从“相对误差”谈收尾速度的合理性设问

华星亮 曾长兴

摘   要：针对一道电磁感应中导体棒切割磁感线平动时的收尾速度题目出现的科学性错误，给出了用相对误差在解决数据不自洽时的修改建议，为科学命制此类试题提供参考。

关键词：电磁感应；导体棒；收尾速度；相对误差

中图分类号：G633.7 文献标识码：A    文章编号：1003-6148（2023）7-0056-4

电磁感应在高中物理中占有非常重要的地位，其中导体棒切割磁感线平动的收尾速度问题更为常见。该类问题常涉及以下两种情境：一是在恒定外力作用下，导体棒切割磁感线平动并逐渐加速，最终匀速运动；另一种是在安培力和其他阻力作用下，导体棒切割磁感线平动并逐渐减速，最终速度为零。由于所用知识超出高中物理范畴，命题者在设计具体数据时，某些数据可能不自洽，从而导致试题已知条件和结论存在多处矛盾。

在物理实验中，相对误差等于测量值与真实值之差的百分比，可表示为

在没有其他阻力时，导体棒切割磁感线达到收尾速度的理论时间和理论位移都是无穷大。考虑实际应用的需要，设单棒初速度为v0，收尾速度为vm，t时刻的速度为vt，借用相对误差的概念，设k=，用k描述t时刻单棒速度vt接近收尾速度vm的程度，vt越接近vm，则k值越小。本文借助高等数学工具，结合k值对该类情境中出现的自洽性问题进行较为深入的定量分析，并对已知条件进行剖析与修正。

1    恒定外力作用下导体棒变加速问题

1.1    題型示例

例1 如图1所示，足够长、电阻不计的光滑平行金属导轨MN、PQ竖直放置，其宽度L=1 m，匀强磁场垂直穿过导轨平面，导轨的上端M与P之间连接阻值R=0.40 Ω的电阻，质量m=0.01 kg、电阻r=0.30 Ω的金属棒ab紧贴在导轨上。现使金属棒ab由静止开始下滑，下滑过程中ab始终保持水平，且与导轨接触良好，其下滑距离x与时间t的关系如图2所示，图中的OA段为曲线，AB段为直线，导轨电阻不计，g取10 m/s2（忽略ab棒运动过程中对原磁场的影响）。求：

（1）判断金属棒两端a，b的电势高低；

（2）磁感应强度B的大小；

（3）在金属棒ab从开始运动的1.5 s内，内阻R上产生的热量。

1.2    情境质疑

从图2可知1.5 s后金属棒达到最大速度7 m/s。根据题中条件，易得B=0.1 T。那么，金属棒运动1.5 s后是否下滑距离为7 m，此时是否恰好匀速下滑，题目中设置的时间、速度、位移等数据是否自洽？

类似情境如图3和图4所示。图3中金属棒沿光滑（或粗糙）平行的倾斜金属导轨以一定的初速度开始下滑，图4中金属棒在恒定拉力F作用下沿光滑（或粗糙）平行的水平金属导轨以一定的初速度开始向右运动。这类情境若是给出具体数据要求学生计算，命题者一定要先论证这些数据是否自洽，是否符合实际。

1.3    模型论证

为得出问题的通解，不妨设此类问题的总电阻皆为R+r，全程存在的恒定动力为F0（如重力、重力沿斜面分力、恒定拉力），初速度为v0，最终收尾速度为vm，t时刻的速度为vt，并令t0=（t0表示仅在F0作用下金属棒从0加速到vm的时间）。根据平衡条件，有

上式表明，t越大，x越大，若t趋近无限大时vt才能认为达到vm，则相应的x也必须无限长。若以k≤0.03近似认为金属棒已经达到收尾速度，则t可取3.5t0，将t=3.5t0代入（10）式即可求得金属棒近似达到收尾速度时的位移。

1.4    情境优化

结合例1的条件，代入数据，可知t0=0.7 s，要近似认为金属棒做匀速运动，至少需要t=3.5t0=2.45 s。若将t=2.45 s代入（10）式，可得x≈12.4 m，在此之后，可近似认为金属棒已经做匀速直线运动，x-t图像才是一条倾斜的直线。由以上分析可知，例1图2中时间1.5 s可改为2.45 s，对应的位移7.0 m则可改为12.4 m，相应地可将时间2.1 s改为2.95 s，位移11.2 m改为15.9 m；第（3）问中的时间1.5 s改为2.45 s。

此分析也可拓展到其他阻力与速度成正比、最后匀速运动的动力学模型中，如雨滴从静止开始下落直至收尾速度，金属小球从静止开始竖直落入水中直至收尾速度等。

2    恒定阻力作用下导体棒变减速问题

2.1    题型示例

例2 某电磁阻尼减速装置的简易原理如图5所示，两平行光滑金属导轨倾角为30°，导轨间距L=1 m，上端连接阻值R=1 Ω的定值电阻，整个装置放在垂直导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度大小B=2 T，质量m=1 kg的金属棒在金属导轨上与导轨接触良好，以v0=10 m/s的初速度冲上导轨平面，运动位移x=1 m时速度刚好减为零并立即锁定。导轨和金属棒的电阻均忽略不计，取g=10 m/s2。求上升全过程中：

（1）金属棒加速度a的最大值；

（2）流过定值电阻的电荷量q；

（3）金属棒运动所用的时间t。

2.2    情境质疑

金属棒在安培力作用下，加速度、速度、位移等物理量相互制约，题目中给出的信息“金属棒……以v0=10 m/s的初速度冲上导轨平面，运动位移x=1 m时速度刚好减为零”，题目中设置的位移、速度等数据是否自洽？

类似问题如图6所示，金属棒以初速度v0沿光滑（或粗糙）的水平金属导轨滑行，最终速度减为零，易分析出金属棒从开始到速度减为零的过程中，运动的位移是有限的，但具体的位移是多少呢？命题者应通过计算设置数据，保证数据的自洽，从而保证试题命制的科学性。

2.3    模型论证

再将t代入（20）式，可得x≈1.8 m。故可将题目中条件“金属棒……以v0=10 m/s的初速度冲上导轨平面，运动位移x=1 m时速度刚好减为零并立即锁定”更改为“金属棒……以v0=10 m/s的初速度冲上导轨平面，运动位移x=1.8 m时速度刚好减为零并立即锁定”。

此分析也可拓展到其他阻力与速度成正比、最后静止的动力学模型中，如动车在恒定制动力和空气阻力下减速到零、密度比水小的小球以一定初速度竖直向下射入水中直至减速到零等。

3    思考与建议

国务院发布的《关于深化考试招生制度改革的实施意见》明确指出，要依据高校人才选拔要求和国家课程标准，科学设计命题内容，增强基础性和综合性，着重考查学生独立思考和运用所学知识分析问题、解决问题的能力。导体棒在做切割磁感线运动时，相关物理量之间存在着一定的函数关系［1］。因此，教师在命制电磁感应单棒切割的相关试题时，给出的具体数据也应遵循科学性原则，而逻辑自洽、结构严谨的试题也可以培养学生正确的物理观念、科学思维和科学态度。

参考文献：

［1］马北河，黄尚鹏．物理命题必须遵循科学性原则——电磁感应典型错题分析与重置［J］．中学物理教学参考，2022，51（10）：64-66．（栏目编辑    蒋小平）