一类与三直线斜率关联的定点定值问题的深度探索

广东省惠州仲恺中学(516229) 陈伟流

解析几何试题向来以命制背景丰富,呈现形式多样,结论优美和谐而深受广大师生及一线学者的热捧,其中与双直线斜率和积关联的定值,定点问题更是高考中的热门考查内容,同时也是学者们深耕不倦的研究对象,如文[1]阐述了直线过定点与双弦斜率和积的内在逻辑关系;在此基础上,文[2]进一步探究了双弦中点所在直线过定点与斜率和积相互关联的问题,但在众多研究成果中,对于三直线斜率关联的定值,定点问题的内容却少有涉及.为此,笔者从一道月考试题出发,围绕试题的命制背景展开深入探索.

一、试题呈现

评析试题以直线与椭圆的位置关系为切入点,以三直线的斜率和积的定值结果为论证目标,着重考查运算求解,逻辑思维等关键能力,对数学运算,逻辑推理等核心素养有较高的考核要求.解题后回顾发现,“椭圆右顶点”及“直线过焦点”的前提条件是引发三直线斜率和积为定值的直接原因.基于此,笔者提出如下具有探究意义的问题:

①若将两前提条件一般化处理,则三直线斜率和积为定值的结论是否仍成立?

②将问题①中的条件与结论上在逻辑关系上进行有序编排,则相关的逆命题是否成立?

③将椭圆载体推广到圆锥曲线体系,是否仍有相关优美的结论?

二、从特殊载体到一般背景的纵向探索

三、从斜率和积为定值到定点的逆向探索

四、从椭圆载体到圆锥曲线体系的横向推广

注双曲线及抛物线背景中也有类似推论1,2 和命题3,4,5 的相关优美结论,此处不再一一列举.

五、应用提升,深化认知

高考解析几何试题多次以经典的高等数学知识为命题依据,极具丰富的研究价值,如2023 年全国高考试题便以经典的帕斯卡定理模型,圆锥曲线的极点极线理论,调和点列(线束)的优美性质等高深背景成为广大师生爱不释手,乐于耕耘的一片沃土,具备师生备考上的典范性与指导性.所谓一题一世界,只有明晰每道试题背后的命题背景,师生共同触摸问题本质,才能实现试题背后的教育价值,帮助学生提升的关键能力及核心素养,从而真正地培养好学科思维品质.[3]