差分方程的特征根法求数列通项*

江苏省外国语学校(215100) 潘小峰

南京市第九中学(210023) 聂振荣

高中阶段主要是学习等差和等比数列,所以遇到陌生数列我们都是通过构造,整体换元转化为等差或等比数列,然后运用其性质解题,但有些递推公式构造起来很困难,例如常系数线性齐次递推公式,这就需要我们进一步学习,采用新的方法来解决.

在求数列通项的过程中,我们往往会碰到一阶线性递推关系,即数列{xn} 满足xn+1=pxn+q,p,q∈R形式,只需对p进行讨论,若p=1,则为等差数列,xn=x1+(n-1)q,若p≠1,则构造等比数列,xn+1-x0=p(xn-x0),通过待定系数法,解得x0=所以数列

将此问题进一步,若数列{xn} 满足xn+1=pxn+qxn-1,p,q∈R 二阶线性递推关系,依旧尝试构造等比数列,假设存在实数a,b使得xn+1-axn=b(xn-axn-1)成立,通过对比系数发现该方程组为方程x2-px-q=0 的韦达定理表现形式.为了说明方便,假设方程x2-px-q=0 的解为a,b∈R 且a≠b.

∴{xn+1-axn} 是公比为b的等比数列,即xn+1-axn=(x2-ax1)bn-1(1).

{xn+1-bxn} 也是公比为a的等比数列,即xn+1-bxn=(x2-bx1)an-1(2).

(1)(2)两式作差可得xn=+

通过观察发现,在上述解答中,方程x2-px-q=0 起到了关键作用,因为这个方程的根a,b包含了通项公式里面所有的重要信息,而xn+1=pxn+qxn-1这种递推关系正是高等数学中的差分方程有关概念.

下面先简要介绍下差分概念:

设xn=f(n),n∈N*,则差xn+1-xn称为函数f(n)的一阶差分,记为Δf(n)即Δf(n)=xn+1-xn,二阶差分即为:

以此类推可定义出n阶差分.差分方程是包含差分,未知函数和自变量的等式.当考虑数列时,递推关系即为差分方程.若某个函数带入差分方程后,使得方程两边恒等,则称此函数为该方程的特解.若此函数由线性无关的特解组成且特解的总个数与差分方程的阶数相等,称此函数为方程的通解.以二阶常系数齐次差分方程xn=pxn-1+qxn-2为例,称x2-px-q=0 为特征方程,它的根a,b为特征根.因此可以利用解差分方程的特征根来解决数列通项问题,就转化为探究差分方程解的结构问题.接下来对特征根探论,一般的分为三种情况:

1 .在实数R 有解且特征根不相等情形

若a≠b且a,b∈R,则xn=pxn-1+qxn-2的通解为xn=c1an+c2bn,c1,c2∈R.

证明∵a2=pa+q,∴an=pan-1+qan-2,∴差分方程xn=pxn-1+qxn-2有一个特解xn=an,同理bn也是一个特解,又因为Wronsky 行列式

按自研处方比例称取空白辅料（约相当于富马酸喹硫平30 mg）和对照品，分别配制1倍和2倍浓度辅料的样品溶液，将1倍浓度辅料样品溶液、2倍浓度辅料样品溶液和对照品溶液进行紫外扫描。扫描范围为190～400 nm。三条扫描图谱基本重合，样品图谱没有明显高于对照品溶液图谱，表明空白辅料对富马酸喹硫平吸光度的检测没有干扰。

当a≠b时,根据Wronsky 行列式W(n)≠0 则an与bn线性无关,所以这两个解线性无关,再根据通解结构定理: 若差分方程中线性无关的解的个数与阶数相等,则这些解的线性组合就是该方程的通解.可知xn=c1an+c2bn是通解.进行代数验证可得:

pxn-1+qxn-2=p(c1an-1+c2bn-1)+q(c1an-2+c2bn-2)=c1(pan-1+qan-2)+c2(pbn-1+qbn-2).

∵an=pan-1+qan-2,bn=pbn-1+qbn-2,∴pxn-1+qxn-2=c1an+c2bn=xn,∴∀c1,c2∈R,xn=c1an+c2bn是xn=pxn-1+qxn-2的通解.最后我们只需要通过数列前两项的值来唯一确定c1和c2.

