零售商公平偏好下促销努力可变的供应链协调研究
2023-08-06孙莴
摘 要：文章为研究具有公平偏好的零售商在促销努力可变情况下的供应链决策与协调机制，引入公平效用函数，构建供应商主导的二级供应链系统，主要考察收益共享契约的协调问题。研究表明：公平偏好并不会影响促销努力可变时的收益共享契约，但是限制了收益分享比例的范围；在一定范围内供应商最大收益分配随着公平关切度的增大而减小，零售商存在最低收益分配，随着公平关切度的增大而增大。
关键词：公平偏好；供应链协调；收益共享契约
中图分类号：F506文献标识码：A文章编号：1005-6432（2023）21-0177-04
DOI：10.13939/j.cnki.zgsc.2023.21.177
1 引言
激烈的市场竞争中，企业为了自身的发展而采取促销的手段已经成为市场的常态，由于市场的不稳定以及产品的特殊性等导致企业会弹性地选择促销方式来获取尽可能多的利润。在这种情况下促销努力水平是难以准确估计的，而大部分的研究都假定其在销售期初为一个固定的常数[1-2]，与现实不符。相关学者对促销努力下的供应链协调进行了大量的研究，Taylor[3]基于促销努力影响市场需要的情况下，设计合理的返利和退货契约；汪峻萍等[4]考虑顾客策略行为下，通过建立联合促销的供应链协调模型来研究风险规避对供应商和零售商决策的影响；刘彩云等[5]利用CVaR研究在期末二次订购时具有风险规避和促销努力零售商的决策问题。而往往决策者并非完全理性人，公平关切的行为偏好使得决策者更为关注供应链的利润分配。近年来，学者也逐渐重视行为偏好对供应链管理的影响，王义宝等[6]研究了双边垂直和线下具有公平偏好的两种零售商的双渠道供应链合作广告模型；浦徐进等[7]在制造商主导的二级供应链系统中研究公平关切零售商对促销努力以及供应链整体效率的影响，并设计了基于Nash的收益共享契约协调供应链；Zhou等[8]证明零售商的公平偏好影响着广告合作与减排成本分担契约的协调。这些文献大部分都是假设促销努力不变，来对供应链的协调进行研究。
罗新星等[9]基于风险中性的条件下，研究销售期中零售商促销努力可变的供应链协调问题。文章与文献[9]虽然都关注了促销努力可变时的供应链协调问题，但存在以下区别：文章考虑了零售商具有公平关切的行为偏好的情形；文章既考虑了供应链的协调，也对供销双方的收益进行了探讨。
2 问题描述
文章基于一个单周期二级供应链系统，研究零售商促销努力可变的情况下，公平偏好对于供应链系统的影响，供应商为风险中性，零售商具有公平关切的行为偏好。双方进行Stackelberg 博弈，供应商为领导者，供应商和零售商都为追求自身利益或者效用最大化进行决策，销售期初，供销双方商定收益共享契约；销售期中，双方重新商定收益共享契约来获得更大的利润。设e为促销努力水平，努力成本为C（e），C′（e）>0；C″（e）>0；随机需求，X=z（e）t+ξ，z（e）为单位时间需求增量，z′（e）>0，z″（e）<0，ξ是與时间t有关的随机变量，概率密度函数为f（x－z（et）t|t），概率分布函数为F（x－z（et）t|t），T表示总销售期，供应商的生产成为cs，零售商的促销成本cr和市场价格p都是给定的，批发价格为w，订货量为Q，零售商和供应商的促销成本分担系数分别为φ、 1－φ，收益共享比例为φ、 1－ φ。假定零售商存在公平偏好，公平关切度λ>0，公平得失参考系数为α。
3 销售期期初的收益共享契约
3.1 集中决策
在集中决策情况下，供应链各成员以整体利益最大为目标进行决策，则供应链的期望利润为：
∏Tsc（Q，eT）=p（Q－∫Qz（eT）TF（x－z（eT）T|T）d（x））－（cs+cr）Q－C（eT）（1）
引理1：集中决策下，零售商的最优订购量Q*与最优促销努力水平e*T满足
F（Q*－z（e*T）T|T）=p－cs－crp（2）
C′（e*T）z′（e*T）=p－cs－cr（3）
证明：将式（1）的利润函数求二阶导，可得Hessian矩阵负定，因此∏Tsc是关于Q和eT的凹函数，存在唯一最优解，令∏TscQ=0、∏TsceT=0，可求得式（2），将式（2）带入∏TsceT=0中，求得式（3），证毕。
