流变性土排桩地基的禁振带隙

2023-08-25杨华中赵建昌余云燕王立安

浙江大学学报（工学版） 2023年7期

杨华中，赵建昌，余云燕，王立安

(1.兰州交通大学土木工程学院，甘肃兰州 730070；2.兰州交通大学铁道技术学院，甘肃兰州 730070)

近年来，环境振动问题日益突出[1-2]，利用桩-土周期结构设计的地基隔振屏障得到了成功应用[3-4].早期学者们沿用传统的周期结构理论，将土体视为理想线弹性材料，对单层[5]或多层[6]土体排桩周期结构的禁振带隙和振动衰减规律进行研究.最近几年，Shi等[7-10]借助COMSOL有限元软件中的多孔弹性波模块，研究两相饱和土中周期性排桩的带隙和振动传输规律.简单的散射型声子晶体产生的带隙位于高频段，很难覆盖实际中地震和交通荷载引起的低频振动.Pu等[11-12]通过填充软材料，研究具有局域共振性质的套管桩隔振结构.陈晓斌等[13]利用有限元软件，模拟更复杂的四组元开孔套管桩周期结构的隔振性能.实际土体由于松弛和蠕变效应，应力作用下土颗粒的重新排列和骨架错动具有明显的时间效应[14-15].蔡袁强等[16]基于Terzaghi一维固结理论，分析循环荷载作用下土体应力-应变在时间效应下的非线性渐变过程.曾庆有等[17]采用Mesri蠕变模型考虑土体的流变性，计算黏弹性土中桩基的长期沉降.艾志勇等[18-19]采用有限元-边界元耦合的方法，研究层状黏弹性地基与桩以及梁共同作用的时变行为.何利军等[20]提出黏弹性土的蠕变模型，对土体应力-应变的时间效应进行精确分析.汪磊等[21]研究半透水边界下分数阶黏弹性饱和土的固结时效行为.吴奎等[22]研究流变性岩体中深埋隧道的力学响应问题.张婉洁等[23]基于分数阶Bingham模型的线性刚度系统，研究磁流变液阻尼器的时滞问题.上述研究表明，流变性土的应力-应变对于时间具有依赖性.

为了探究流变性土排桩周期结构的带隙特征以及土体流变性的影响规律，本文采用时间依赖性模量描述土体流变效应，构建桩-土周期结构的连续介质动力学模型.采用多重散射法推导周期系统的体波弥散方程，通过搜索布里渊域得出周期性排桩地基的频率域弥散曲线，利用模型退化验证算法的正确性.分析流变性土排桩地基的禁振带隙及核心参数的影响规律.

1 分析模型

如图1(a)所示为排桩隔振地基.假设桩体足够长（桩长远大于元胞尺寸）且与周围土体完全接触，在小应变情形下，元胞平面上各点的位移都与截面平行，所以桩-土结构可以简化为平面应变问题[7-10].针对桩基定义局部极坐标系r-θ（见图1(b)），对Bragg单元定义二维直角坐标系xy（见图1(c)）.图中，a为元胞常数，r0为桩基半径，Γ1、Γ2、Γ3、Γ4为元胞的4个边界.

图1 桩-土周期结构的分析模型Fig.1 Analysis model of pile-soil periodic structure

2 土体流变性描述

采用具有时间依赖性的模量描述土体的流变效应，积分形式的本构方程[24]为

式中：σs、εs分别为土体的应力和应变，δij为Kronecker delta函数；ζs为体应变；λs= λs(t)、µs=µs(t)为Lamé常数，由于考虑土体模量的时间依赖性， λs、µs均为时间t的函数；τ为松弛时间.

根据Lamé常数的定义，可知

式中：vs为泊松比（本文中假定vs不随时间变化）；E(t)为弹性模量，松弛函数形式[24]为

式中：E0、E∞分别为初始和最终稳定状态的弹性模量.

