随着迭代次数的增加不断地逼近全局最优解。综上，在多个维度下不管对于单峰函数还是多峰函数，NGWO算法相比其他5种经典的群智能算法具有更快的收敛速度、更高的求解精度。6种算法在4种测试函数下的20次独立运行的最优值的平均值和标准差如表2所示。

表2 6 种算法在4 种测试函数下的20 次独立运行的最优值的平均值和标准差对比

图7 6 种算法在F2 函数下的寻优曲线对比图（dim=30，dim=80，dim=300）

图8 6 种算法在F3 函数下的寻优曲线对比图（dim=30，dim=80，dim=300）

图9 6 种算法在F4 函数下的寻优曲线对比图（dim=30，dim=80，dim=300）

表2对比了6种算法在4种测试函数下的20次独立运行的最优解的均值和标准差。算法独立运行20次的最优解的均值和标准差分别代表了算法的求解精度和稳定性。在F1、F2和F3下NGWO算法的最优值的均值明显比其他5种算法的精度更高。在F4下，NGWO算法的最优值的均值不仅比其他5种算法的精度更高，而且NGWO算法的最优值的均值取到了全局最优解0，说明NGWO算法比其他5种群智能算法的求解精度更高。同时在F1、F2和F4测试下，NGWO算法的最优值的标准差在三个解维度中都是0，其他5种算法的最优值的标准差都没有得到0。在F3的测试下，NGWO算法的最优值的标准差虽然在三个解维度中都不是0，但是NGWO的最优值的标准差的精度远远高于其他5种算法。说明NGWO算法比其他5种算法的稳定性更强。总之，NGWO算法在测试函数上的寻优性能均优于其他5种算法。

3.3 算法时间复杂度分析

GWO算法的时间复杂度为O(nmD)，其中n为种群的规模，m为GWO算法的迭代次数，D为解的维度。NGWO算法利用式（5）和式（6）对灰狼种群中的最优的三只灰狼的位置进行更新，与GWO算法中的式（2）相比，其本质是在式（2）的公式上线性乘以一个常数。NGWO算法并未增加GWO算法的时间复杂度，因此NGWO算法的时间复杂度还是O(nmD)。综上，在种群规模、算法的迭代次数和解的维度不变的情况下，NGWO算法的时间复杂度并未增加且寻优性能比其他5种算法更优。

4 结语

本文针对GWO具有收敛速度慢、求解精度差等问题，提出了一种基于正态概率密度函数的改进算法。NGWO利用单侧正态函数单调下降、平滑改变的特点对位置更新公式进行了改进，通过分别提高算法在不同迭代时期的全局搜索能力和局部搜索能力，既提高了算法的收敛速度和求解精度，也使得算法稳定性有了进一步提升。NGWO在特殊的条件下可以退化为GWO。仿真实验结果表明，与一些常见的群智能优化算法相比，本文提出的算法具有求解精度和稳定性更高、全局搜索能力更强、收敛速度更快等特点。同时，本文的改进策略编程实现难度小，且不会增加算法的时间复杂度，因此具有一定的实践应用潜力。