2019年高考数学浙江卷压轴题的自然解法

甘志国

(北京丰台二中,北京 100071)

文章针对2019年高考数学浙江卷第22题压轴题给出多种自然解法.

注:e=2.718 28…为自然对数的底数.

分析在第(1)问中,参数a变成了常数-3/4,因而难度不大,只是在根式求导、恒等变形上有些计算量.

可尝试着用减元法来证明这个二元条件不等式成立.

①

故h(t)单调递增.

4tlnt+t2+1≤0

②

下面用四种方法证明该结论成立.

进而可得

下证当00.

再由恒等式4x3+8x2+5x-1=(2x+1)(2x2+3x-1)+4x,可得欲证结论成立.

再证当x>1时,φ′(x)<0,即证

4x4+4x3-3x2-6x+1<0,

即证(x-1)(4x3+8x2+5x-1)<0,

即证4x3+8x2+4x+(x-1)>0.

进而可得欲证结论成立.

所以φ(x)在(0,1),(1,+∞)上分别单调递增、单调递减.再由φ(1)=0,可得不等式②成立.

再由恒等式8t4-8t3+9t2-4t+4=2t2[(2t-1)2+3]+(t-2)2,可得ρ′(x)<0,ρ(x)单调递减.又由ρ(1)=0,可得φ(x)在(0,1),(1+∞)上分别单调递增、单调递减.再由φ(1)=0,可得不等式②成立.

解法3在不等式②中可设x=t4(x>0),得

因而不等式②成立.

所以r(x)单调递增,得

③

④

小结在高考导数题中,求参数取值范围时,常常用特殊值试探出一个必要条件(即得到参数的一个取值范围;对于难一点的问题,有时要多取几次特殊值,得到参数的最小取值范围,即求交集),再想办法证明该必要条件也是充分条件(往往是要证明一个条件不等式成立).如果是多元不等式,往往需要减元,减元的方法有主元法、均值不等式法、分类讨论法、换元法(有时用三角换元法还可把无理式化成有理式)等.