对式（3）引入时间t的Fourier变换，可以得到频率域的表达式：

对式（1）进行时间t的Fourier变换，可以得到频率域的本构方程：

式中：λs(ω)、µs(ω)为频率域中对应的Lamé常数，表达式为

其中η为初始和最终状态的模量比，η =E∞/E0；λ0、µ0为初始Lamé常数，

根据黏性理论，可得滞回阻尼比为

从式（6）～（8）可以看出，土体的变形模量λs、µs及ξd均为频率的函数.图2给出不同的η和τ下，ξd随频率的变化曲线.可知，阻尼比随频率发生非单调性的变化.从图1（a）可知，当η ＞1（即E∞＞E0）时，阻尼比为正值，且先增大而后减小，最终趋于收敛.当η ＜ 1（即E∞＜E0）时，阻尼比为负值，且先负向增大而后收敛.图1(a)说明，阻尼比随着频率的增大而出现非单调性变化.从图1(b)可知，τ影响阻尼比的峰值位置.

图2 阻尼比随频率的变化曲线Fig.2 Variation curve of damping ratio with frequency

通过对式（8）求极值，可得阻尼比的峰值和峰值对应的频率：

从图2及式（9）可知，η决定阻尼比的幅值，τ决定阻尼比随频率的变化速率.在实际工程中，土体受载后被压密，变形模量将增大（E∞＞E0），因此不会出现η ＜ 1的情况，不再讨论该情况.

3 波动方程求解

根据弹性波动理论可知，土体和桩基的频率域Navier波动方程为

式中：us、up、ρs、ρp分别为土体和桩基的位移矢量和密度；与流变性土体不同，桩基为均质弹性材料，其Lamé常数λp、µp为常数.

引入势函数ϕs、ψs，对us在极坐标系下进行Helmholtz分解，得到

将式（12）代入式（10），可得

式中：kl1、kt1分别为土体中压缩波和剪切波的波数，kl1= ω/cl1、kt1= ω/ct1，其中cl1、ct1为2种波的波速.

将式（12）代入本构方程（5），可得

引入势函数ϕp、ψp，对桩基波动方程进行Helmholtz分解，可得

式中：kl2、kt2分别为桩基中压缩波和剪切波的波数.

根据弹性波散射理论[25]，将土体和桩体的势函数ϕs、ψs、ϕp、ψp用柱波函数展开，可得

式中：Am1、Am2、Bm1、Bm2、Cm1、Cm2为待定积分常数，通过桩-土界面条件确定；Jm、Ym分别为m阶第1类和第2类Bessel函数，其中m为整数.

将式（17）代入式（12）、（14）、（16），可得土体和桩基位移场及应力场的级数表达式：

式中：系数矩阵Fm、Gm、fm、gm、Dm、dm均为已知的二阶矩阵，具体表达式见附录.

根据桩-土界面处（r=r0）的位移和应力连续，得到界面条件如下：

将式（18）代入式（19），可得待定系数Am1、Am2与Bm1、Bm2的关系：

将式（20）代入式（18），可以将土体位移写为

式中：Pm、Qm为已知的二阶矩阵，表达式见附录.

为了推导桩-土周期结构的弥散方程，须将极坐标系中的土体位移转换到元胞系统的直角坐标系（x-y）中，转换关系如下：

式中：

将图1(c)中元胞4个边界上的法向位移表示为

式中：n= [nx,ny, -nx, -ny]为4个边界对应的单位法向量；系数矩阵Ω为8N×8N阶矩阵，矩阵元素由的矩阵元素组成，其中N为每个边界上选取的计算点数.Ω与的矩阵元素对应关系如下：

式中：

根据Bloch-Floquet定理可知，周期结构中的所有场量Φ均满足如下周期条件：

式中：X为坐标矢量，X= [x,y]；k为波矢，k= [kx,ky].

对元胞边界上的位移运用周期条件（25），可得

将式（26）代入式（23），可得桩-土系统的特征方程：

式中：Ω31、Ω32、Ω41、Ω42为Ω中的二维分块矩阵；

将式（27）进一步整理为标准方程形式：

式（28）为8N×8N阶矩阵方程，其中I为4N×4N阶单位矩阵；V=Uexp(ikx,ya)，其中U为元胞边界上的位移矩阵，；矩阵T1、T2、T3的表达式见附录.

