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含非线性阻尼的二维自治g-Navier-Stokes 方程解的双全局吸引子

2023-08-09王小霞黄厚曾姜金平

浙江大学学报(理学版) 2023年3期
关键词:方程解有界维数

王小霞,黄厚曾,姜金平

(延安大学 数学与计算机科学学院,陕西 延安 716000)

近年来,有关g-Navier-Stokes 方程的研究方兴未艾,研究成果颇丰[1-13]。文献[1-4]讨论了二维g-Navier-Stokes 方程弱解的适定性和全局吸引子的存在性,并对其维数进行了估计;文献[5-6]分别讨论了在全空间和多连通区域上含线性阻尼的二维g-Navier-Stokes 方程解的全局吸引子存在性;文献[7-10]研究了二维g-Navier-Stokes 方程的拉回吸引子。遗憾的是,目前有关含非线性阻尼的二维自治g-Navier-Stokes 方程的相关研究尚不多见[13]。二维g-Navier-Stokes 方程的导出源于三维薄区域上的Navier-Stokes 方程,可将其视为标准Navier-Stokes 方程的一个扰动。因此研究二维区域上的g-Navier-Stokes 方程将推动三维Navier-Stokes 方程的研究。鉴于此,本文将进一步研究二维g-Navier-Stokes 方程解的全局渐近行为。

含非线性阻尼的二维g-Navier-Stokes 方程的一般形式:

其中,u(x,t)∈R2和p(x,t)∈R 分别表示速度和压力,f=f (x)∈(L2(Ω))2为与时间无关的外力项;υ >0,β >1,c|u|β-1u 为阻尼项;g(x1,x2)为某实值光滑函数且 0 <m0≤g=g(x1,x2)≤M0,xi∈ R(i=1,2);另设在Ω ⊂R2上有u(x,0)=u0(x)。

1 预备知识

设λ1>0,λ1∈R,且

即Poincaré 不等式在区域Ω 上成立。

令L2(g)=[L2(Ω)]2,其内积定义为

范数定义为

范数定义为

定义g-Laplacian 算子为

借助g-Laplacian 算子,将式(1)改写为

定义g-正交投射为Pg:L2(g)→Hg,g-Stokes 算子为,将Pg作用于式(6),可得:

设f∈Vg,u0∈Hg,则有

于是对任意的v∈Vg,t >0,有

其中,bg:Vg×Vg×Vg→R 且

其中,式(8)为式(6)的弱形式。也有

则式(8)与下列方程等价:

由文献[1],可知对任意的u,v∈D(Ag),有

其中,c 表示任意正常数。

进一步,有

由文献[3],可知对任意的u∈Vg,有

命题1设f∈L2(g),u0(x)∈Hg,则存在唯一的 u(x,t)∈ L∞(R+;Hg) ∩ L2(0,T ;Vg) ∩ C(R+;Hg)(T >0),使得式(8)和式(9)成立。

利用标准的Galerkin 方法,可证得命题1。证明方法与文献[3]类似,不再赘述。

定义1[11]设X 和Z 为Banach 空间,{S(t)}t≥0为X 的半群,B0⊂Z,若对任意的B ⊂X,有T=T(B),且t >T,S(t)B ⊂B0,则称B0为(X-Z)的有界吸收集。

定义2[11]设X,Z 为Banach 空间,A ⊂X,A 为X 的不变闭集,且A 在Z 中是紧的,若A 在Z 中吸引X 上的任一有界集,则称A 为(X-Z)的全局吸引子。

定义3[11]设X 为Banach 空间,{S(t)}t≥0为X的半群,xn为X 的序列,若在X 上对任意的t ≥0,当xn→x 时,有S(xn)→S(x),则称{S(t)}t≥0为X 的强弱连续半群。

定理1设X 为Banach 空间,若{S(t)}t≥0为X上满足式(8)和式(9)的解半群,则S(t)为Vg的强弱连续半群。

证明证明过程与文献[12]引理4.3 类似,此证略。

定义4[11]设X 为Banach 空间,{S(t)}t≥0为X的半群,若对任意的有界集B ⊂X(ε >0),存在常数tB>0 和有限子空间X1⊂X,使得

(i){ PS(t)x|x∈B,t ≥tB}有界;

(ii)对任意的t≥tB,x∈B,有||(I-P)S(t)x||X<ε;

其中,P:X →X1为标准投影,则称{S(t)}t≥0在X 上满足条件(C)。

引理1[11]设X 为Banach 空间,{S(t)}t≥0为X的强弱连续半群,如果:

(i){S(t)}t≥0有一个有界吸收集B0∈X;

(ii){S(t)}t≥0在X 上满足条件(C);

则{S(t)}t≥0在X 上存在全局吸引子。

2 含非线性阻尼的二维自治g-Navier-Stokes 方程解的双全局吸引子

先证在Hg上式(1)存在有界吸收集。首先在式(11)两边与u 做内积,可得

由Gronwall 不等式,有

下证Hg-Vg有界吸收集的存在性。在方程两边与-Δu作内积,可得

由Poincaré 不等式:λm|∇u|2≤|Δu|2,有

由Gronwall 不等式,可得

定理2设f∈L2(g),u0∈Hg,{S(t)}t≥0为式(1)~式(3)的强弱连续半群,则{S(t)}t≥0有一个非空、紧可逆的Hg-Vg全局吸引子。

证明由假设,知g-stokes 算子Ag是紧的可逆正自伴算子,由经典谱定理,知序列λ1,λ2,…属于D(Ag),当m →0 时,使得

D(Ag)中的一族元素在Vg中正交,使得Aωi=λiωi,i=1,2,…。由文献[4],设

由Poincaré 不等式,可得

利用Gronwall 不等式,有

于是对任意的ε >0,有|∇u2|2<ε。由引理1,可知定理2 成立。

3 双全局吸引子的维数估计

设u0∈A 且u(t)=S(t)u0,当t ≥0 时,式(9)中的线性流u 可由下列式子给出:

对任意的ψ∈Hg,T >0,存在唯一的U∈L2(0,T;Vg)∩C([0;T] ;Hg)满足式(15)。

将线性映射 L(t;u0):Hg→Hg定义为L(t;u0)ζ=U(t),可证明L(t;u0)有界且{S(t)}t≥0在A 上一致可微,即

将式(15)记为

对m∈N,qm可定义为

其中,Qm(τ)=Qm(τ:u0,ψ1,ψ2,…,ψm),为在Hg上的正交投影,L(t;u0)ψ1,L(t;u0)ψ2,…,L(t;u0)ψm,ψ1,ψ2,…,ψm在Hg上线性无关。

引理2[14]设A 是式(1)~式(3)的全局吸引子,若对n∈N,有qn<0,那么A 分别具有有限的 Hausdorff 和 fractal 维数估计:

为估计qm,设u0∈A 且u(t)=S(t)u0,有

设φi(t)(i=1,2,…,m)为Hg上的正交基,由于

利用Lieb-Thirring 不等式:

定理3考虑含非线性阻尼的二维g-Navierstokes 方程,当时,m满足,其中,c 为定义在R2上的常数,则其全局吸引子具有有限的Hausdorff维数(小于等于m)和有限的分形维数(小于等于2m)。

4 结论

利用算子分解法和谱理论,通过证明含非线性阻尼的二维自治g-Navier-Stokes 方程的解半群在有界区域上具有有界吸收集,且满足条件(C),得到该方程存在解的双全局吸引子。通过估计双全局吸引子的维数,得到其具有有限的Hausdorff 维数和有限的分形维数。

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