来自“三体”的一些思考——拉格朗日点中的三星稳定体系

龙海文

(深圳市福田区教科院,广东 深圳 518000)

在每个围绕恒星运动的行星中,或者围绕行星的卫星体系中,都存在5个特殊的点,例如在日地系统中的5个特殊的点,卫星处于这些点上在受太阳、地球两大天体引力的作用下,能三者保持相对静止,我们把这些点叫拉格朗日点.如图1所示,这5个点上的卫星拥有的特点和稳定性也有不同,这5个点是怎么推算出来的?它们的稳定性如何?下面具体分析.

图1

1 在L1(L2、L3)点上的稳定性

1.1 卫星在L1点上位置关系

如图2所示,以M1表示太阳的质量,M2表示地球的质量,m表示卫星质量,r表示日地间距,ω表示地球公转的角速度.若卫星在离地球距离为x处的L1点绕太阳做圆周运动,且卫星的周期和地球的公转周期相等,据万有引力定律和牛顿第二定律,对卫星分析,有

图2

(1)

对地球分析,有

(2)

由式(1)(2)得

1.2 卫星在L1点上稳定性

下面分析该轨道的稳定性.设卫星绕太阳运动的轨道半径略减Δx(Δx→0),此时卫星的合力为

在略移轨道运动所需的向心力为

比较两者有

故卫星将在万有引力作用下继续远离原来轨道,该轨道不稳定.

当卫星处于图1中L3位置时,由于M1≫M2,地球对卫星的引力远小于太阳对卫星的引力,卫星基本在地球公转轨道上绕太阳做圆周运动.如此卫星绕太阳运动的轨道半径略减Δx,此卫星在万有引力的作用下将不再回到原来轨道,故此卫星是不稳定的.

上面分析可知,L1、L2、L3都不稳定,下面分析L4、L5点的稳定性.

2 在L4(L5)点上的稳定性

从孤立系统动量守恒蕴含的质心平衡态来考虑一般三星的情况.

孤立系统在绝对均匀的空间中可以利用变分法得到系统的一个运动积分,以常矢量的形式存在,我们定义其为系统的总动量

(3)

对于空间中任意相对原参考系以v速度运动的惯性参考系,系统的动量为

(4)

可以断言,一定存在某个惯性系使得P′=0,其相对原参考系的速度为

(5)

可以看到

(6)

可以自然地定义R为系统质心径矢,v为质心的速度,而孤立系统动量守恒蕴含了该关系的质心处于平衡状态.

2.1 确定三星圆周运动的圆心为系统质心

宇宙中孤立的三星系统中一类是以不共线的质量分别为m1、m2、m3三颗星的形式存在的,理想化的模型是平面上绕定点旋转的3个质点.明晰系统质心必定处于平衡态,且质心本身的运动状态于问题而言无关紧要,故认定质心静止,那么空间各向同性蕴含三星圆周运动时的圆心必须是系统的质心.

2.2 确定以三星为顶点的三角形为正三角形

为了证明这个问题,如图3所示,以m1为原点,由m1指向m2、m3的单位矢量分别为s0、l0,且令三星之间的距离分别为r1、r2、r3,从而系统质心的矢径为

图3

(7)

其中M=m1+m2+m3.同时m2、m3对m1的合力为

(8)

合力必定指向质心,得出R和F共线,进而得出

r2=r3.

(9)

由对称性可知r2=r1,r3=r1,从而得出r1=r2=r3,意味着质量不同的三星为顶点的三角形是正三角形,即使偏离轨道,万有引力的合力会将卫星拉回原来的轨道.故卫星在L4、L5点上的轨道是稳定的.

2.3 确定三星系统的运动情况

问题第3步是只对m1列动力学方程有

(10)

其中任意(s0、l0)夹角为60°,从式(7)和式(8)中可得出R、F的范数R、F为

(11)

(12)

而r1=r2=r3,令r1=r2=r3=L,L是表征三星问题的唯一几何度量,并由三星系统所含能量唯一确定,从而有

(13)

(14)

将式(13)(14)代回式(10)得到

(15)

启示:这个完美的答案可以视为是双星问题的自然推广,但多星问题有惊人的任意性.这个简洁的结果不适合四星体系,因为四星系统(非线性形式)的顶点多面形而无法如三星系统一般能确定为正多边形,平面的维数为2,即仅仅两个线性无关矢量得以形成,而四星系统中有3个矢量,以“合力指向质心”所得到的线性方程组会有无穷组解.小说《三体》中的“蝴蝶效应”其实和此问题有关.