丰富具身经验 培养量感素养——以北师大版数学教材四年级上册“角的度量”一课为例

陈金飞

（江苏省启东实验小学）

“角的度量”这部分内容属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下通称“新课标”）“空间与图形”领域中“测量”的内容。在学习此内容之前，从纵向来看，学生已经学习了“角的初步认识”，知道了角有大小，“角的大小与两条边张开的大小有关，与角的两条边长短无关”；从横向来看，学生已经学习了线段的度量，经历了建立长度单位表象、统一长度单位的过程。“角的度量”和线段的度量、面的度量虽然分布在不同的年级，但它们是具有内在联系的知识。角的度量本质就是用度量单位的个数描述角的大小，其关键在于找度量单位。这就需要教师让学生直观感知角有大小及角的可测量属性，进而进行角的比较，并在描述角的大小过程中产生统一单位的需求，所以本节课应抓住“度量单位”这一核心概念统领教学。

一、寻找度量标准的统一过程，形成具身经验

统一性是计量的本质属性。测量长度需要一把“长度尺”，因为“长度尺”上有统一的长度单位。“角的度量”教学着力点不在于引出量角器，而是帮助学生引出角有大小，大小是由标准的个数所决定的。然而，角的大小非常抽象，因此，用学生熟悉的钟面作为载体，可唤醒学生已有的认知基础，变抽象为直观。动态的分针能让学生直观感悟角的动态生长，而钟面上的大格、小格就成了比较角的大小的参照物，这样的学习素材有利于学生自主生成多种方法去比较角的大小，自然生成“标准”意识。

师：观察主题图（见上页图1），小东和小丽上学路上所用的时间为分针扫过的两个角，你能比较它们的大小吗？

图1 小东和小丽上学路上所用的时间

【比一比】

你能想到几种不同的方法来比较下面∠1 和∠2的大小？

【说一说】

和组内小伙伴们分享自己的思考过程。

第一小组用数格子的方法进行比较。

生：我用“数大格”的方法，∠1 是2 个大格，∠2 是3个大格还多，所以∠2大。

生：我用“数小格”的方法，∠1 是10 个小格，∠2是18个小格，所以∠2大。

师：用“大格”或者“小格”作为标准，谁含有的标准数多，谁就大。角的大小由标准的个数决定。

第二小组用三角板上的角作为标准进行比较。

生：我是用直角作为标准来量的，∠1 比直角小，∠2比直角大，所以∠2大。

生：我是用三角尺上的大锐角为标准来量的，∠1等于大锐角，∠2比大锐角大，所以∠2大。

生：我是用三角尺上的小锐角为标准来量的，∠1等于2个小锐角，∠2比3个小锐角大，所以∠2大。

师：用三角尺的角作为标准，分别测量两个角的大小，再作出比较。

第三小组用直尺量出角张开的距离进行比较。

生：角的大小跟它两条边张开的大小有关，我们小组量出∠1 张口的大小是3 厘米，∠2 张口的大小是5厘米，所以∠2大。

师：比较∠1 和∠2 的大小，通过刚才三个小组的交流汇报，你有什么发现？

生：我想补充一点，标准越小，结果越精确。比如小格比大格度量的结果精确，小角比大角度量的结果精确。

生：角的大小与两条边张开的大小有关，里面含有的格数越多，角越大。

生：大格对应的圆弧长，小格对应的圆弧短。

师（小结）：角的大小与两条边张开的大小有关。在同圆中，大角对应的弧线长，小角对应的弧线短。我们要测量角的大小，在测量之前要用统一的单位进行度量。

教师引领学生经历了理解角的内涵的不同层次：直观感知角有大小，角在钟面上开口变大，就是角变大了；寻找标准，用“小角”度量大角，用“数+单位”来描述角的大小。学生在寻找度量标准的统一过程中，不断累积具身经验，唤醒度量意识。

