分式方程的“神秘过客”——增根

文／吴艺佳

解分式方程时，我们可以利用等式的性质去分母，把不熟悉的分式方程转化为熟悉的整式方程，再求出整式方程的解。比如：解分式方程。方程两边同乘3（x-2），得3（5x-4）=4x+10-3（x-2）。解得x=2。那么x=2 是不是原分式方程的解呢？细心的你会发现，将x=2代入原分式方程后，分式的分母均为0，这两个分式无意义，因此x=2不是原分式方程的解（根），x=2是原分式方程的增根，原方程无解。

也许你对增根还有些困惑，比如为什么会出现增根呢？

一、追根溯源，破解困惑

从求解分式方程说起。解分式方程的过程是不断用新方程替换掉旧方程，直到新方程是一个形如x=a的式子为止。在解分式方程的每一步替换中，只有新方程与旧方程的解完全相同，我们才能保证形如x=a的方程的解与原分式方程的解完全相同。

回到我们的问题，为什么会出现增根？因为我们去分母时，方程两边同时乘最简公分母，最简公分母一般是含有未知数的整式，我们并不能排除这个整式为0，导致未知数的取值范围变大。也就是说，去分母前的分式方程的解和去分母后的整式方程的解不一定完全相同，此时就可能会产生增根。了解了“去分母”这一步的“潜在风险”后，我们便充分认识到验根的必要性，同时明确了“验根只需代入最简公分母，若最简公分母为0，则该根为增根”。

现在我们已经揭开了分式方程的“匆匆过客”——增根的神秘面纱，接下来请你学以致用，大展身手吧！

二、基础巩固，小试牛刀

例1解分式方程：

【分析】解分式方程一定要对根进行检验，并写出规范的过程。

解：去分母，得2（3x-1）+3x=1；

移项、合并同类项，得9x=3，解得

∴原方程无解。

三、活学活用，启迪智慧

实际解题过程中，我们发现，增根常常与含参数的分式方程相结合。因此，同学们需要在理解的基础上加以思考与分析，这也是本章的难点之一。下面，我们一起来挑战一下！

例2已知关于x的分式方程的增根是x=2，则m的值为_______。

【分析】对此类含参数的分式方程问题，我们应先将参数当成“常数”解出分式方程，分式方程的解就是已知的增根，即可求出参数的值。

解：去分母，得x（x+2）-（x+2）（x-2）=m，∴x2+2x-x2+4=m，解得

∵分式方程的增根为x=2，

例3关于x的分式方程1（其中a为常数）有增根，则增根为___。

【分析】本题考查分式方程的增根的确定方法。确定增根的方法可按如下步骤进行：①最简公分母为0，从而确定可能的增根；②化分式方程为整式方程；③把可能的增根代入整式方程，检验是否符合题意，将不合题意的舍去即可。

解：原分式方程的最简公分母为x（x-2）。

去分母，得x（x+a）-5（x-2）=x（x-2）。

令x（x-2）=0，得x=0或x=2。

把x=0 代入转化后的整式方程，得整式方程无解，即分式方程无解；把x=2代入转化后的整式方程，得a=-2。

综上，分式方程的增根为x=2。

当遇到与增根相关的分式方程问题时，我们需要在理解增根概念的基础上，认真审题，细心计算，严密检查，方能乘风破浪，顺利过关！