巧用同构思想妙解一类指对混合压轴题

刘文哲　张隆亿

对方程或不等式进行变形转化，使其左侧和右侧具有相同的结构形式，再通过构造单调函数处理.对于具有混合指数对数的问题，通常可以通过指数和对数的相互变换实现局部同构.问题可以转化为相应函数单调性或函数最值，这大大降低了计算和求解（证明）的难度.它是数学核心素养如逻辑推理和数学建模的有效媒介，受到高考命题者的青睐.本文提出了指数与对数等式（不等式）的同构方法，并对含指数对数压轴问题的同构解法进行了梳理.

一、同构的常见方法

简而言之，能直接使用同构的混合指数和对数的导数试题不多.在许多情况下，需要用指数和对数同构技巧，尝试转换为三种常见的同构形式.解决这类含有指数对数导数试题的关键是同构变换，进而构造一个对应函数，将问题转化为函数单调性或函数范围，化難为易，突破解题的障碍点.这类含指数对数压轴题同构解法事实上就是数学建模中建模、解模的过程.在这类导数压轴题求解过程中引入了建模方法，教师应引导学生从不同的角度思考，对同一个问题建立不同的数学解模型，让学生从多个角度学习，寻找不同的问题解决方法，培养创新意识，使他们在面对复杂的函数和导数问题时能够有章可循，一方面提高学生的数学建模技能，另一方面使学生养成有意识地运用数学建模思想解决问题的习惯，往往能达到事半功倍的效果.