对一道向量竞赛题的多角度探究

施建华

向量同时具有数量关系与几何关系，此类问题都可以通过多角度对其进行分析.特别是在竞赛题中，向量的题型也非常多，本文着重分析一道向量相关的竞赛题，并将其推广至一般性质.

一、试题展示

在△ABC中，AB=5，AC=4，且AB·AC=12.设P为平面ABC上一点，则PA·（PB+PC）的最小值为＿＿＿＿＿.（2018年江苏数学竞赛初赛第7题）

根据条件△ABC为一个确定的三角形，点P为平面ABC上的动点，本题的关键则在于对表达式PA·（PB+PC）的理解.根据平面向量基本定理，在平面ABC内任意选择一组不共线的向量即可作为该平面的一组基底，通过将表达式转化为基底之间的关系后，问题就转化为一个纯代数的问题；本题也可通过表达式的几何意义来进行转化，从而利用平面图形的几何性质发现对应的最值.

參考文献

［1］龙宇.利用质点系的“重心”求解线段间的比例［J］.中学数学研究（江西师大）.2020（4），39-40.