利用非凡解条件，可得

式（29）为桩-土周期结构的弥散方程，det表示取行列式.对方程给定角频率ω，在第一不可约布里渊域Γ-X-M（见图3）中搜索满足方程的波矢kx、ky，可得周期系统中压缩波和剪切波的弥散曲线（频率-波数关系）.当搜索Γ-X边界时（0 ≤kx≤π/a），方程中的指数项取exp(ikxa)；当搜索X-M（0 ≤ky≤ π/a）边界时，指数项取exp(ikya).

图3 第一不可约布里渊域Fig.3 First irreducible Brillouin zone

4 算例分析

对本文的求解方法和计算程序进行验证.可知，当τ = 0时，土体模型退化为线弹性模型.Huang等[26]利用平面波展开法，计算线弹性土排桩地基的禁振带隙.图4给出本文退化模型Γ-X边界上的剪切波弥散曲线，所需的计算参数取值如表1所示，并与Huang的结果进行对比.图中，f*为归一化无量纲频率，f*= ωa/(2πct2).对比发现，本文解与Huang的结果能够吻合.图4中的阴影区域为周期结构的禁振带隙，当0 ≤ ω≤500 rad/s时出现了2个带隙，fu、fl分别为带隙的上界频率和下界频率，带隙宽度W*=fu-fl.

表1 土和桩的计算参数表Tab.1 Table of calculation parameters of soil and pile

图4 本文退化解与文献[26]解的对比图Fig.4 Comparison chart of degradation result of proposed method and reference [26]

为了对比流变性对带隙的影响，利用Rayleigh黏弹性模型[27]计算阻尼比为常数时的带隙，与流变性模型进行结果对比.如图5所示为Rayleigh模型的常阻尼比ξ = 0.177与流变模型(ξd)max=0.177的结果对比，(ξd)max= 0.177对应于η = 1.5.对比发现，Rayleigh模型的计算结果与线弹性无阻尼模型的结果无明显差异.流变模型的计算结果显示，在考虑土体流变性后，带隙明显上移，带宽小幅减小.

图5 常阻尼模型与流变模型的带隙结果对比Fig.5 Band gap results comparison between constant damping model and rheological model

通过改变Rayleigh模型的常阻尼比ξ，考察ξ对计算结果的影响（计算结果见表2）.从表2可知，只有当阻尼比非常大（接近0.7）时，才会对带隙产生影响，但实际土体的阻尼比不可能达到0.7.由此可见，常阻尼模型不能反映土体流变性对排桩地基带隙的影响.相反，流变性模型的分析结果表明，土体流变性会引起带隙位置上移，带宽减小.即便在阻尼比很小的情况下，这种现象依然很明显.

表2 不同阻尼比取值下的带隙结果Tab.2 Band gap results with different damping ratios

如图3所示为η增大时带隙的变化曲线（即阻尼比幅值增大）.可知，前半段曲线（0 ＜ η ＜ 6）带隙小幅上移、带宽减小，在η ＞ 6后（对应于(ξd)max＞0.544），带隙上移加快，由于下界频率增速显著慢于上界频率，带宽显著增大.实际土体的模量比不会大于6，阻尼比达不到0.5，因此图6中后半段曲线在实际中不会出现.

图6 带隙随模量比的变化曲线Fig.6 Variation curve of band gap with modulus ratio

η决定阻尼比的幅值，τ决定阻尼比随频率的变化速率.如图7所示为带隙随τ的变化曲线，由此分析阻尼比的变化速率对带隙的影响.可知，随着松弛时间的增大，带隙大幅上移，带宽显著减小，当松弛时间达到0.01 s时趋于收敛，带隙不再随松弛时间变化.对比图6、7可以看出，松弛时间对带隙的影响明显大于模量比.由此证明，流变性影响带隙的因素主要是阻尼的时变效应，而非阻尼值.

图7 松弛时间对带隙的影响Fig.7 Effect of relaxation time on band gap

如图8所示为带隙随桩基填充率Fs的变化曲线，Fs=πr20/a2.可知，尽管流变性导致带隙位置上移且带宽减小，但带隙随Fs的变化规律与线弹性土地基一致，即随着填充率的增大，带隙宽度先增大后减小.当松弛时间较大时，带隙宽度随Fs的变化率减小（见图8(b)中τ=10-2s对应的曲线），说明流变性能够降低填充率对带隙的影响.