带有变系数阻尼项的半线性波动方程解的衰减估计

陈雪丽，曹德刚，杨 晗

(西南交通大学数学学院，四川 成都 611756)

1 引言

本文研究如下带有变系数阻尼项的非线性波动方程的Cauchy 问题

其中

初值满足

且初值具紧支集

对于问题(1)，文献[5 -7]研究了对应的齐次问题，根据β的范围将阻尼项分为了四种情形:1)当β ＜-1时，称阻尼项为超阻尼，此时当t→∞时，解不衰减到0；2)当-1 ≤β ＜1 时，称阻尼项是有效的，此时解的性质与对应的热方程的解一致，也就是utt对于解的衰减性质没有影响；3)当β ＝1 时，阻尼项是临界的；4)当β ＞1 时，称阻尼项是无效的，此时解的性质与对应的波动方程相似，即阻尼项对解的渐近性质没有影响.因此本文讨论-1＜β ＜1 时解的衰减性质，此时阻尼项是有效的.

对于波动方程解的衰减性质的相关研究已有了较丰富的结果，若阻尼项带常系数，文献[1]研究如下波动方程的Cauchy 问题

其中p ＞1 .在1＜p ＜∞(n ＝1，2)，1＜p条件下，若初值满足u0(x) ∈H1(ℝn)，u1(x) ∈L2(ℝn) ，以及

对于常数γ ＞0 成立，则问题(4)存在唯一弱解

u(x，t) ∈C([0，∞)；H1(ℝn)) ∩C1([0，∞)；L2(ℝn)).

在上述条件下，利用加权L2能量法，得到了问题(4)解的衰减性质

上述衰减估计是在常数C ＞0 ，1＜p≤条件下建立的.

在文献[2]中，考虑了全空间ℝn上带阻尼变系数a(x) 及带非线性项｜u ｜p-1u的半线性波动方程的Cauchy问题

其中1＜p ＜∞(n ＝1，2) ，1＜p ＜(n≥3) ，c ＞0 ，a(x)≈，β∈[0，1) .在初值满足u0(x)∈H1(ℝn)，u1(x) ∈L2(ℝn) ，suppu0，suppu1⊂{x；｜x ｜≤R}，R ＞0 的条件下，考虑问题(5)在临界情况下解的衰减性质，即β ＝1 时的情况.同时考虑了a(x，t) ≈时解的衰减性质.利用乘子法以及解的有限传播速度得到了如下衰减估计

其中0 ≤η ＜1 ，且依赖于常数b0和c.

文献[3]研究了问题(1)解的L1和L2衰减估计，在文献[3]中，b(t)＝b0(1＋t)-β其中常数b0＞0 ，-1＜β ＜1 ，p ＞1 .当β ＝0 时，(1)转化为问题(4).在1＜p ＜∞(n ＝1，2) ，1＜p ＜(n≥3) ，初值条件满足(2)和(3)的条件下，得到了问题(1)弱解的整体存在性，弱解

且弱解的支集在集合Bt＋R:＝{x；｜x ｜≤t ＋R} 中.并建立了衰减估计

当β ＝0 时，解的L2衰减估计与文献[1]一致.

文献[4]研究了阻尼项带与时间空间都相关的变系数时的半线性波动方程Cauchy 问题

其中

在1＜p ＜∞(n ＝1，2)，条件下，初值满足

文献[4]利用加权能量法.通过选取合适的权重函数，得到了问题(6)解的L2估计.当α ＝0 时，结论与文献[3]一致.

从上述文献可知，在研究解的衰减估计时，要么要求初值具有紧支集，或者初值在无穷远处时有指数衰减性质.因此，对初值的假设不同，相应的结论也不同，其方法也各有特点.在初值具有紧支集时，一般要利用解的有限传播速度来建立相应估计.若初值具有指数衰减时，一般利用加权能量方法来处理.

受上述文献的启发，本文考虑初值具有紧支集条件下的衰减估计，研究问题(1)中当b(t) ≈b0(1＋t)-β，β∈(-1，1) 时解的衰减估计，由文献[5 -7]可知，这种情况下阻尼项是有效的.

本文的主要结论如下.

定理1设1＜p ＜∞(n ＝1，2) ，，初值满足(2)和(3)，b(t)∈C([0，∞)) ，b′(t)∈C([0，∞)) ，且

对于δ假设

其中β∈(-1，1) ，若u(x，t) ∈C([0，∞)；H1(ℝn)) ∩C1([0，∞)；L2(ℝn)) 是问题(1)的弱解，则对任意(8)中δ有

其中正常数C1，C2依赖于‖u0‖H1，‖u1‖L2，β和δ.

注1:在本文中，当β ＝0 时，(1)转化为问题(4)，由于对初值的假设不同，使用的方法不同，因此本文得到的结论与文献[1]不同.当-1＜β ＜1 时，本文与文献[3]研究问题相同，通过选取与文献[3]不同的乘子，得到不同的衰减估计，所得估计虽与n，p无关，但本文方法更简单，丰富了此类问题的结论.

2 定理1 的证明

在证明定理1 之前，借助文献[2]的方法，可以建立如下引理.

定义泛函E(t) ，H(t) ，

其中f(t) ，g(t) 是光滑函数.

引理1若u是问题(1)的一个弱解，则以下等式成立

证明:在问题(1)第一个式子两端同时乘以f(t)ut ＋g(t)u，并在ℝn上积分.

第一步，在(1)第一个等式两端同乘f(t)u，可以得到

第三步，将第一步和第二步得到的等式相加，并在ℝn上积分，由散度公式有

即(11)成立.引理1 证毕.

由于问题(1)的弱解具支集，因此下文对泛函E(t) ，H(t) 的估计只需考虑将弱解的支集Ω(t) 作为E(t) ，H(t) 的积分区域，其中

Ω(t)＝{x；｜x ｜≤t ＋R}，R ＞0.

引理2假设存在均大于0 的光滑函数f(t) ，g(t) ，h(t) ，并且对于t≥0 ，满足以下五个条件:

1) 2bf -2g - f′≥0 ；2) 2g - f′≥0 ；3)g″ - bg′≥0 ；4)；5)gb - g′ - h-1g≥0 .若u(x，t) 是问题(1)的弱解，则有

对于t≥0 成立.

证明:由上述条件1) -5)以及b′≤0 ，可以得到引理1 中H(t) ≥0 ，再由(11)可知，则有E(t) ≤E(0) 对于t≥0 成立.

因为h(t)＞0 ，从而有

由条件5)可得

即(12)成立.引理2 证毕.

接下来选取合适的函数f(t) ，g(t) 和h(t) ，使得满足引理2 条件，再借助引理可以证明定理1.

定理1 的证明:取具体的函数f(t) ，g(t) 和h(t) 为

其中δ满足(8).下面验证上述选取的函数f(t) ，g(t) 和h(t) 满足引理2 中的条件1) -5).计算f(t) 的一阶导数和g(t) 的二阶导数:

因此由(7)可得

由于(1＋t)β-1≤1 ，即-(1＋t)β-1≥-1 ，因此有

1) 2bf -2g - f ′≥2 (1＋t)1-δ(b0-1- β ＋δ)≥0，

2) 2g - f ′ ＝(1＋β - δ) (1＋t)β-δ -(1＋β - δ) (1＋t)β-δ ＝0，

同1)处理技巧可得

因此，

5)gb - g ′- h-1g≥0.

据此，将(13)带入(12)中可得

即

则对t≥0 有

那么(9)和(10)成立.定理1 证毕.