含临界指数的多重奇异拟线性椭圆系统正解的存在性

杜 刚

(喀什大学 数学与统计学院, 新疆 喀什 844007)

本文研究下述含临界指数的多重奇异拟线性椭圆系统

正解的存在性,其中N≥3,Ω是RN中一有光滑边界的有界区域,λ,η,δ>0,

Δpu=-div(|▽u|p-2▽u),

α>1,β>1,α+β>p,α+β=p*.

近年来,含临界指数的奇异拟线性椭圆系统一直受到人们的关注[1-6].其中:文献[1-3]利用变分方法和分析技巧,研究了含多个奇异点和临界指标的半线性椭圆系统的正解的存在性;文献[4]利用Nehari流形得到系统

多解的存在性;文献[5-6]利用变分方法和集中紧原理,得到含临界指数的p-Laplacen奇异拟线性椭圆系统解的存在性.对于含临界指数的多重奇异p-Laplacen系统解的存在性的研究目前结果很少,本文将讨论含有Hardy奇异项和强弱耦合项的p-Laplacen系统正解的存在性.

解决问题(1)的主要困难在2个方面:一是含有Hardy奇异项和Sobolev临界指数;二是强耦合项|u|α-2|v|βu、|u|α|v|β-2v与弱耦合项|u|p*-2u、|v|p*-2v相互作用,从而使得系统变得更为复杂且泛函不满足(PS)c条件.本文主要是通过应用Lions集中紧原理和山路引理,解决了上述问题,得到了在一定条件下此类拟线性椭圆系统正解的存在性.

1 预备知识及主要引理

‖(u,v)‖pW=‖u‖p+‖v‖p.

由Young不等式,可定义最佳常数

Aμi=

Aμi在RN的达到函数是

Vξiμi,ε=ε

其中

φ(x)=1, |x|≤R;φ(x)=0, |x|>R.

由文献[7]有如下估计

(Aμi)

Aη,λ,σ(μi)=

(2)

(3)

A

(4)

则泛函J满足(PS)c条件.

证明设{(un,vn)}⊂W,满足J(un,vn)→c

(un,v在W中,

(un,v在Lp(Ω,|x-ξi|-p)×

Lp(Ω,|x-ξi|-p)中,

(un,v在Lp*(Ω)×Lp*(Ω)中,

|∇un|p+|∇vn|∇u|p+

|∇v|

λp|un|α|vn|β+η|un|p*+δ|vn|

δ|v|

由Sobolev不等式,有

Aη,λ,σ(μ

Aη,λ,σ(μ

(5)

δ|vn|p*)φj(x)dx],

其中

δ|vn|p*)φj(x)dx)=

δ|v|p*)φ

所以

再由Sobolev不等式

可得

或

φi(x)=1,x∈B(ξi,ε),

φi(x)=0,x∈B(ξi,2ε)c

δ|vn|p*)φi(x)dx)=

δ|v|p*)φ

所以

(6)

由(5)和(6)式可得

Aη,λ,σ(μ

所以

或

另一方面

δ|vn|p*)dx=

δ|v|

A

(un,vn)→(u,v).

为进一步研究Hardy-Sobolev常数Aη,λ,σ(μi),在引理1.1条件H1满足下,设

f

fη,λ,σ(τ

其中τmin>0是fη,λ,σ(τ)的极小值点.

引理 1.2设条件H1满足,则:

(i)Aη,λ,σ(μi)=fη,λ,σ(τmin);

证明类似于文献[10].

引理 1.3设条件H1满足,则对∀t≥0,有

证明定义函数

g(t)=J(tuε,μk,t(τminuε,μk)),

易见

在t充分靠近0时,g(t)>0,因而存在tε>0,使得

g′(tε)=0,

δτ

注意

所以

g(t

即∀t≥0,有

2 定理的证明

定理 2.1假设条件H1成立,则楕圆系统(1)至少有一个正解.

证明设

Τ={h∈C([0,1],W)|h(0)=0,J(h(1))<0},

由Young不等式和Hardy-Sobolev不等式,有

J(u,v)≥c‖(u,v)‖pW-c′‖(u,v)‖p*W.

由上式可得,存在充分小的常数ρ>0,有

另外,当

t→+∞,J(tu,tv)→-∞,

因而存在t0>0,使得

‖(t0u,t0v)‖>ρ,

且

J(t0u,t0v)<0.

由山路引理[11]可得,存在{(un,vn)}⊂W,有

J(un,vn)→c,J′(un,vn)→0.

由引理1.3可得

由引理1.1知{(un,vn)}存在子列,仍记为{(un,vn)},在W上(un,vn)强收敛于(u,v),且

J(u,v)=c,J′(u,v)=0,

即问题有解.

设

u-=min{u,0},v-=min{v,0},

同理可得

〈J′(u,v),(u-,v-)〉=0,

从而u≥0,v≥0,再根据极大值原理可得(u,v)是问题(1)的正解.