环形区域上含梯度项的椭圆边值问题的径向解

李其祥，李永祥

（西北师范大学 数学与统计学院，甘肃 兰州 730070）

0 引言

非线性项含梯度项的椭圆边值问题

其中，Ω={x∈RN|r1＜ ||x ＜r2} 为RN中以0 为中心，r1，r2为半径的环形区域，N ≥3，0＜r1＜r2＜∞，f：[r1，r2]×R×R+→R 为非线性连续函数。对于非线性项f 不含梯度项的简单椭圆边值问题

径向解的存在性已有不少研究［1-9］。如文献［2］运用分歧理论得到径向解具有多解性的结论。文献［3］运用Schaeffer 不动点定理证明了径向解的存在性。文献［4-6］在非线性项f 超线性增长的情形下，证明了径向解的存在性。文献［9］在f 变号的情形下，应用锥上的不动点指数理论给出了径向解的存在性与不存在性条件。

对于非线性项f 含梯度项的椭圆边值问题，文献［10］在f (r，u，η)非负且关于u，η 超线性增长或次线性增长的情形下，运用锥上的不动点指数理论证明了边值问题

正径向解的存在性。文献［11］应用Schauder 不动点定理和压缩映射原理，证明了式（3）至少存在一个径向解。文献［12］通过Leray-Schauder 不动点定理，证明了当非线性项f (r，u，η)一边超线性增长，且关于η 满足Nagumo 型条件时，式（1）至少存在一个径向解。

本文的目的是，在无假定非线性项f 非负时，讨论式（1）径向解的存在性与唯一性。当非线性项f (r，u，η)关于η 满足Nagumo 型条件时，运用上下解方法和截断函数技巧，证明式（1）径向解的存在性，并在此基础上，运用微分中值定理证明式（1）径向解的唯一性。

1 预备知识

易验证u=u(|x|)为式（1）的径向解当且仅当u(r)为常微分方程边值问题

的解。因此，只需讨论式（4）解的存在性与唯一性。

记I=[r1，r2]，R+=[0，+∞)，C(I)为由I 上的全体连续函数按范数构成的Banach 空间。对n∈N，Cn(I)为由I 上的全体n 阶连续可微函数按范数构成的Banach 空间。

为讨论式（4），首先考虑相应的线性边值问题

其中，h∈C(I)。

引理1［10］对任意的h∈C(I)，式（5）存在唯一解u：=Sh∈C2(I)，且解算子S：C(I)→C1(I)为线性全连续算子。

引理2对任意的h∈C(I)，式（5）的解u∈C2(I)满足：

证明对任意的h∈C(I)，设u∈C2(I)为式（5）的解，则

故结论（i）成立。

由微分中值定理，知存在ξ∈[r1，r2]，使得u'(ξ)=0。对任意的r∈I，有

故结论（ii）成立。

引理3设f：[r1，r2]×R×R+→R 连续。若存在常数a，b ≥0 及C ＞0，满足

则式（4）有解。

证明对任意的u∈C1(I)，令

F(u)(r)：=rN-1f (r，u(r)，|u'(r)|)，r∈I，则F：C1(I)→C(I)连续，且将有界集映为有界集。定义映射A=S ∘F，由引理1，知S：C (I)→ C1(I)为线性全连续算子，因此算子A：C1(I)→ C1(I)为线性全连续算子。由S 的定义，式（4）的解等价于算子A 的不动点。对A 应用Leray-Schauder 不动点定理［13］，需证明同伦簇方程

的解集在C1(I)中有界。设u∈C1(I)为当λ∈(0，1)时式（8）的解，则u=S(λF(u))。

令h=λF(u)，由S 的定义，u=Sh 为式（5）的解，因此，u∈C2(I)满足

由式（7）和式（9），有

两边取‖·‖C，由引理2，知

结合引理2（i），知式（8）的解集在C1(I)中有界，由Leray-Schauder 不动点定理，A 在C1(I)中有不动点，该不动点为式（4）的解。

定义1设v0(r)，w0(r)∈C2(I)，若v0(r)满足

则称v0(r)为式（4）的下解；若w0(r)满足

则称w0(r)为式（4）的上解。

2 主要结果及证明

定理1设f：[r1，r2]×R×R+→R 连续。式（4）存在下解 v0(r) 与上解 w0(r)，且v0(r)≤w0(r)。若f 满足条件

（H1）对任意的M ＞0，存在单调连续增函数gM：R+→(0，+∞)，且

则式（1）至少存在一个径向解u=u(|x|)∈C2(I)，且v0(|x|)≤u(|x|)≤w0(|x|)。

证明由条件（H1），存在M ＞0，使得

则η(r，u)：I×R →R 连续。作f (r，u，η) 的截断函数

则f*连续有界。因此，由引理3，修改后的边值问题

有解u0(r)∈C2(I)。

下证u0(r)为式（4）的解。

先证v0≤u0≤w0。反设v0≤u0不成立。考查函数Φ(r)=u0(r)-v0(r)，r∈I。因为Φ(r1)≥0，Φ(r2)≥0，且 Φ(r)≥0 不成立，所以存在r0∈(r1，r2)，使得。由极小值点的性质，有

由式（18），有

根据截断函数的定义及定义1，有

仅需证明（i），（ii）～（iv）类似可证。令

由截断函数的定义及式（13）和式（17），有

故u0(r)为式（4）的解，即u0(|x|)为式（1）的径向解，且满足v0(|x|)≤u(|x|)≤w0(|x|)。

定理2设f：[r1，r2]×R×R+→R 连续。式（4）存在下解 v0(r) 与上解 w0(r)，且v0(r)≤w0(r)。若f (r，u，η)在u∈R，η∈R+上关于变量u，η 连续可微，且满足定理1 的条件（H1）和

（H2）若f (r，u，η)关于u，η 的偏导数存在，且当 r∈I，v0(r) ≤u0(r) ≤w0(r)，η∈R+时，有fu(r，u，η)＜0，则式（1）存在唯一径向解u=u(|x|)∈ C2(I)，且v0(|x|)≤u0(|x|)≤ w0(||x)。

证明由定理1，式（1）至少存在一个径向解。下证唯一性。设u1，u2∈C2(I)为式（4）的解，记u(r)=u1(r)-u2(r)。由微分中值定理，u(r)∈C2(I)为

的解，其中a(r)=fu(r，ξ，ζ)，b(r)=fη(r，ξ，ζ)，ξ=u1+θ(u2-u1)，ζ=u1'+θ(u2'-u1')，θ∈(0，1)。

因为f (r，u，η)连续，且关于u，η 连续可微，故a(r)和b(r)有意义。由条件（H2），得a(r)＜0。

下证u ≡0。反设u ≡0 不成立，则存在K ＞0，使得，即存在r*∈(r1，r2)，使得。

由式（21）及式（22）第1 式，有

故u ≡0。因此，式（4）存在唯一解，即式（1）存在唯一径向解。

3 例 子

相应的非线性项为

所以w0(r)=r 为式（24）的上解。易见f (r，u，η)关于η 二次增长，满足条件（H1）。由定理1，式（24）至少存在1 个径向解。易验证，式（25）满足条件（H2），由定理2，式（24）存在唯一径向解。