矩阵教学中观察能力培养探析

陈思彤

摘要：矩阵理论的教学是线性代数教学中重要的组成部分，它几乎贯穿线性代数教学的始终.矩阵概念、性质、法则、公式、定理等内容的学习离不开一种心理现象，即对矩阵知识的观察与理解.观察是认识矩阵的基础，亦是矩阵学习过程中逻辑思维形成的触角.在矩阵教学中，强调观察矩阵和行列式的区别与联系及二者不同的应用领域、观察矩阵秩和逆的常见求法、观察考研矩阵证明题的常见题型等意义重大.为此，矩阵教学中观察能力的培养秉承五性，即秉承观察的习惯性、目的性、方法性、全面性、深刻性尤为重要.

关键词：矩阵；教学；大学数学

矩阵知识在线性代数中占有十分重要的地位，矩阵的概念、运算、逆矩阵、分块矩阵、初等变换、矩阵秩及矩阵在实际中的应用等尤为重要.高校数学教师在传授上述知识时，一方面要做到全面准确掌握这些知识，另一方面要运用高等教育学、心理学知识去发掘学生的潜能，开发智力与非智力因素.凭着笔者的教学经验，矩阵知识的学习离不开一种重要的心理现象，即对矩阵特征的观察.观察是认识矩阵的基础，只有充分观察矩阵，才能更好地解答各类矩阵问题，下面从六个方面进行探讨.

1观察矩阵和行列式的区别与联系

线性代数的第一章一般是行列式，第二章为矩阵.学生学完矩阵一章后一定要观察归纳出矩阵与行列式的区别与联系，只有这样才能更好地学习后几章知识.

1.1矩阵与行列式的区别

矩阵是一个数表，行列式是一个由数表给出的代数和式.矩阵的行数和列数可以不同，行列式的行数与列数必须相同，在教学过程中必须使学生理解以下几个不同.

① 运算结果不同.矩阵是一个数表，只有方阵才可以定义它的行列式，而对于长方形矩阵不能定义它的行列式.两个矩阵相等是指对应元素都相等；两个行列式相等，不要求对应元素都相等，甚至阶数也可以不一样，只要运算的结果（代数和）一样就行了.

② 运算性质不同.两矩阵相加是将对应元素相加；两行列式相加，是将运算结果相加.数乘矩阵是指某数乘以矩阵的每一个元素；而数乘行列式的某一行或列相当于此数乘以原行列式.

③ 变换后的结果不同.矩阵经初等变换，其秩不变；行列式经初等变换，其值可能会改变，它的改变可归纳为：换法变换要变号，倍法变换差倍数，消法变换不改变.

1.2矩阵与行列式的联系行列式可看作一个行数与列数相等的矩阵（即方阵）的行列式，行列式是方阵的一种属性.

2观察矩阵与行列式不同的应用领域

矩阵是线性代数中最核心的理论，它常见于统计分析等应用数学学科中.例如：企业投入产出分析模型，人口迁移的动态分析，编制希尔密码等.物理学中，矩阵在电路学、力学、光学和量子物理中都有很好的应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵理论.行列式可以看作是有向面积或体积的概念在欧几里得空间中的推广，或者说，在欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响［1］.

3观察矩阵求秩常见的两种方法

3.1找非零子式的最高阶数

3.2初等变换化为行阶梯形矩阵

4观察理解求矩阵逆常见的三种方法

4.1待定系数法

4.2伴随矩阵法

4.3初等变换法

5观察考研矩阵证明题中常现的题型例

6矩阵教学中观察能力的培养秉承五性

6.1激发学习兴趣，培养观察的习惯性

兴趣是最活跃、最现实的心理成分，是一种带趋向性的心理特征.托尔斯泰说过：“成功的教学所需要的不是强制，而是激发学生的兴趣.当学生的某种事物发生兴趣时，他们就会主动地、积极地去观察、去探究.”［4］矩阵教学中，针对概念、性质、定理、公式、法则应用等均可精心备课，激发学生的兴趣，促进教学质量的提升.矩阵教学中，偶然做到激发学生观察的兴趣不难，但要长期形成兴趣与观察习惯确实很不容易.贝费里奇说：“培养那种以积极的探究态度关注事物的习惯，有助于观察力的发展.在研究工作中养成良好的观察习惯比拥有大量的学术知识要重要，这样说法并不过分.”［5］一个学生或教师有了持久的观察兴趣并养成习惯，他能观察过程中所遇到的各种障碍和困难，把观察进行到底.

6.2引导学生感知，培养观察的目的性

观察的效果取决于观察目标的任务的明确程度.在矩阵教学中，教师引导学生观察必须要确立明确的目标，使感知围绕着目的任务.例如，在分块矩阵学习中，首先要明确将矩阵分块，然后运用性质求出结果.

6.3注重学习策略，培养观察的方法性

矩阵教学前，首先要教育学生做好必要的知识准备.例如，矩阵与前面所学行列式有何区别与联系.其次要指导学生有计划、有步骤地进行观察，在指导求逆矩阵和求矩阵的秩的各种方法步骤时，注重引導学生在观察时善辨多思；在探究考研矩阵证明题的题型时，一定要注意搜索每一个细节，多角度剖析题目.最后还要指导学生做好观察总结.

6.4讲究观察程序，培养观察的全面性

矩阵教学中，针对某种问题，如能根据观察的目标抓住对象的组成特点，遵循对象的内在规律来确定某种观察程序，就能帮助我们全面揭示问题的本质.例如，伴随矩阵法就要求有明确的观察程序.

6.5发掘隐含条件，培养观察的深刻性

在矩阵教学中，概念理解题、定理、公式、法则及应用题、矩阵的各种解答或证明题的题目本身存在隐含条件，教学中要不断培养学生由表及里，综合分析题目已知与未知的关联，发掘问题本质等的能力.要做到这一点，最重要的是通过精选例题，认真讲解，让学生观察总结，形成一种学习习惯和方法，经过有效训练，学生解决问题定会变得更精准、更深刻.

综上所述，培养学生良好的观察品质应从上述五个方面入手，这五个方面是一个统一的整体，它们相互依存、相互促进、相互补充，在矩阵教学中要全面安排，统筹兼顾，全面培养.参考文献：

［1］ （美）Lay D. C.著.刘深泉，等，译.线性代数及其应用［M］.北京：机械工业出版社，2016.

［2］ 湖南工商大学高等数学教研室主编.线性代数［M］.武汉：华中师范大学出版社，2019.

［3］ 汤家凤.2023考研数学接力题典1800［M］.北京：中国政法大学出版社，2021.

［4］ 黄超文.教育心理学［M］.北京：北京教育出版社，2019.

［5］ 曾军良.高效学习方略［M］.北京：人民出版社，2014.