基于多偶极子磁性模型的卫星复杂磁场建模方法

孟立飞，肖 琦，王国强，陈金刚，易 忠，吴明雨，张铁龙,3

（1.哈尔滨工业大学（深圳），深圳 518055；2.北京卫星环境工程研究所，北京 100094；3.奥地利科学院 空间研究所，格拉茨 A-8042）

0 引言

为提高卫星、飞机等飞行器平台的磁场探测精度，需对源自平台的磁场干扰加以控制。进行控制的前提是通过磁场建模获取平台的磁场信息，而仿真分析是磁场建模的常用手段，更是复杂磁场建模方法的关键。自20 世纪中期开始，国内外已对飞机、舰船及潜艇等典型平台的磁场开展了大量的理论及实验测试工作，并发展了多种磁场建模方法[1-4]。然而，关于卫星平台磁场的研究起步较晚，相关建模方法仍有待进一步完善。

本文首先简要介绍典型平台的磁场建模方法，分析这些系统的复杂磁场建模方法在卫星上的适用性；然后结合卫星自身特性，研究卫星复杂磁场的建模方法；最后用真实卫星的磁场参数验证所提出的复杂磁场建模方法的精度。

1 复杂磁场建模方法

1.1 飞机干扰磁场建模方法

在航空磁测中，由于磁力仪安装在飞机内部，飞行平台产生的磁场会对目标磁测产生很大干扰，所以要精确测量环境磁场，就需要将飞机的干扰磁场剔除。Tolles 等建立了干扰磁场的数学模型，该模型给出了由飞机机动产生的固定磁场、感应磁场和涡流磁场的数学表达式，称为Tolles-Lawson方程[5]；后续大量的研究都是在此理论基础上开展的。

飞机干扰磁场的矢量表达式为

式中：ex、ey和ez为方向矢量；Bx、By和Bz为磁场测量分量；其余参数为各干扰系数。

飞机干扰磁场的标量表达式为

式中：Ui和Uj分别为地磁场和干扰磁场在飞机坐标系中三个坐标轴的方向余弦；U˙j为Uj对时间的导数；ai、bij和cij为干扰系数；BE为地磁场。

通过设计多次复杂的飞行轨迹，记录飞机在不同飞行状态、姿态和位置下磁力仪接收的磁场信息，便可计算出数学模型的干扰系数，从而提高后续飞行的磁场测量精度。

该方法的优点是：无需面向飞机建立复杂的磁性模型，而是设计飞行轨迹，通过实际测量的磁场数据计算出干扰系数，从而消除飞机平台对环境磁场测量的影响，最终达到高精度磁场探测的目的。

1.2 舰船、潜艇磁场建模方法

舰船、潜艇的壳体由钢铁材料加工而成，对内部设备有较大的磁屏蔽作用，因此舰船、潜艇的外部磁场主要是壳体的剩磁场和感应磁场，其磁场建模主要面向金属壳体。壳体具有界面连续、材料布局相对均匀、壁薄和磁导率较大等特征，适宜应用数值法进行建模计算。对于潜艇，甚至可将其定义为标准的旋转椭球体，应用解析法进行建模计算，文献[4]就采用了该方法。

磁偶极子阵列模型是另一种应用较多的潜艇磁场建模方法[6]。该模型的基本原理是在壳体上均匀设置n个磁偶极子，位置ri已知，磁矩Mi未知，下标i=1,2,…,n。在m个测量点测量潜艇产生的磁场值Bj，则

式中：G矩阵的各个分量可根据偶极子磁场的计算公式推导出来，是偶极子位置ri和测量点位置rj的函数。由于磁场测量点的位置均已知，G矩阵各个分量值均为常量。根据式(3)可知，只需要测量m个位置的磁场z分量，就可以得到m个线性方程组，从而计算出所有Mi值，最终得到需要的磁偶极子阵列模型(M,r)。

1.3 卫星磁场建模的特点

相对于飞机而言，由于卫星在既定轨道上运行，很难实现在空间中自由飞行或随意变换姿态，所以飞机干扰磁场的建模方法不适用于卫星。基于轻量化的要求，卫星的舱体一般使用铝蜂窝或者碳结构等无磁材料制造，所以卫星的磁性主要来源于其内部近百台单机中大量的电子元器件以及离散的软硬磁材料。加之卫星磁源比舰船、潜艇平台的更为复杂，因此将磁偶极子阵列模型应用于卫星复杂磁场的建模需要结合卫星自身特点进行优化。例如，卫星平台上磁源的位置ri和磁矩Mi均未知，式(3)由线性方程变化为非线性方程，因此需要测量三分量的圆周磁场数据，从而获得足够的外部磁场信息，通过反演算法得到符合精度要求的多偶极子磁场模型(M,r)，再依据多偶极子磁场模型计算卫星任意r'位置的磁场值：

2 卫星多偶极子磁场建模方法

卫星多偶极子磁场模型有两种建模方式：单机组合法和整星测量数据反演法。

2.1 单机组合法

该方法通过测量卫星单机磁场分布，计算出单机磁偶极矩，获得所有单机的磁偶极矩及其在卫星坐标系下的方位，进而组合得到整星的多偶极子磁场模型[7]，用{Mi}(i=1,2,…,N)和{ri}(i=1,2,…,N)表示，其中N为单机总数。单机磁偶极矩Mi的计算可参照航天器磁矩测量的标准方法，如偶极子法、球面作图法或赤道作图法[8]。

