中考常用的三种数学思想

王欢

数学思想方法是解题的金钥匙，掌握中考常用的数学思想有利于快速找到解题思路，让自己在中考中取得好成绩. 下面举例介绍中考中常用的三种数学思想.

一、数形结合思想

数形结合思想是指从几何直观的角度，利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想. 数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决.

例1 （2022·辽宁·锦州）如图1，A1为射线ON上一点，B1为射线OM上一点，∠B1A1O = 60°，OA1 = 3，B1A1 = 1. 以B1A1为边在其右侧作菱形A1B1C1D1，且∠B1A1D1 = 60°，C1D1与射线OM交于点B2，得△C1B1B2；延长B2D1交射线ON于点A2，以B2A2为边在其右侧作菱形A2B2C2D2，且∠B2A2D2 = 60°，C2D2与射线OM交于点B3，得△C2B2B3；延长B3D2交射线ON于点A3，以B3A3为边在其右侧作菱形A3B3C3D3，且∠B3A3D3 = 60°，C3D3与射线OM交于点B4，得△C3B3B4……，按此规律进行下去，则△C2022B2022B2023的面积为   .

分析：由图象看出此题具有规律性，因此最终求解答案时也需要探寻内在规律. 结合题目中已知条件可过点B1作B1D⊥OA1于点D，连接B1D1，B2D2，B3D3，分别作B2H⊥B1D1于点H，B3G⊥B2D2于点G，B4E⊥B3D3于点E，如图2，根据菱形的性质及题意可得OA1[?]B1D1[?]B2D2[?]B3D3，则有tan O = tan∠B2B1D1 = tan∠B3B2D2 = tan∠B4B3D3 = [35]，进而可得出规律进行求解.

解：如图2，过点B1作B1D⊥OA1于点D，连接B1D1，B2D2，B3D3，分别作B2H⊥B1D1于点H，B3G⊥B2D2于点G，B4E⊥B3D3于点E.

易得A2B2 = [43]，B2D1 = [13]，

B3D2 = [49]，B4D3 = [1627]，

A3B3 = [169]，A4B4 = [6427]，

由上可得：AnBn = [43n-1]，Bn + 1Dn = [13]·[43n-1]，

∴S△C2022B2022B2023 = S△C2022B2022D2022 - S△B2023B2022D2022 = [34] × [4320212] - [12] × [432021]× [13] × [432021]× [32] = [36] × [434042]. 故填[36] × [434042].

二、函数与方程思想

从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思想方法，就是函数与方程思想.

直线与抛物线是初中数学中的两类重要函数，无论是求其解析式还是研究其性质，都离不开函数与方程思想. 例如函数解析式的确定，往往需要根据已知条件列方程或方程组并解之而得.

例2 （2022·辽宁·营口）如图3，在四边形ABCD中，BC[?]AD，∠D = 90°，∠A = 45°，动点P，Q同时从点A出发，点P以[2] cm/s的速度沿AB向点B运动（运动到B点即停止），点Q以2 cm/s的速度沿折线AD—DC向终点C运动，设点Q的运动时间为x（s），△APQ的面积为y（cm2），若y与x之间的函数关系的图象如图2所示，当x = [72]（s）时，则y = cm2.

分析：根据题意以及函数图象可得出当点Q在AD上运动时，△APQ为等腰直角三角形，根据三角形面积公式得当△APQ面积最大为9时，x = 3，则AD = 2x = 6 cm，当3 < x ≤ 4时，过点P作PF⊥AD于点F，如图5，结合面积公式，分别表示出相关线段可得y与x之间的函数解析式，最后代入求解即可.

解：当3 < x ≤ 4时，过点P作PF⊥AD于点F，如图5，

此时S△APQ = S△APF + S四边形PQDF - S△ADQ，

由y = [12] × （[2]x）2 = 9，得x = 3，则AD = 2x = 6，

在Rt△APF中，AP = [2]x，∠PAF = 45°，

∴AF = PF = x，FD = 6 - x，QD = 2x - 6，

∴y = [12]x2 + [12]（x + 2x - 6）·（6 - x） - [12] × 6 × （2x - 6） = - x2 + 6x，

当x = [72]时，y =  - [722] + 6 × [72] = [354]. 故填[354].

三、分类讨论思想

分类讨论思想可培养同学们思维的准确性与严密性，有些问题常常通过条件的多变性或结论的不确定性来进行考查，如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解.

例3 （2022·沈阳）如图6，将矩形纸片ABCD折叠，折痕为MN，点M，N分别在边AD，BC上，点C，D的对应点分别为点E，F，且点F在矩形内部，MF的延长线交边BC于点G，EF交边BC于点H. EN = 2，AB = 4，当点H为GN的三等分点时，MD的长为.

分析：根据点H为GN的三等分点，分两种情况分别讨论，根据折叠的性质和平行线的性质证明∠GMN = ∠MNG，得到MG = NG，再证明△FGH∽△ENH，求出FG的长，过点G作GP⊥AD于点P，如图7，则PG = AB = 4，设MD = MF = x，根據勾股定理列方程求出x即可.

解：当HN = [13]GN时，GH = 2HN，

由题易得△FGH∽△ENH，∴[FGEN] = [GHHN] = 2，

∴FG = 2EN = 4，

如图7，过点G作GP⊥AD于点P，则PG = AB = 4，

设MD = MF = x，则MG = GN = x + 4，

∴CG = x + 6，∴PM = 6，

∵GP2 + PM2 = MG2，∴MD = 2[13] - 4；

当GH = [13]GN时，HN = 2GH，同理可得MD = 4.

故填2[13] - 4或4.

（作者单位：沈阳市浑南区第五初级中学）