2022年高考三个圆锥曲线大题命题思路的同一性

唐宜钟

(汉中市龙岗学校,陕西 汉中 723103)

国家教育部教育考试院在《2022年高考数学全国卷试题评析》中提到:高考试卷“突出主干、重点内容的考查”“强调知识之间的内在联系”“强调对通性通法的深入理解和综合运用”“试题通过设置综合性的问题和较为复杂的情境,加强关键能力的考查”“加强学科核心素养考查,强化数学思想方法的渗透,深入考查关键能力,优化试题设计,发挥数学科高考的选拔功能”[1].其中,函数(含方程、不等式)和圆锥曲线作为高中数学的主干知识.一个命题构想为:以圆锥曲线为载体,通过圆锥曲线中多个变量的性质特征,将解析几何问题最终转化为单变量函数(或多变量不等式)问题.从这类构想出发的数学命题,设置了复杂的综合性问题,彰显了知识之间的内在联系,要求学生在作答时,对通性通法有深入地理解,并将相关知识综合应用.同时,其加强了逻辑推理、数学运算等核心素养的考查,强化了数形结合、转化、整体、类比等思想的渗透,低入口、多路径、精准结果,也很好地发挥了数学科高考的选拔功能.因此,这类题目备受高考青睐.纵观2022年全国高考圆锥曲线大题,笔者发现其中全国甲卷、浙江卷、北京卷,在圆锥曲线大题的设置上,从斜率视角出发,均体现了上述命题思路.

1 题目呈现

图1 2022年浙江卷第2题图

|CD|是一个关于k1,k2的双变量函数,若能够根据椭圆的相关性质,得出k1,k2之间的关系式,则为本题打开了思路.

即x2+12y2+24y=0.

代入椭圆方程齐次化,得

x2+12y2+(mx-48y)y=0.

即36y2-mxy-x2=0.

记kAP=k1,kBP=k2,由斜率的几何意义可知

事实上,有如下结论:

思路2 有了k1,k2之间的关系,|CD|可以直接转化为单变量函数,或者不等式进行求解.

又由柯西不等式,得

评注本部分重点考查对函数最值问题的理解,可以直接转变为单变量函数,通过导数求最值.也可根据式子本身特点,用相关不等式求最值.因本题单变量函数求导较为复杂,故解答中未采用[2].

(1)求椭圆E的方程;

(2)过点P(-2,1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线AB,AC分别与x轴交于点M,N.当|MN|=2时,求k的值.

(2)记kAB=k1,kAC=k2,则|MN|是一个关于k1,k2的表达式.若能根据椭圆的相关性质,寻找一个关于k1,k2的关系式,则可以直接解出相关量.

即x2+4y2+8y=0.

设lBC:mx+ny=8,又直线BC过点P(-2,0),故m=-4,lBC:-4x+ny=8.

代入椭圆方程齐次化,得

x2+4y2+(-4x+ny)y=0.

即(4+n)y2-4xy+x2=0.

记kAB=k1,kAC=k2,由斜率的几何意义,得

故k1+k2=4k1k2.

结合图象及题意可知

即k2-k1=2k1k2.

联立k1+k2=4k1k2,得

故n=-1.

在新坐标系中,lBC:-4x-y=8,则所求k=-4.

评注从斜率视角看,本题为一个圆锥曲线和方程结合的问题,命题思路和浙江卷如出一辙.不过本题中k1,k2的关系并不如浙江卷“直白”.

事实上,有如下结论:

例3 (2022年全国甲卷20题)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点D(p,0).过点F的直线交C于M,N两点.当直线MD⊥x轴时,|MF|=3.

(1)求C的方程;

(2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A,B,记直线MN,AB的倾斜角分别为α,β,当α-β取得最大值时,求直线AB的方程.

解析(1)y2=4x;

由(1)得F(1,0),D(2,0).

设lMA:x=my+2,

y2-4my-8=0.

故yM·yA=-8.

同理,yN·yB=-8,yM·yN=-4.

记kMN,kAB为k1,k2,则k1=2k2(k2>0).

2 复习建议

纵观2022年高考数学试卷,其“选拔”功能更加明确,题目的综合度、复杂度显著增强,这提醒教师在复习过程中要注重主干知识、重点内容.如本文三个例题的主干知识为函数与圆锥曲线,重点内容为椭圆和抛物线的相关性质、基本不等式的运用.强调知识之间的内在联系.如双变量函数的最值问题,一种常见思路为找到两个变量之间的关系,并转化为单变量函数,再结合变量的取值范围求得.而从斜率视角下看,圆锥曲线中提供了诸多双斜率的等量关系,正好作为函数问题的良好“导入”.强调对通性通法的深入理解和综合运用.如圆锥曲线的通性通法是直曲联立,通过韦达定理和整体代换,将相关量用含k的式子表示出来.在本文的三个例子中,不仅要熟练运用通性通法,还要将不同的k1,k2之间建立等量关系,如果对通性通法没有相当程度的理解,把握k1,k2之间的内在关系,就容易“迷失”解题方向.合理设置综合性的问题,如函数的本质是一种对应,其与数列、方程、三角、不等式、解析几何之间都可以建立起良好的综合关系[3].在知识的相似、趋同、承接、对比处合理综合,便于学生在各个知识间形成通路,促进各个知识的相互理解,构建知识的网状结构.注重学科核心素养的培养,圆锥曲线问题是数学运算培养的良好模板,尤其是其提供了多个含参数的分式化简,便于学生反复练习并对比纠错.注重数学思想方法的渗透,在本文三个例子中,圆锥曲线和函数的结合,使得数形结合、转化、整体等思想被发挥得淋漓尽致.