构造函数法在高中数学解题中的应用策略

朱琳

【摘 要】  构造函数法在高中数学解题中有着重要的应用价值，它改变了正向解题思维方式，避开原题目设计的障碍，通过构造一个新的辅助函数，来创新数学解题思路与方法，从而有效提高解题效率.在构造辅助函数时，通过对条件与结论的深入分析和充分利用其关系与特点，并坚持相似性、直观性、等价性的原则构造熟悉的函数实现简捷快速有效解决问题.

【关键词】  高中数学；构造函数法；解题应用

构造法是根据题目条件与结论的关系和特点，构建一个新对象来辅助解题，从而绕开题目所设障碍简捷高效创造性地解题.构造对象可以是函数、数列、不等式等众多类型，本文仅对构造函数法解题进行探讨.

1 构造一次函数辅助解题

例1   已知a，b，c∈ R ，并且三者的绝对值都不大于1，证明：ab+bc+ca+1≥0.

解析   对于该不等式如果直接证明有较大难度，根据该不等式的特点，如果能构造一个相似的一次函数f a = b+c a+bc+1，就将问题转化为证明当|a|≤1时，f a ≥0成立即可.根据已知条件可知-1≤a≤1，-1≤b≤1，-1≤c≤1，分情况进行讨论：

（1）当 b+c ≠0时，f a 就是a的一次函数，f -1 =- b+c +bc+1=（1-b）（1-c）≥0， f 1 = b+c +bc+1=（1+b）（1+c）≥0， 因为一次函数具有单调性，所以当-1≤a≤1时f a ≥0成立，所以原不等式成立.

（2）当 b+c =0时，f a =-b  2 +1≥0，所以原不等式成立.

综合两种情况，可证ab+bc+ca+1≥0成立.

2 构造二次函数辅助解题

例2   假设0

解析   观察已知条件，因为m  2

因为构造函数f m =m-m  2

=- m- 1 2    2 + 1 4 ，

所以f m 在 0， 1 2  区间内是增函数，

因为0

所以f m

所以n< 1 p+1 成立.

通过构造二次函数使不等式得证.

3 构造高次函数辅助解题

例3   已知m，n是两个不相等的实数，并且m，n是高次方程x 4-4x  3 +7x  2 -6x-2000=0的解，求m+n的值.

解析   直接解高次方程比较困难，如果構造一个高次函数可使该问题变得容易解决.

因为x  4 -4x  3 +7x  2 -6x-2000=0，

所以 x-1   4 + x-1   2 -2002=0，

因为m，n是该方程的解，

所以   m-1   4 + m-1   2 -2002=0， n-1   4 + n-1   2 -2002=0，

构造四次函数f x =x 4 +x  2 -2002，容易判断该函数在 0，+∞ 上是单调递增的偶函数，

所以f x =f -x ，

所以f m-1 =f n-1 =f 1-n ，

因为m≠n， 所以m-1=-（n-1），

所以m+n=2.

可见利用构造函数可以使本题更加简洁、高效地得到解决.

4 构造指数函数辅助解题

例4   已知a，b，c是三角形的三条边，并且满足a  2 +b  2 =c 2 ，m是大于2的正整数，证明：c  m >a  m +b  m .

解析   该不等式不易直接证明，分析该不等式的特点并对其进行变形  a c    m +  b c    m <1，可考虑构造指数函数f x =  a c    x +  b c    x ，然后利用指数函数的单调性即可容易证明此题.

因为a  2 +b  2 =c 2 ，

所以三角形为直角三角形，且0

所以0< a c <1，0< b c <1，

构造指数函数f x =  a c    x +  b c    x ，

容易判断f x 在 2，+∞ 上是减函数，

所以当m>2时，f m

所以  a c    m +  b c    m <  a c    2 +  b c    2 =1，

即c  m >a  m +b  m .

5 构造三角函数辅助解题

例5   已知0

sin  A+B+C 3 ≥  sin A+ sin B+ sin C 3 .

解析   仔细分析该不等式可看出，该不等式有三角形重心坐标公式的特点，因此可通过构造三角函数并从三角形重心的方向来解题.

构造正弦函数f x = sin x，

则M A， sin A ，N B， sin B ，P C， sin C 三点是正弦函数上的点，它们构成的三角形MNP的重心坐标是G  A+B+C 3 ，  sin A+ sin B+ sin C 3  ，

在（0， π ）范围内正弦函数图象如图1 所示，△MNP 的重心坐标满足如下条件：

sin A+ sin B+ sin C 3 ≤f  A+B+C 3  ，

所以可證明

sin  A+B+C 3 ≥  sin A+ sin B+ sin C 3 .

6 结语

总之，构造法在数学解题中有着广泛的应用，利用构造函数法能够创新高中数学解题思路方法，对于解决一些难以形成简单快捷高效解题思路的复杂问题有着明显优势，也是培养学生数学创新思维的重要途径，因此，教师要注重引导学生巧用构造法实现简捷高效解题.

参考文献：

[1] 陈梅红.“构造法”在高中数学解题中的应用分析[J].课堂内外（高中教研），2021（8）：1.

[2]吴哲宇.高中数学解题中“构造法”的应用探讨[J].环球人文地理，2017（20）：275.

[3]林春花.探讨高中数学圆锥曲线解题中构造法的应用[J].黑河教育，2020（4）：24-26.