函数思想在高中数学解题中的有效应用

冯有胜

【摘 要】  函数是一类比较特殊的数学知识，不仅是一个重要的知识点，几乎贯穿于整个高中数学教学，还是一种常见的数学思想，在解题中也有着广泛的运用空间.在高中数学解题教学中，教师除传授给学生一些常用的解题方法，还要指导他们学会有效应用函数思想，使其将所学知识转化成一种能力，慢慢形成严密的数学逻辑思维与良好的认知结构.本文针对函数思想如何在高中数学解题中有效应用作分析与探讨，并分享部分解题实例.

【关键词】  函数思想;高中数学;解题

函数思想作为解决数学试题的一种常用思维策略，经过长时间的研究与探索发现运用这种思维策略处理问题时有着一个共同特点，那就是运用定量与变量间的关系.函数描述的是自然界中量之间的依存关系，反映的是一个事物随着另外一个事物发生变化的规律与联系.高中数学教师在平常的解题训练中应指引学生有效应用函数思想，使其从已知信息中提炼出数学语言，构造出函数关系，再让他们结合函数关系把问题解决掉，最终提高解题效率.

1 有效应用函数思想解决集合类试题

集合属于高中数学教学体系中的基础性知识，是学生步入高中以后最先接触到的一个知识点，还是他们学习函数知识的基础.从集合与函数之间的关系来看，函数能看成两个实数集合之间的映射，也就是自变量和函数值这两个集合，且每个自变量都有唯一的函数值与之对应.这充分说明解决集合问题时往往需要函数思想提供助力，高中数学教师可以引导学生有效应用函数思想解决集合类试题，使其快速找到准确的解题思路，提高做题的正确率 [1] .

例1   已知一个集合A={x|－4x+3＜0}，另外一个集合B={x|x 2－2x+m≤0，且x 2－2nx+5≤0}，假如AB，请求出实数m和n的取值范围分别是什么？

解析   因为题目出现的集合及两个集合之间的关系，还涉及不等式知识，假如学生依然使用常规思路来解题，不仅过程比较烦琐与复杂，还极易导致错误现象的出现，这时教师可以提醒他们使用函数思想，使其找准题目中的变量关系及数值之间的对应关系，从而形成正确的解题思路，且简化解题流程.

具体解题方式如下所示：

先将集合A进行化简，能够得到

A= x|x＞ 3 4  .

设f（x）=x 2－2x+m，g（x）=x 2－2nx+5，

则B1={x|x 2－2x+m≤0}，

B2={x|x 2－2nx+5≤0}，B=B1∩B2，

结合题目中给出的AB这一条件，能够得出AB1且AB2，也就是说区间（1，3）应当分别被集合B1与B2所对应的区间相包含，结合以上现象能够画出两个函数f（x）和g（x）的图象，如图1所示，

由此能够得到f（1）≤0，f（3）≤0，且g（1）≤0，g（3）≤0，

然后把对应的值代入到题目中的各个式子当中，最终通过对不等式组的求解得出的m和n取值范围，把题目难度降低.

2 有效运用函数思想解决方程类试题

方程和函数之间有着十分紧密的关系，高中生在之前已经学习过有关方程与函数的相关知识，不过对于两者之间的联系则了解得不多，学到的内容比较浅显，但是在高中数学课程教学中，比较重视方程与函数的联系，甚至专门安排一定的章节让他们深入学习，这为函数思想在解答方程类试题中的应用做铺垫.对此，高中数学教师在解题训练中可以引领学生有效运用函数思想去解决方程类试题，使其能够结合函数的性质或者图象轻松处理问题 [2] .

例2   （1）已知方程x 6－6x 4－x 3+12x 2－8=0，求该方程的实数根；（2）已知方程 x =ax+1存在一个负根，而且不存在正根，请求出a的取值范围.

解析   针对（1）中的方程是一个高次方程，（2）中的方程则是一个含有绝对值的方程，学生通过觀察发现这是两个较为特殊的方程，特别遇到高次方程时，由于没有学习相关解法，他们通常感到不知所措，不知道从何处着手，不知不觉地产生惧怕心理，而含有绝对值的方程则往往涉及分类讨论，难度同样不小，但是有效运用函数思想能够起到意想不到的效果.

具体解题方式如下所示：

（1）把原方程转变为x 6－6x 4+12x 2－8=x 3，

据此得到（x 2－2）  3=x 3，

那么方程f（x 2－2）=f（x），

因为f（x）在 R 上是单调递增函数，

所以x 2－2=x，也就是x 2－2－x=0，

由此得到x1=－1，x2=2，

即为原方程的两个实数根分别是－1和2；

（2）将a作为因变量，x作为自变量，对方程进转化，

结合原方程能够得到

a=  x －1 x ＝  1－ 1 x ，x>0，－1－ 1 x ，x<0.

将它们的图象画出来，如图2所示，结合图象，因为方程不存在正根，

可以直接得出a≥-1.