二、经历单位量感的建构过程，发展度量意识

数学结构化教学注重把概念的形成镶嵌于知识体系之中，以核心概念为中心，用思想方法建构起知识网络，通过横向联系知识实现旧知迁移，促进新知的学习。如度量长度，应使用一个规定的长度作为长度单位，要知道一条线段的长度，就要看被测量的长度里含有几个这样的长度单位。对于二维空间里的角，教师要让学生感受到“描述一个角的大小，就是看大角里面含有几个小角”。因此，教师要引导学生借助钟面上的大格、小格所对应的角作为标准，来测量角的大小。

2.3.1 混播组合对混播植物SOD活性的影响 混播组合对禾草SOD活性影响明显(表5)。20个不同混播组合，A3B1组合禾草SOD活性最高，达到304.21 U/g，显著高于A1B0、A1B4、A2B1、A2B2、A2B3、A2B4组合(P<0.05)。不同混播比例下虉草的SOD活性明显高于披碱草。混播组合对苜蓿SOD活性的影响没有禾草明显(表6)。除A4B1组合苜蓿SOD活性显著高于A2B4组合和单播苜蓿外，其余组合苜蓿SOD活性没有显著差异(表5)。

【量一量】

选择合适的标准角分别量出下面两个角的大小。

师：刚才同学们借助不同的“标准”进行比较，都得出∠2 大于∠1，一起回顾一下，我们怎样测量物体的长度？

生：我们创造长度单位1厘米、1分米、1米，用长度单位去测量。

师：大家从中受到什么启发？

生：量大长度用小长度作为标准，量大角要用小角作为标准。我们可以用钟面上一大一小这两个角作为测量工具。

师：我们把钟面上一大格对应的角称为大格角，一小格对应的角称为小格角，借助学具袋中的大格角和小格角，分别量出∠3和∠4各有多大。

师：先来汇报你们是怎么测量∠3 的，具体结果是多少。

第一小组：我们小组测量到∠3 等于2 个大格角多一点儿、3个大格角少一点儿。

第二小组：我们同时用大格角和小格角，∠3 等于2个大格角和2个小格角。

第三小组：我们全部用小格角，∠3 等于12 个小格角。

师：大家在测量的过程中，用大格角和小格角结合起来测量，非常好，合适的是最好的。那∠4 有多大？

第一小组：我们小组用大格角和小格角都测了，都不正好。

第二小组：我们小组测到1 个大格角加半个小格角，或者全部用小格角测，是5个半小格角。

师：大家有没有听清楚？怎么出现了半个？

生：1 个小格角还大，我们把它对折，就正好，所以最后有半个。

师：这个小组太厉害了，1 个还大，继续细分，得到更小的单位。大家联系我们学过的长度单位，是否有所启发？

生：我们可以找到一个很小的角，把它看作“1”，用这个“1”去度量角的大小，数一数就知道了。

师：你真有想法。让我们一起看一下角的度量单位是怎样产生的。

教师引入介绍：将半径旋转一周形成的角叫周角，规定为360 度，把它平均分成360 份，其中的1 份就是1度的角。度是角的计量单位，用符号“°”表示，如1度记作1°。

∠3（72°）不能用大格去度量，只有用大格结合小格才能度量。∠4（33°）用大格结合小格仍无法表达出角的大小，学生从而产生继续细分的想法。学生在这样一步步的思维行进过程中认识到，角也像长度一样，要想知道一个角的大小，就要用统一的度量单位来测量；要准确测量角的大小，就要确定合适的度量单位。对于同一个大角，单位小角的不同，导致了对角的大小的描述不同，所以，单位小角还需要进一步完善，寻找一个单位小角的标准（1°角）。学生在新旧知识的类比推理中实现正向迁移，自然生长出对1°角的需求，为知识关联找到了认知通道。学生经历单位量感的建构过程，完善了认知结构，发展了度量意识。