3.2 分散决策
零售商具有公平关切的行为偏好时，会更加关注供应链成员间利润分配的公平，以公平效用最大为目标。零售商的期望利润为：
∏Tr（Q，eT）=φTp（Q－∫Qz（eT）TF（x－z（eT）T|T）d（x））－（w+cr）Q－φTC（eT）（4）
供应商的期望利润为：
∏Ts（Q，eT）=（w－cs）Q+（1－φT）p（Q－∫Qz（eT）TF（x－z（eT）T|T）d（x））－（1－φT）C（eT）（5）
当零售商具有公平偏好时，其销售期初效用函数为：
UTr=∏Tr－λ（α∏Ts－∏Tr）=（1+λ）∏Tr－λα∏Ts（6）
引理2：分散决策下，当且仅当φT>λα1+λ+λα、φT>λα1+λ+λα，供应链存在最优决策，零售商的最优订购量QdT与最优促销努力水平edT满足
F（QdT－z（eT）T|T）］=（1+λ）（w+cr－φTp）+λα［w－cs+（1－φT）p］p［（1－φT）λα－（1+λ）φT］（7）
C′（edT）z′（edT）=（1+λ）［（w+cr）－φTp］+λα［（w－cs）+（1－φT）p］（1－φT）λα－（1+λ）φT（8）
证明：对式（2）的零售商的效用函数求二阶导，根据z′（eT）>0、z″（eT）<0、C′（eT）>0、C″（eT）>0，得 φT>λα1+λ+λα，φT>λα1+λ+λα时海森矩阵负定，存在唯一最优解，令UTrQ=0、UTreT=0，即F（QdT－z（eT）T|T）］=（1+λ）（w+cr－φTp）+λα［w－cs+（1－φT）p］p［（1－φT）λα－（1+λ）φT］，将式（7）带入UTreT=0中，得式（8），证毕。
定理1：当零售商的收入分享比例φT和促销成本承担比例φT满足max（φ—T，φ∧T）<φT<1且φT=φT=w+crcs+cr时，供应链能够实现协调。
证明：要使供应链达到协调，即零售商在分散决策下的决策能使整个供应链的绩效达到集中决策的水平。
p－cs－crp=（1+λ）（w+cr－φTp）+λα［w－cs+（1－φT）p］p［（1－φT）λα－（1+λ）φT］p－cs－cr=（1+λ）（w+cr－φTp）+λα［w－cs+（1－φT）p］（1－φT）λα－（1+λ）φT（9）
由式（9）可得ΦT=φT，再将其代回式（9）中可得φT=w+crcs+cr。
0<φT<1，可知w
∏Tr（Q*，e*T）=φT∏Tsc（Q*，e*T）
UTr（Q*，e*T）=［φT（1+λ+λα）－λα］∏Tsc（Q*，e*T）
∏Ts（Q*，e*T）=（1－φT）∏Tsc（Q*，e*T）
证毕。
根据定理1，满足获得多少收益比例就承担多少促销成本的收益共享契约能够协调供应链，公平偏好并不会影响协调时的收益共享契约，但在一定程度上影响着其对利益分配比例的范围，供应链协调时零售商的收益分享比例转变为零售商成本占整个供应链成本的比值。
4 销售期的收益共享契约
4.1 集中决策
在销售期中，零售商与供应商根据剩余产品数量、供需关系重新商定收益共享契约，使得在剩余销售期能够实现供应链整体利益最大，剩余销售期供应链的期望利润为：
∏tsc（q，et）=p（q－∫qz（et）tF（x－z（et）t|t）d（x））－C（et）（10）
引理3：集中决策下零售商的最优促销努力水平e*t满足
C′（edt）z′（edt）=F（q－z（et）t|t）p（11）
证明：对式（10）求关于et的一阶、二阶导数。因为p>0，z″（et）<0，C″（et）>0，因此2∏tsc（q，et）et2<0，∏tsc（q，et）为严格凹函数，令∏tsc（q，et）et=0，可得式（11），证毕。
4.2 分散决策
考虑零售商的公平偏好，在销售期中，由于各种不确定因素，供应链成员重新商定收益共享契约来使剩余销售期中达到效用最大的目标。在剩余销售期中零售商的期望利润为：
∏tr（q，et）=φtpSt（q，et）－φtC（et）（12）
供应商的期望利润为：
∏ts（q，et）=（1－Φt）pSt（q，et）－（1－φt）C（et）（13）
当零售商具有公平偏好时，剩余销售期的期望效用为：
Utr=（1+λ）∏tr－λα∏ts（14）
