含非线性阻尼的二维自治g-Navier-Stokes 方程解的双全局吸引子

王小霞，黄厚曾，姜金平

（延安大学 数学与计算机科学学院，陕西 延安 716000）

近年来，有关g-Navier-Stokes 方程的研究方兴未艾，研究成果颇丰［1-13］。文献［1-4］讨论了二维g-Navier-Stokes 方程弱解的适定性和全局吸引子的存在性，并对其维数进行了估计；文献［5-6］分别讨论了在全空间和多连通区域上含线性阻尼的二维g-Navier-Stokes 方程解的全局吸引子存在性；文献［7-10］研究了二维g-Navier-Stokes 方程的拉回吸引子。遗憾的是，目前有关含非线性阻尼的二维自治g-Navier-Stokes 方程的相关研究尚不多见［13］。二维g-Navier-Stokes 方程的导出源于三维薄区域上的Navier-Stokes 方程，可将其视为标准Navier-Stokes 方程的一个扰动。因此研究二维区域上的g-Navier-Stokes 方程将推动三维Navier-Stokes 方程的研究。鉴于此，本文将进一步研究二维g-Navier-Stokes 方程解的全局渐近行为。

含非线性阻尼的二维g-Navier-Stokes 方程的一般形式：

其中，u(x，t)∈R2和p(x，t)∈R 分别表示速度和压力，f=f (x)∈(L2(Ω))2为与时间无关的外力项；υ ＞0，β ＞1，c|u|β-1u 为阻尼项；g(x1，x2)为某实值光滑函数且 0 ＜m0≤g=g(x1，x2)≤M0，xi∈ R(i=1，2)；另设在Ω ⊂R2上有u(x，0)=u0(x)。

1 预备知识

设λ1＞0，λ1∈R，且

即Poincaré 不等式在区域Ω 上成立。

令L2(g)=[L2(Ω)]2，其内积定义为

范数定义为

范数定义为

定义g-Laplacian 算子为

借助g-Laplacian 算子，将式（1）改写为

定义g-正交投射为Pg：L2(g)→Hg，g-Stokes 算子为，将Pg作用于式（6），可得：

设f∈Vg，u0∈Hg，则有

于是对任意的v∈Vg，t ＞0，有

其中，bg：Vg×Vg×Vg→R 且

其中，式（8）为式（6）的弱形式。也有

则式（8）与下列方程等价：

由文献［1］，可知对任意的u，v∈D(Ag)，有

其中，c 表示任意正常数。

进一步，有

由文献［3］，可知对任意的u∈Vg，有

命题1设f∈L2(g)，u0(x)∈Hg，则存在唯一的 u(x，t)∈ L∞(R+；Hg) ∩ L2(0，T ；Vg) ∩ C(R+；Hg)(T ＞0)，使得式（8）和式（9）成立。

利用标准的Galerkin 方法，可证得命题1。证明方法与文献［3］类似，不再赘述。

定义1［11］设X 和Z 为Banach 空间，{S(t)}t≥0为X 的半群，B0⊂Z，若对任意的B ⊂X，有T=T(B)，且t ＞T，S(t)B ⊂B0，则称B0为(X-Z)的有界吸收集。

定义2［11］设X，Z 为Banach 空间，A ⊂X，A 为X 的不变闭集，且A 在Z 中是紧的，若A 在Z 中吸引X 上的任一有界集，则称A 为(X-Z)的全局吸引子。

定义3［11］设X 为Banach 空间，{S(t)}t≥0为X的半群，xn为X 的序列，若在X 上对任意的t ≥0，当xn→x 时，有S(xn)→S(x)，则称{S(t)}t≥0为X 的强弱连续半群。

定理1设X 为Banach 空间，若{S(t)}t≥0为X上满足式（8）和式（9）的解半群，则S(t)为Vg的强弱连续半群。

证明证明过程与文献［12］引理4.3 类似，此证略。

定义4［11］设X 为Banach 空间，{S(t)}t≥0为X的半群，若对任意的有界集B ⊂X（ε ＞0），存在常数tB＞0 和有限子空间X1⊂X，使得

（i）{ PS(t)x|x∈B，t ≥tB}有界；

（ii）对任意的t≥tB，x∈B，有||(I-P)S(t)x||X＜ε；

其中，P：X →X1为标准投影，则称{S(t)}t≥0在X 上满足条件（C）。

引理1［11］设X 为Banach 空间，{S(t)}t≥0为X的强弱连续半群，如果：

（i）{S(t)}t≥0有一个有界吸收集B0∈X；

（ii）{S(t)}t≥0在X 上满足条件（C）；

则{S(t)}t≥0在X 上存在全局吸引子。

2 含非线性阻尼的二维自治g-Navier-Stokes 方程解的双全局吸引子

先证在Hg上式（1）存在有界吸收集。首先在式（11）两边与u 做内积，可得

由Gronwall 不等式，有

下证Hg-Vg有界吸收集的存在性。在方程两边与-Δu作内积，可得

由Poincaré 不等式：λm|∇u|2≤|Δu|2，有

设

由Gronwall 不等式，可得

定理2设f∈L2(g)，u0∈Hg，{S(t)}t≥0为式（1）～式（3）的强弱连续半群，则{S(t)}t≥0有一个非空、紧可逆的Hg-Vg全局吸引子。

证明由假设，知g-stokes 算子Ag是紧的可逆正自伴算子，由经典谱定理，知序列λ1，λ2，…属于D(Ag)，当m →0 时，使得

D(Ag)中的一族元素在Vg中正交，使得Aωi=λiωi，i=1，2，…。由文献［4］，设

由Poincaré 不等式，可得

利用Gronwall 不等式，有

于是对任意的ε ＞0，有|∇u2|2＜ε。由引理1，可知定理2 成立。

3 双全局吸引子的维数估计

设u0∈A 且u(t)=S(t)u0，当t ≥0 时，式（9）中的线性流u 可由下列式子给出：

对任意的ψ∈Hg，T ＞0，存在唯一的U∈L2(0，T；Vg)∩C([0；T] ；Hg)满足式（15）。

将线性映射 L(t；u0)：Hg→Hg定义为L(t；u0)ζ=U(t)，可证明L(t；u0)有界且{S(t)}t≥0在A 上一致可微，即

将式（15）记为

对m∈N，qm可定义为

其中，Qm(τ)=Qm(τ：u0，ψ1，ψ2，…，ψm)，为在Hg上的正交投影，L(t；u0)ψ1，L(t；u0)ψ2，…，L(t；u0)ψm，ψ1，ψ2，…，ψm在Hg上线性无关。

引理2［14］设A 是式（1）～式（3）的全局吸引子，若对n∈N，有qn＜0，那么A 分别具有有限的 Hausdorff 和 fractal 维数估计：

为估计qm，设u0∈A 且u(t)=S(t)u0，有

设φi(t)(i=1，2，…，m)为Hg上的正交基，由于

利用Lieb-Thirring 不等式：

定理3考虑含非线性阻尼的二维g-Navierstokes 方程，当时，m满足，其中，c 为定义在R2上的常数，则其全局吸引子具有有限的Hausdorff维数（小于等于m）和有限的分形维数（小于等于2m）。

4 结论

利用算子分解法和谱理论，通过证明含非线性阻尼的二维自治g-Navier-Stokes 方程的解半群在有界区域上具有有界吸收集，且满足条件（C），得到该方程存在解的双全局吸引子。通过估计双全局吸引子的维数，得到其具有有限的Hausdorff 维数和有限的分形维数。