巧用类比和对比，学好分式和分式方程

文／张伟俊

在生活和学习中，我们经常采用“类比”和“对比”的思想方法来研究问题、探求新知，在分式和分式方程的学习中更是如此。

一、在类比中迁移运用相同之处

所谓类比，就是由两个对象的某些相同或者相似的性质，推断出它们的其他性质也有可能相同或相似的推理形式。

再如，在分式运算的学习中，我们同样可以采用类比的方式展开。两个分式之间如何进行加减乘除运算呢？我们可以类比分数运算的学习经验，形成对分式运算法则的推导过程，将分式的加减分成“同分母”和“异分母”两种情形展开探究。由“异分母”联想到利用“分式的基本性质”进行“通分”，从而转化成“同分母”的情形进行加减；将分式除法转化成分式乘法，然后进行“约分”等。这样的探究过程，就是在类比中迁移运用分数基本性质和运算法则，构建起分式基本性质和运算法则，突显了知识之间的内在联系和类比思想方法的魅力。

当然，我们在借助类比探究新知的过程中，在“求同”的同时，也要关注新知与原有知识之间的不同之处，更好把握新知的本质特征。我们知道了分数基本性质和分式基本性质的相同之处，那么它们之间又有什么不同之处呢？

二、在对比中剖析把握不同之处

所谓对比，就是把两个对象的某些性质进行对照比较，发现它们具有的不同之处或明显差异的思想方法。

在分式方程的学习中，如何来解分式方程呢？首先从形式上看，它和解含分母的一元一次方程类似。因此，类比解一元一次方程的步骤，我们能得到解分式方程的步骤，即去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1 等。它们解方程的步骤是一样的，那么解分式方程与解含分母的一元一次方程有没有不同之处呢？这就需要我们去比较两者每一步的变形及其依据有何不同。

通过比较，我们不难发现，在去分母时，方程两边同时乘各分母的最简公分母，其中一元一次方程的最简公分母是一个整数，而分式方程的最简公分母是一个整式。更重要的是，去分母后，分式方程转化成了整式方程（比如一元一次方程），这样我们就忽略了分式分母不为0 这种情况。如此一来，转化后的整式方程的根，有可能使原分式方程中的分母为0，这便是产生增根的原因。因此，解分式方程必须增加验根的过程。

总的来说，类比是基于两种不同事物或道理的类似，由此及彼，引发猜想，指引探究；对比是将两种不同事物或者同一事物的不同方面放在一起进行对照比较，辨别是非，把握本质。综合运用类比和对比，是我们学习数学的重要方法。