3 有效采用函数思想解决不等式试题

虽然不等式与函数是两个性质迥异的知识，不过在高中数学教学过程中，两者之间的关系较为密切，教材中还编排有“二次函数与不等式”这一内容，这是为应用函数思想解答不等式问题做的理论准备，主要揭示的是不等式性质反映出的函数单调性.这就要求高中数学教师在解题训练中应引导学生有效采用函数思想分析与解决不等式试题，使其进一步理解不等式的本质特征，让他们借助函数思想解答不等式中的最值问题，以及恒成立问题等 [3] .

例3   已知对于任意x∈［-1，1］，f（x）=x 2+（a－4）x+4－2a的值大于0恒成立，请问a的取值范围是什么？

解析   教师可直接提醒学生运用函数思想展开审题，把原题内容描述为“在某个闭区间中有参数的二次函数大于0恒成立”的问题，使其结合分类讨论思想将x∈[－1，1]根据对称轴x= 4－a 2 进行分类讨论，具体分为1＜ 4－a 2 ，－1≤ 4－a 2 ≤1， 4－a 2 ＜－1三大段，逐个讨论每段在函数的递减、递增区间上f（x）值的情况，分别求出的a取值范围，综合起来能够得到的最终取值范围是a＜1.

具体解题方式如下：

对于任意x∈［-1，1］，

f（x）=x 2+（a－4）x+4－2a的值大于0，

则x 2+（a－4）x+4－2a＞0，

所以a（x－2）＞－x 2+4x－4，

因为x∈［-1，1］，

则a＜ －（x－2）  2 x－2 =2－x在x∈［-1，1］上恒成立，

即a＜（2－x） min  ，

当x=1时，（2－x）  min  =1，

所以a<1.

在这一解题过程中，通过有效采用函数思想，学生进行解题时不用考虑Δ＜0的情况，既可以保证各种情况都没有被遗漏掉，还可以提升他们解题的准确度，使其做起题来又快又准确.

4 有效使用函数思想解决数列类试题

数列是高中数学教学中的核心内容之一，也是高考数学中的必考点，高中生主要学习数列的概念，以及等比数列和等差数列相关知识，从实质上来说，数列为函数中的一个特殊产物，即当某个函数的定义域为正整数集时，这个函数就是一个数列.在高中数学平常解题训练中，当遇到一些数列类试题时，尤其要求出最值时，教师应当提示学生有效使用函数思想，使其快速找到清晰、准确的解题思想，适当减少运算步骤，让他们轻松解决数列题 [4，5] .

例4   已知函数f（x）=3x 2+bx+1是一个偶函数，g（x）=5x+c是一个奇函数，正向数列an=  2 3    n-1 ，n∈ N   * ，假如数列bn=2f（an）－g（an+1 ），那么在数列{bn}中哪个项的值最大和最小？

解析   学生解答本题时如果纯粹使用数列方面的知识，虽然也能够求得最终结果，但是计算起来较为繁琐，步骤较多，还容易出现错误，影响结果的准确度，这时教师可提示学生有效使用函数思想，使其找到题目中的变量，以及量与量之间的对应值，据此找到简便的解题方法，提高解题的正确率.

具体解题方式如下所示：

结合题干信息能够得到f（x）=3x 2+1，g（x）=5x，

那么bn=6a 2n－5an+1 ，n∈ N   * ，

代入相关数值后得到bn=6 an－ 5 18    2+ 83 54 ，

因为an=  2 3   n-1 是一个逐项变小的数列，基于函数思想来看就是一个减函数，

所以当n＝1，2，3，4时，an> 5 18 ；

当n≥5，n∈ N   * 时，an< 5 18 ；

当n=4时，bn= 274 243 ，

当n=5时，bn= 197 125 ，

由此表明b4

又因为an=  2 3    n-1 ∈ 0，1 ，

則an=1，即为当n=1时，数列{bn}的最大值是b1= 14 3 .

综合起来，在数列{bn}中，第4项的值最小，是 274 243 ，第1项的值最大，是 14 3 .

在解答上述题目时，学生能够切实体会到数列是一种比较特殊的函数，特殊之处在于自变量的取值范围为自然数，而且数列bn可以看成是二次函数y=6 x- 5 18    2+ 83 54 ，由此表明求数列bn中的最值时可以结合求二次函数中的最值方法，让他们宽松、准确地求得结果.

5 结语

在高中数学解题实践中，由于考查到的知识难度、深度同初中数学相比均有所提升，致使题目难度也在增加，教师要给予格外关注与认真对待，带领学生有效应用函数思想进行解题，将一些常见的数学试题转变成函数问题，以此拓展他们的解题思想，突破以往思考问题的方式，把复杂问题变得简单化，使其快速找到解题的突破口，最终快速求出准确结果.

参考文献：

[1] 张宏斌.浅谈函数思想在高中数学解题中的应用[J].数理化解题研究，2022（18）：26-28.

[2]邵春燕.高中数学解题教学中函数思想的应用[J].数理天地（高中版），2022（06）：29-30.

[3]崔英红.关于函数思想的高中数学解题教学策略分析[J].科幻画报，2022（02）：155-156.

[4]李侠.浅谈函数思想在高中数学解题中的运用分析[J].数理化解题研究，2021（36）：18-19.

[5]付细苟.函数思想在高中数学解题应用中的再思考和实践[J].中学课程辅导（教师通讯），2020（15）：59-60.