例析运用分类讨论思想解题的步骤

陈高峰

分类讨论思想是解答高中数学问题的一种重要思想，是指把所有研究的问题根据题目的特点和要求分成若干类，将问题转化成若干个小问题来逐一进行讨论、解答. 当题目不能用同一方法求解或统一的形式表示时，就需根据含参变量不同的取值，将问题划分成若干个小问题进行分类讨论，最后汇总所得的结果，得出结论. 分类讨论思想常用于解答涉及多种不同情况的函数、向量、不等式、方程、解析几何等问题，尤其在解答含参问题时，灵活运用分类讨论思想，可以使解题思路变得清晰，有条理.

通常，运用分类讨论思想解题有如下几个步骤：

第一步，确定要讨论的对象及其取值范围.

第二步，明确分类的标准，如二次函数的二次项系数的符号、绝对值内部式子的符號、抛物线的开口方向、参数的符号、图形的位置等.

第三步，按照分类的标准进行分类，并对各种情形进行逐层逐级的讨论.要特别注意各个层级之间的差异，避免出现重复计算或者遗漏任何情况.

第四步，将各层级讨论的结果加以综合，得出结论.

运用分类讨论思想解题的过程其实就是将“大问题”分为几个“小问题”，通过求得各“小问题”的结果，得到“大问题”的结果.在此过程中，必须做到有“分”有“合”，先“分”后“合”.现结合下面一道题，谈一谈分类讨论思想的应用步骤和技巧.

在运用分类讨论思想解题时，要合理地选择分类的标准.分类的标准不同，分类方向就会不同.若选择的分类标准不恰当，则有可能使计算变得更加繁琐.在确定分类标准后，要按照同一标准进行分类，并明确分类的层次，这样才能确保得到正确的答案.

（作者单位：江苏省启东中学）