浅谈“反证法”

张秀芹

一个屋子里面有五十个人，每个人领着一条狗，而这些狗中有一部分病狗。

假定有如下条件：1、狗的病不会传染，也不会不治而愈；2、狗的主人不能直接看出自己的狗是否有病，只能靠看别人的狗和推理， 来发现自己的狗是否有病；3、一旦主人发现自己的狗是一只病狗，就会在当天开枪打死这条狗；4、狗只能由他的主人开枪打死。

如果他们在一起，第一天没有枪声、第二天没有枪声……第十天发出了一片枪声，问有几条狗被打死？

这是一道微软公司招聘员工的面试题。我们可以假设有一只病狗A， 第一天狗主人甲没看到其他人有病狗，确定自己的是病狗，第一天枪毙病狗A；其他人看到有病狗A，无法确定自己的狗有没有病，不作反应。假设有两只病狗AB，第一天狗主人甲看到乙的病狗B，无法确定自己的狗有没有病，乙看到甲的病狗A，也无法确定自己的狗有没有病，其他人因为看到AB 病狗无法确定自己的狗有没有病，第一天均不作反应；第二天再看狗时，甲看到乙的病狗B 没死，他得出乙第一天看到了别人病狗，而其他人都没病狗（即其他48 条狗），得出自己和乙的狗是病狗，乙想法同甲，于是第二天看完狗后两人枪毙两狗，其他人没反应。（其他人第一天看到两只狗，第二天还是看到两只狗，他们知道甲乙要第二天才能推理出各自的病狗，不做反应）。假设有三只病狗ABC，甲乙丙看到两条病狗，在第二天时他们都推理出上述结果，若只有自己观察到的两条病狗，则第二天必有两人杀死这两条病狗，但第二天没有，得出两条病狗的主人也看到了两条病狗，故自己的狗也是病狗。甲乙丙第三天枪毙病狗……其他的情况，第N 天枪声响，则代表有N 条病狗。

为了说明某一个事情是正确的，但不从正面直接说明，而是通过说明它的反面是错误的，从而断定它本身是正确的，这种方法叫反证法。

反证法是从反面的角度思考问题的证明方法，属于“间接证明”的一类，证明过程通常有四个步骤：第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；第二步，穷举：列举出在反设条件下可能出现的各种情况；第三步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾包括与公理、定义、定理、题设或临时的假设矛盾）；第四步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。

所以直线a，b 不可能有两个交点，所以两条相交直线只有一个交点。

反证法的用处很大，牛顿说：“反证法是数学家最精当的武器之一。”它不仅应用在初等数学中，还大量应用在高等数学中，应用反证法要注意以下几点：①推理过程必须完全正确。

②决不能忽视原命题的题设条件，否则要么推不出错误，要么不能断定所推导出来的结论是否是谬论。

③在应用反证法时，有时要做些准备工作，为应用反證法创造条件。

④在否定结论时，要分析可能有的各种情况，若有两种或两种以上的情况，要应用穷举法，不能有遗漏。