浅析高中物理火箭发射的几个常见疑问

陈小亮 李 明

(江西省吉安市第一中学,江西 吉安 343000)

1 火箭喷射气体相对速度不变的深层次原因

为了研究方便,我们通常认为火箭发射过程满足动量守恒(不考虑空气阻力和重力对火箭的影响).同时也认为火箭每次喷出气体速度不变,前者能理解但后者引起了争议.这里气体的速度是指对地面的绝对速度还是对火箭的相对速度?是相对于发射前还是相对于发射后火箭的速度?为什么可以认为相对速度不变?

情境:假设火箭以速度v0向前飞行,某时刻火箭往后喷出质量Δm的气体速度为v2,火箭主体质量(除去燃气)为m,其速度变为v1,则此次喷气消耗的能量ΔE大约多少?

解析:设发射后火箭和气体相对质心的速度分别为v1′和v2′,质心的速度喷气前后不变恒为v0,喷射的气体相对发射后火箭的相对速度为

u=v2-v1=(v2′+v0)-(v1′+v0)=v2′-v1′,

即u=v2′-v1′.

又因质心系动量守恒有mv1′+Δmv2′=0,结合以上两式得

在质心系中总动能为

地面系火箭喷气后总动能由柯尼希定理得

地面系火箭喷气前总动能为

喷气过程释放的能量为

由上式可知,在燃料的化学性质和喷口形状等确定的条件下,一次燃烧的质量Δm和放出的能量ΔE都近似不变,因此我们通常处理成火箭发射过程中气体相对发射后箭体的相对速度u是不变的,这样更贴近真实发射过程.

说明:若选地面参考系列火箭的动量守恒方程和能量守恒方程,理论上可以求解,但由于解答太过于繁琐本文略过,有兴趣的读者可以自行证明.

2 火箭两种喷射气体方式获得的速度

情境:假设火箭主体(除去燃气)的质量为m,内部看成n团质量相等的气体,每团气体的质量为Δm,现火箭静止点火发射,喷出气体相对喷气后火箭的速度为u.

(1) 若火箭把n团气体一次性喷出,则火箭主体将获得多大的速度?

(2) 若分n次连续喷射,则火箭主体最后将获得多大的速度?

解析:(1) 设一次喷射完气体火箭获得的速度为vn′,根据动量守恒有

0=mvn′-n·Δm(u-vn′),

(2) 第1次发射后获得速度v1.根据动量守恒有

第2次发射后获得速度v2.根据动量守恒有

[m+(n-1)Δm]v1=[m+(n-2)Δm]v2-Δm(u-v2).

得

以此类推,第k-1次发射后的速度为vk-1,则第k次发射动量守恒有

[m+(n-k+1)Δm]vk-1=[m+(n-k)Δm]vk-Δm(u-vk).

得

数学归纳可得连续喷气的末速度为(n项组合)

而一次全部喷气的末速度为(拆成n项组合)

以上两式比较可得除了第1项相等后面项第一式更大vn>vn′,即连续喷气获得的末速度大于一次性喷相同质量的气体.

实际火箭发射采用连续喷气的方式发射,当然上述的物理模型还比较简陋,实际上火箭的发射过程是连续变质量问题,我们要用到高等数学的方法来确定火箭的收尾速度.

说明:高考范围内经常出现一些连续发射题目,可以等效为一起发射,两种发射结果速度相等,其原因是这类题设定发射物体的对地速度不变,而这里火箭发射是相对速度不变,这是二者本质的区别.

3 连续发射的理论分析和多级火箭的意义

情境:设任意时刻t,火箭(包括dt时间燃烧的燃料)质量为m,速度为v,在t+dt时刻,火箭质量变为m′=m+dm(喷出气体dm<0),喷出燃气的质量为dm,发射后火箭的相对速度为u,则火箭的收尾速度是多少?

由系统动量守恒得

mv=(m+dm)(v+dv)+(-dm)(v+dv-u).

这表明火箭的收尾速度与喷射相对速度和质量比的自然对数成正比.相对速度u与燃料化学性质和喷出形状等有关,因此增加收尾速度最好增加质量比.而采用多级火箭及时把燃烧完燃料的空壳扔掉,减少火箭空壳的质量,这样更有助于增加质量比,提高收尾速度.

因此现代火箭一般采用多级发射,当然级数越多,构造越复杂,工作的可靠性越差,现代火箭一般采用三级火箭作为动力.