这与文章一开始构造等比数列求出的结果一致,我们以下题为例进行说明:

2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练第17题:

已知各项都为正数的数列{an}满足an+2=2an+1+3an．

(1)证明: 数列{an+an+1}为等比数列;

分析递推关系an+2=2an+1+3an(n∈N*)的特征方程为x2-2x-3=0,特征根为x1=-1,x2=3,所以an=c1·(-1)n+c2·3n,n∈N*,其中c1,c2为待定常数,由初始条件得所以通项公式为an=n∈N*.

2 在实数R 有解且特征根相等情形

xn=(c1+c2n)an,c1,c2∈R.

证明由于特征方程为二次多项式,故a是x2-px-q=0 的二重根,也是

的根,将(*)式关于x求导,两边再乘x,可得a也是nxn-(n-1)pxn-1-(n-2)qxn-2=0 的根.所以xn=nan是差分方程xn=pxn-1+qxn-2的特解,由情形1 可知,xn=an也是一个特解,易知这两个解an,nan是线性无关.同样可以进行代数验证:

pxn-1+qxn-2

=p[c1+c2(n-1)]an-1+q[c1+c2(n-2)]an-2

=c1(pan-1+qan-2)+c2[(n-1)pan-1+(n-2)qan-2]

=c1an+c2nan=(c1+nc2)an=xn.

所以对于任意常数c1,c2,xn=(c1+nc2)an是xn=pxn-1+qxn-2的通解.结合

3 在实数R 无解但在复数范围内存在一对共轭复根

若方程x2-px-q=0 无实数解,在复平面内,设方程的根为λ=(其中i2=-1),令则λ=α±βi,再将系数单位化.

可得,λ=由复平面上的点(α,β)可以通过旋转辐角θ(其中tanθ=,θ为最小正角)表示,故λ=(cosθ±i sinθ),最后结合欧拉公式eiθ=cosθ+i sinθ,可以实现三角函数与指数函数的互化,所以λ=是差分方程的一组特解,而特解的常数倍也是特解,所以λ′=e±iθ也是一组特解,设λ′1=eiθ,λ′2=e-iθ,同情形1 可得两个复值解,(λ′1)n=(cosθ+i sinθ)n=(eiθ)n=einθ=cosnθ+i sinnθ同理可得,(λ′2)n=cosnθ-i sinnθ,再根据差分方程所有系数是实数,则复值解的实部与虚部也是其解.这是由于将特解(λ′1)n=cosnθ+i sinnθ代入,可得:

(cosnθ+i sinnθ)-p[cos(n-1)θ+i sin(n-1)θ]

-q[cos(n-2)θ+i sin(n-2)θ]=0.

∴[cosnθ-pcos(n-1)θ-qcos(n-2)θ]

+i[sinnθ-psin(n-1)θ-qsin(n-2)θ]=0.

分别对比实部与虚部,∴cosnθ-pcos(n-1)θ-qcos(n-2)θ=0 和sinnθ-psin(n-1)θ-qsin(n-2)θ=0,∴cosnθ,sinnθ也是差分方程xn=pxn-1+qxn-2的一组实数解且线性无关,再由情形1 可得通解为:xn=c1cosnθ+c2sinnθ,c1,c2∈R.

例如已知:x1=1,x2=2 且xn=xn-1-xn-2(n≥3),求数列{xn}的通项公式.

基于特征方程x2-x+1=0 解出共轭复根λ1=

结合辅助角公式可得xn=通过通项可知该数列是周期为6 的数列,一般的特征方程出现共轭复根时,数列会出现周期性这一表现规律,这是由欧拉公式转为正余弦函数所带来的结果.

特征根法求数列通项的思想在新高考背景下已有所渗透,所以系统的研究十分有必要,高中教学中应适当的对初等数学与高等数学的衔接处进行探究,因为数学学习是主体对数学知识的认知过程,学生不应只限于接受,记忆和模仿,老师应该引导学生主动探索,让学生从思想上去揭示问题的本质.