单机组合法的优点为：单机的磁场测量非常容易；依据所有单机磁场模型组合成卫星磁场模型，无须整星测量，没有尺寸限制；磁偶极子和单机一一对应，与卫星磁源实际分布符合度高。单机组合法的缺点为：由于卫星复杂的构型、内部电缆网的影响、互感的影响以及单机长期的磁性状态变化等，造成磁偶极子磁场模型与卫星真实结果有一定偏差，尤其当磁洁净卫星伸杆远端磁场很小时会有更大的相对偏差；所有单机需要磁试验。单机组合法常用于卫星磁性预估、设计优化和过程磁性控制，但一般不能作为最终的卫星磁洁净指标验收手段。

2.2 整星测量数据反演法

首先测量卫星圆周磁场分布Bm（m个测量点），设置一组多偶极子初始磁场模型，代入式(4)，计算出m个测量点位置的磁场计算值B。定义磁场计算值和测量值的方差函数为

其中磁偶极子磁场模型参量M和r的优化值由函数C(M,r)的最小化原理确定，

通过对多偶极子磁矩和位置的双重迭代优化，最终得到符合精度要求的磁偶极子磁场模型(M,r)，具体理论国内外都有文献报道[9-11]。

整星测量数据反演法的优点为：1）根据卫星整星测量数据建模计算，可信度较高；2）通过测量卫星近处的磁场分布能建模计算远处的微弱磁场值。整星测量数据反演法的缺点为：1）反演难度大，多偶极子磁矩和位置参数自由多重迭代，存在非线性运算，可能由于测量数据误差等因素造成难收敛甚至不收敛等问题；2）结果不唯一，最终的多偶极子模型与实际磁源不是一一对应的。整星测量数据反演法可用于卫星磁试验数据分析和磁洁净指标验证。

2.3 建模方法的卫星应用与结果校验

以某磁洁净卫星为例（如图1 所示）：星载磁力仪探头安装在长伸杆的顶端，在该位置上磁场洁净度控制指标非常严格，要求不超过0.5 nT。在卫星研制阶段，对该卫星实施了严格的磁洁净控制措施，并应用多偶极子法进行了磁场建模计算。首先对卫星所有单机进行了磁试验，计算出每台单机的磁偶极矩。然后按照单机组合法，在卫星坐标系下组合成多偶极子磁场模型，再依据磁偶极子模型计算出卫星本体在磁力仪探头位置上产生的磁场值B1。

图1 磁洁净卫星构型Fig.1 Configuration of a magnetic clean satellite

此外，对卫星进行了整星磁试验，磁场测量探测器布局如图2 所示，其中8 号探头布置在星载磁力仪探头安装位置。卫星被放置在可旋转360°的水平无磁转台上，转台每转动10°，测量一组磁场数据。

图2 磁场测量探测器布置示意Fig.2 Layout diagram of magnetic measurement detectors

利用2 号、4 号、5 号探头的近场圆周分布测量数据，根据反演法构建了卫星的多偶极子磁场模型，偶极子数目为16 个。如图3 所示，离散点为3 个探头9 个磁场分量的实际测量值，曲线为多偶极子磁场模型的计算值，二者符合性很好。根据多磁偶极子磁场模型计算得到卫星本体在磁力仪探头位置上产生的磁场值B2。

图3 磁场测量值与多偶极子磁场模型的计算值Fig.3 Measured values of magnetic field and calculated values of multi-dipole magnetic model

依据8 号探头的实测数据得到卫星本体在该磁力仪探头位置上产生的磁场值B3。对比了组合法和反演法计算结果，以及直接测量结果，如表1所示。

表1 磁偶极子模型的计算值与磁场实测值对比Table 1 Comparison between calculated values of multidipole magnetic model and measured values of magnetic field

由于卫星本体磁场在磁力仪位置处的值非常小，所以利用磁力仪直接测量的数据存在0.1 nT 量级的误差。即便如此，从表1 中仍可发现，反演法与直接测量的最大偏差不超过0.13 nT；组合法与直接测量的最大偏差为0.32 nT。该结果表明：反演法有更好的精度；组合法计算结果虽然有一定的偏差，但是仍然能够有效指导卫星研制过程的磁洁净度控制，确保最终指标受控。

3 结束语

我国未来规划的专业磁测卫星和深空磁场探测任务对卫星磁洁净度将有更高的要求，这也促使卫星磁场建模计算技术不断发展。目前基于反演法的磁洁净卫星磁场建模计算的精度可优于0.2 nT，为进一步提高计算精度，将从以下三个方面开展多偶极子建模方法的深入研究：

1）在单机组合法方面，开展单机磁场模型的细化研究，增加外磁场感应和单机互感模型，以进一步提高组合模型的计算精度。

2）在整星测量数据反演法方面，继续开展非线性迭代算法的研究，优化测量数据的布点，寻求规避不收敛奇异点的方法，提高运算效率。

3）结合组合法和反演法的优点，在单机组合模型的基础上，进一步利用卫星圆周近场测量数据，研究多偶极子磁场模型的优化方法，得到反演运算更快收敛、磁源分布更符合实际、计算精度更高的卫星磁场优化模型。