引理4：分散决策下销售期中零售商收益分享比例和成本分担比例分别满足Φt>λα1+λ+λα、φt>λα1+λ+λα时，其最优促销努力水平edt满足
C′（edt）z′（edt）=（1+λ）Φt-λα（1-Φt）（1+λ）φt-λα（1-φt）F（q-z（et）t|t）p（15）
證明：对式（14）求关于et的一阶、二阶导数。
当Φt＞λα1+λ+λα、φt＞λα1+λ+λα时，由于z″（et）＜0，C″（et）＞0，2Utr（q，et）e2t＜0，因此Utr为严格凹函数，令Utr（q，et）et=0，得式（15），证毕。
定理2：收益共享契约满足Φt=φt且Φ—t＜Φt＜1时能使销售期期中的供应链协调。
证明：要使剩余销售期内供应链协调，使零售商在剩余销售期做的决策的绩效达到集中决策下整个供应链水平。即e*t=edt，根据式（11）和式（15）得：
F（q-z（et）t|t）p=（1+λ）Φt-λα（1-Φt）（1+λ）φt-λα（1-φt）F（q-z（et）t|t）p（16）
由式（16）得Φt=φt
由引理4可知λα1+λ+λα＜Φt＜1时，收益共享契约能使剩余销售期内供应链协调。令λα1+λ+λα=Φ—t，则Φ—t＜Φt＜1，将式Φt=φt代入式（12）、式（13）、式（14）得
Utr（q，e*t）=［（1+λ+λα）Φt-λα］∏tsc（q，e*t）
∏tr（q，e*t）=Φt∏tsc（q，e*t）
∏ts（q，e*t）=（1-Φt）∏tsc（q，e*t）
证毕。
在销售期中，零售商的公平偏好并不会影响促销努力可变时的收益共享契约，当且仅当Φ—t＜Φt＜1时，供销双方获得多少收益比例则承担多少比例的促销成本依旧能使销售期中的供应链协调，即在销售过程中可不变更收益共享契约。
定理3：供应链协调时，当Φ—＜Φ＜1供应商的最大利润分配Φ—（λ）随着λ增加而减少，零售商的最小分配Φ（λ）随着λ增加而增大；当Φ∧＜Φ＜1时，零售商的公平偏好并不会影响供应商的最大利润和零售商的最低利润分配。
证明：当Φ—＞Φ∧时，Φ—＜Φ＜1，∏r（Q*，e*）=Φ∏sc（Q*，e*）。
令Φ（λ）=λα1+λ+λα，对其求关于λ的一阶导数，Φ（λ）λ=α（1+λ+λα）2＞0，Φ（λ）随着λ的增大而增大，∏s（Q*，e*）=（1-Φ）∏sc（Q*，e*），0＜1-Φ＜1-Φ— 。令Φ—（λ）=1-Φ—=1+λ1+λ+λα，對Φ—（λ）求关于λ的一阶导数，Φ—T（λ）λ=-α（1+λ+λα）2＜0，因此Φ—（λ）随着（λ）的增大而减小，当Φ—＜Φ∧时，则Φ∧＜Φ＜1。
∏r（Q*，e*）＞Φ∧∏sc（Q*，e*）=crcs+cr∏sc（Q*，e*）（17）
∏s（Q*，e*）＜（1-Φ∧）∏sc（Q*，e*）=crcs+cr∏sc（Q*，e*）（18）
从式（17）、式（18）可以看出，λ、α对零售商最低利益分配和供应商的最大利益分配并不产生影响。零售商的最低分配份额是其促销成本占整个供应链成本的比值，供应商的最大分配份额是其生产成本占整个供应链成本的比值，证毕。
由定理3可知，收益分享比例的取值范围影响着供应链的利润分配，当Φ—＜Φ＜1时，供应商存在最大的利润分配，并且随着零售商的公平关切度的增大而减少，同时零售商存在最低的利润分配，随着公平关切度的增大而增大。当Φ∧＜Φ＜1时，零售商的公平偏好并不会对供应商的最大利润和零售商的最低利润分配产生影响。
5 结论
当零售商的促销努力可变的情况下，考虑由风险中性供应商和公平偏好零售商组成的单周期二级供应链系统，在此基础上建立了收益共享契约模型，讨论公平偏好对供应链协调及供应商的影响。研究表明：
（1）当零售商具有公平偏好时，满足获得多少收益比例就承担多少促销努力成本的收益共享契约依旧能够使供应链协调，但必须满足一定的限制条件。
（2）在供应链协调情况下，收益分享比例的范围决定零售商的公平偏好是否对供应商最大收益和零售商最低利润分配产生影响。
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［作者简介］孙莴（1998—），女，江苏南京人，昆明理工大学硕士研究生，管理科学与工程专业，研究方向：供应链。