三、加强累加量感的感悟过程，精准完善量感

量感在日常教学中往往被教师视作“规定”知识，直接告诉学生，从而掩盖了知识产生的过程，忽略了背后鲜活的体验。在核心概念统领下的结构化教学中，教师应着力于激发学生在认知冲突中思考，引导学生经历标准量的建构、量角器的形成过程，把抽象的量感与具体的体验相结合，在积累丰富活动经验的基础上，将量感内化为稳定的表象。

师：思考一下，测量长度，可以把长度单位累加形成长度尺，便于用来测量。是否可以借助这样的经验，创造出适合我们使用的量角工具？

【创一创】

在透明的半圆形胶片上创造出一个量角的工具，标出数据。教师课件演示：0刻度线出发，动态产生1°角，1°角通过累加得到5°，10°，30°，60°，90°，180°角。学生借助课件演示，体会每个角都是由若干个1°角拼合而成的。

师：观察量角器，你有什么发现？

生：量角器是由1°角不断累加而成的，与长度尺不同的是，长度尺是从0 刻度线依次往右不断增长的，而量角器的刻度线是旋转而成的，角的顶点一直不变，中心就是角的顶点。

师（小结）：确定了角的计量单位，有了1°角，读懂了量角器的构成，我们就可以准确地测量角的大小了。

师：动手量一量∠3和∠4的大小，说一说，你是怎么测量的。

生：角的顶点与量角器的中心对齐，一条边与0刻度线对齐，另一条边对着几，就是几度。∠3=72°，∠4=33°。

师：请利用我们创造的量角器来测量一下∠5 的度数。

生：我测得∠5=120°。

生：∠5不可能大于90°，因为它比直角小。∠5的一条边对齐180°刻度线，不是对齐0°刻度线，所以应该用180°-120°=60°。

生：我把量角器旋转了一下，一条边对齐0 刻度线，我也测量到是60°。

师：观察∠5，它与∠3、∠4。有什么不同？

生：开口的方向不同，所以测量起来容易出错。

师：人们在测量角的大小过程中，也发现了这个问题，怎样才能解决开口反向的问题？

生：我们在外面再标一组数据，左边180 度刻度线对应0刻度线，这样就可以“一尺两用”了。

师：你和双向量角器的发明者想得一样。请大家拿出量角器，观察各部分组成。刚才，我们创造了量角器，积累了测量经验，接下来，请用我们学到的知识去估计一下生活中角的大小（见图2）。

图2 生活中角的大小

生：图2 中的左图可以分成一个直角和一个锐角，锐角大约是90°的一半，所以大约是135°。

生：图2 中的右图，左边的锐角估测比直角少一个锐角，锐角大约是30°的一半，所以估计75°。右边那个角用180°减去75°，大约是105°。

师：借助30°，45°，60°，90°等这些特殊的角进行估计，是估测的一个有效策略。下面请用量角器验证一下估测的结果。

角的度量的本质是看被测对象中含有多少个“单位小角”，这是学生理解量角器的逻辑基础。量角器的本质是“单位小角”的不断累加，用1°累加成2°，3°，10°，30°……学生在这个过程中，首先感受到角的有限可加，进而认识更多的度数，明白“度量的对象里包含了多少个度量单位就是多少度”。其次，所有这些角的顶点都重合在一个点上，而这个点就是量角器的中心点，同时也是角的顶点，这也为角的顶点与中心点重合找到了思维的根基。最后，在实际测量中，学生感受到了单边一圈量角器的不足，自然产生了完善量角器的需求，在外圈再反向（顺时针）标一圈刻度，让内圈刻度与外圈刻度完美对应，突破了量角器上两圈刻度读法的难点。教师再引导学生在量角器上找角、估角与量角、生活中找角，帮助学生加强对量的深度体验、对单位量的感知以及对累加量的感悟，形成了不同单位量的表象，拓展了度量单位，丰富了量感。

量感的培养是一个较长期的、反复体验、不断矫正的过程，与学生个体的活动经验有关。学生能根据实际情况灵活地选择不同的度量单位进行度量，这是量感发展的最高境界。