基于法向阻抗分量的P-P 波反射系数近似表达与纵横波阻抗反演

2023-08-18王升荣孙成禹蔡瑞乾杜燚镜

石油地球物理勘探 2023年4期

王升荣，孙成禹，蔡瑞乾，杜燚镜

（中国石油大学（华东）地球科学与技术学院，山东青岛 266580）

0 引言

地震反演作为解释技术的重要组成部分，广泛应用于储层预测与评价、油气特征描述等方面［1-5］。通过地震反演，可以将振幅、波形、频率等信息转化为地下岩石的弹性参数。波阻抗反演［6-7］作为地震反演的主要内容，各种技术层出不穷，经历了从最开始的直接递推反演到如今的基于模型的迭代反演。波阻抗反演作为储层预测的核心技术，反演算法不断完善和成熟。

传统波阻抗反演是利用叠后反射波资料和声波测井数据，经反演得到地层的声阻抗（acoustic impedance，AI）信息，并以此预测储层。与其他反演结果相比，AI能得到丰富、稳定和可靠的地层弹性参数，是探测岩性、地层等隐蔽油气藏的核心技术，在实际应用中取得了显著效果［8］。李庆忠［9］指出，“波阻抗反演是高分辨率地震资料处理的最终表达形式”，说明波阻抗反演在地震数据处理中有着重要且特殊的地位。

地震勘探理论和技术在发展，地震勘探仪器的性能和地震资料质量也在提高，尤其是覆盖次数的提高极大地加强了叠前反演的适应性。基于叠后数据的反演技术迅速在AVO 分析［10-13］的基础上拓展到基于叠前数据的弹性阻抗（Elastic Impedance，EI）反演。Connolly［14］于1999 年提出EI 的概念，考虑到地震反射振幅随炮检距或入射角的变化（即AVO 效应），利用不同炮检距的地震资料，在地震波非垂直入射的情况下，同时利用部分叠加技术提高数据的信噪比，由此打开了阻抗反演领域的一扇新大门［15-19］。基于此，Whitcombe［20］提出了扩展EI（EEI）的概念，建立了介质弹性参数和EI的联系，扩大了EI的适用范围。马劲风［21］提出利用简化纵横波阻抗反射系数的方法简化波阻抗计算公式，以此得到的波阻抗称为广义EI。

EI及其衍生概念，显著地扩大了用于阻抗反演的地震资料的范围。但是，EI 也有自身缺陷。首先，EI的提出是基于Zoeppritz 方程［22］有关近似于垂直入射的P-P 波反射系数近似表达式，对地层性质和观测系统有特定的假设条件，如阻抗界面两侧的弹性参数差异小、入射角较小等，在实际应用中具有一定的局限性。其次，EI 不同于AI，它没有确定的量纲，不是一个物理量，无法直接解释其物理含义。为此，本文从阻抗本身的物理定义入手，利用地震波引起的应力作用与介质振动速度得到一个阻抗表达式，构建阻抗张量，该阻抗张量有明确的量纲。利用阻抗张量的法向分量近似表达反射系数，并发展了相应的反演方法。通过模型测试所提反演方法的精度，并对比不同反演方法的反演效果，以验证所提方法的适用性。

1 阻抗张量的构成及其分量

如图1所示，设x和z分别表示水平方向和垂直方向。地下水平界面上、下两种介质的纵波速度、横波速度、密度分别为α1、β1、ρ1和α2、β2、ρ2，拉梅常数分别为λ1、μ1和λ2、μ2。设一列平面入射P 波以入射角θ入射到界面上，会产生反射P1波、S1波和透射P2波、S2波。

图1 入射、反射和透射示意图

显然，入射P 波会引起介质质点的振动，使介质局部产生应变，从而在介质中产生相应的应力作用［23］。设入射P波的位移函数为

式中：A1为入射波振幅；uz、ux分别为z、x方向的位移函数；ω为角频率；t为时间。z、x方向的质点振动速度vz、vx和应力σz、σx分别为

在物理学中，阻抗描述了某一介质对质点运动的“阻碍”作用，可以理解为弹性介质的阻抗反映了质点应力与质点速度的比值。将σz、σx和vz、vx分别相除取反，构成阻抗张量T（tensor impedance）［24］，即

四个分量Tzz、Tzx、Txz和Txx分别为垂直作用的法向阻抗、垂直作用的切向阻抗、水平作用的法向阻抗和水平作用的切向阻抗。对于反射P1波、S1波和透射P2波、S2波，也可以按照类似的做法，给出波传播时介质中的阻抗张量及其分量。

当θ＜45°时，入射P 波和反射P 波作用于界面时以法向应力为主，介质质点的vz＞vx，Tzz是阻抗张量的主元素。为此，重点研究该分量，简记为T，简称“法向阻抗分量”。将式（2）和式（3）代入式（4）得

式中：A=ρ1α1为AI；γ=β1/α1。可见：当垂直入射时，θ=0，T=ρ1α1，退化为AI；当介质为流体时，γ=0，T=ρ1α1/cosθ，退化为流体中的声阻抗；当θ≠0，γ≠0 时，T是α1、β1、ρ1的函数，且随θ变化。因此，T是AI和声阻抗的拓展，且与AI的量纲相同。

图2 为T、Tzx、Txz和Txx随θ的变化。由图可见：T在θ=0°时与AI 相等，随θ的增加而增加；Tzx则相反，在θ=0°时趋于无穷，随θ的增加而减小；Txz和Txx呈一定的对称性，Txz在θ=90°时取极大值，Txx在θ=0°时取极大值。

图2 T、Tzx、Txz和Txx随θ 的变化

2 基于T 的P-P 波反射系数精度分析

AI是速度和密度的乘积，与入射角无关，只适用于地震波垂直入射情况。EI引入入射角为变量，但是EI 的提出需要基于一系列假设条件，如入射角小、相邻界面阻抗差小等。Zoeppritz 方程［22］虽然能准确地计算不同入射角的反射系数，但其计算复杂，计算量大，大大降低了反演效率。

考虑到垂直入射时P-P 波反射系数等于界面两侧声阻抗的差与其和之比，流体介质中非垂直入射时P-P 波反射系数等于界面两侧声阻抗的差与其和之比。作为该结论的拓展，提出使用T作为AI和声阻抗的拓展量，以近似表达弹性介质中非垂直入射的P-P波反射系数，即

并通过数值算例的正演和反演验证式（6）的精度。式中T1和T2分别为入射波和透射波所在介质的T。

为了检验T的适用性，根据经典的四类AVO 响应构造双气层模型，模型参数如表1 所示。同时以Zoeppritz 方程求得的反射系数为标准，对比基于T、Aki 近似式［25］和EI 求取的反射系数随入射角的变化（图3）。可见：在第Ⅱ类（图3b）和第Ⅲ类（图3c）AVO 响应中，利用T计算的反射系数误差明显小于EI；另外两类AVO 响应的反射系数计算误差基本相当（图3a、图3d）。因此，T具有波阻抗反演的理论基础。同时，利用T计算的反射系数的入射角适用范围更广，相较于EI，T拥有明确的物理意义，且更具有实用价值。

表1 AVO 模型参数

图3 第Ⅰ类（a）、第Ⅱ类（b）、第Ⅲ类（c）及第Ⅳ类（d）AVO 响应

3 基于T 的纵横波阻抗反演

3.1 T 反演算法

EI 反演要利用3个角度道，同时反演纵、横波速度及密度共3个参数。与此不同的是，T反演只需要2个角度道，也只能反演2个参数。根据式（5），T是声阻抗A、横纵波速度比γ和入射角θ的函数，即T=f(A，γ，θ)。为此，使用两个角度道（角道集的叠加），基于T反演可以求得A和γ，当然也可以进一步求取泊松比。

使用与EI 反演相似的做法，分别利用两个角度道反演

得到两个角度的法向阻抗T(θ1)和T(θ2)，联立求解，可以得到A和γ。由于，其中B=ρ1β1为横波阻抗，于是就可以求得B，即可以同时反演纵横波阻抗。

3.2 数值算例

为了检验基于T反演的实际效果，以某测井曲线深时转换分层结果（图4）为基础，选取其中一段建立地层模型。设密度为2.0 g/cm3，采用主频为40 Hz的雷克子波，通过精确求解Zoeppritz 方程，分别合成入射角为10°、20°和30°的地震记录（图5）。

图4 地层模型参数

图5 不同角度的合成地震道

参照常规叠后波阻抗反演方法，分别对3 个角度道进行T反演，得到T（10°）、T（20°）和T（30°）（图6）。根据式（7），分别利用三个角度道的其中两个进行EI反演，得到纵、横波阻抗（图7）。可见：T反演、EI反演的结果基本一致，且均与理论值吻合较好，但在低速层处，T反演的横波阻抗（图7b、图7d）相对较平稳，振荡较小；EI反演结果振荡更大，这与EI 表达式中含有幂函数是一致的。

图6 T（10°）、T（20°）和T（30°）

图7 反演结果对比

3.3 抗噪性测试

无论何种阻抗反演，均使用反射波各时刻的振幅信息。与走时信息不同，振幅信息易受噪声污染而产生误差［26］。因此，对于含噪数据，反演方法的稳定性是衡量方法优劣的重要指标，且抗噪性决定了方法可行性。为此，需测试反演方法的抗噪性。对图5 数据加入随机噪声（图8）进行测试，得到反演结果（图9）。可见：①信噪比为5 时反演结果（图9a、图9b）与无噪反演结果（图7a、图7b）基本一致，且与实际值吻合很好，几乎未受随机噪声影响。②信噪比为2时反演结果（图9c、图9d）呈剧烈的锯齿状振荡，但是振荡始终维持在真实值周围，尚能分辨地层分界面；T反演的抗噪性很强，反演效果较好，稳定性很高。上述结果表明，相对于EI 而言，由于T的定义式中没有指数运算，因此反演结果对速度、密度和角度的敏感度降低，反演结果相对稳定。

图8 信噪比为5（左）、2（右）的角度道

图9 含噪数据反演结果

4 实际数据测试

使用M 区的0°～9°和9°～17°的角度叠加道集（图10）验证T反演方法的适用性，后续反演时选取相应道集的角度平均值5°（角度1）和13°（角度2）为入射角。在测井约束下利用T反演得到角度1、角度2的T反演剖面（图11）及纵、横波阻抗与泊松比反演剖面（图12）。对比图10～图12可见：反演结果与实际钻井资料吻合较好，同相轴振幅强弱（图10）在反演结果上呈明显的阻抗差异（图11）；两套薄储层呈清晰的低泊松比异常（图12c红圈处）。上述结果表明本文所提的法向阻抗反演方法的实际应用效果较好。