基于弹性约束的轻质楼盖人致振动舒适度控制

蒲兴龙 ，何天虎 ，朱前坤 ，杜永峰

（1.兰州理工大学 防震减灾研究所，甘肃 兰州，730050；2.河西学院 土木工程学院，甘肃 张掖，734000；3.兰州理工大学 理学院，甘肃 兰州，730050）

随着材料科学的发展，结构的取材趋于轻质、高强，轻质楼盖相比其他传统楼盖，其质量更轻，更容易产生振动舒适度问题［1-4］.因此，在设计轻质楼盖时，要考虑因为人致振动而引起的舒适度问题.

轻质楼盖的日益增多，导致在行人荷载作用下，其人致振动问题日益突出，有必要对过量振动采取相应的减振措施［5］.一般是在楼盖上安装调谐质量阻尼器（TMD）进行减振控制.对于TMD 减振，学者们已经做了大量的研究，陈政清等［6］总结了TMD 在涡激振动控制中的工作性能，提出运用多重调谐质量阻尼器（MTMD）理论进行TMD 设计，提高振动控制的鲁棒性.Tubino 等［7］采用TMD 对行人引起的结构振动进行了控制.李亚明等［8］采用TMD 对楼盖悬挑区域进行控制，TMD 减振效率达到59%.朱前坤等［9］利用3-DOF TMD 对大跨度楼盖进行控制，均取得了较好的减振效果.王建等［10］以实际工程经验为例，分析了悬挑结构人致振动的TMD 控制.严俊等［11］将某实际工程作为研究对象，设置了TMD 减振系统，满足了人对于振动舒适度的要求.彭程［12］在大跨结构安装TMD，TMD 有效地降低了结构在人致振动下的加速度.马斐等［13］在楼盖指定钢梁跨中安置TMD装置后，有效地减小了楼盖的振动响应.

以上研究者在人致振动控制中做了大量的工作，大多采用TMD 对楼盖进行控制，虽然得到了很好的减振效果，但对于一般办公环境下的轻质楼盖，设置TMD 会影响楼盖的利用空间，并且会导致楼盖不美观，对使用者在感观上造成不舒适感.本文以办公环境为例，考虑轻质楼盖-行人相互作用，用DQIQ 法处理建立的行人-楼盖-感知者耦合振动控制方程，采用弹性约束，选取不同刚度系数对轻质楼盖人致振动进行控制，并与轻质楼盖在四边铰接时采用单个TMD 控制进行比较，最后采用概率的方法对轻质楼盖振动舒适度进行了评估.

1 行人-楼盖-感知者全路径耦合振动方程

在结构空间内，人们以行走、坐立和平躺为主，而办公环境以行走和坐立居多.行走的人作为激励，楼盖作为传播介质，坐立的人作为感知者，这样就形成了行人-楼盖-感知者全路径耦合振动，而行走引起楼盖过大的振动会使得坐立的人感到不舒适.

1.1 耦合振动方程的建立

本文以全路径振动作为模型，考虑行人-结构相互作用.其中，行人为具有mh-ch-kh单自由度的生物力学模型，其符号分别表示行人的质量、阻尼和刚度.具体计算表达式可由三个经验方程得到［14］.坐立的人（感知者）用mhp、chp和khp（分别表示质量、阻尼和刚度）组成的单自由度动力系统表示.图1 为全路径耦合振动示意图.

图1 全路径耦合振动示意图Fig.1 Schematic diagram of full path coupled vibration

对楼盖分别用i、j将两个方向进行划分.其耦合振动方程可以表示为：

1.2 边界条件

图2为四边弹性约束楼盖示意图.

图2 四边弹性约束板Fig.2 Plate with four edges elastically restrained

楼盖的弹性约束表达如下.

在X=0和X=1处：

式中：Rx0和Rxa分别为X=0 和X=1 处的转动刚度，Ry0和Ryb分别为Y=0 和Y=1 处的转动刚度.当Rx0=Rxa=Ry0=Ryb=0 时，可表示铰接；当Rx0=Rxa=Ry0=Ryb=∞时，可表示固结.但在实际的计算中，考虑楼盖的对称性，令，其取一个较大值，计算得到结构的基频与固结时的基频已较为接近，例如η=1 000 ∼2 000.

2 耦合控制方程的离散化与求解

2.1 微分求积法-积分求积法

微分求积法（DQ）是以加权和的形式表达函数的偏导数.积分求积法（IQ）是以积分的近似值表示被积函数的线性组合.已有学者对微分求积法进行了阐述［17-19］，并将两种方法结合运用［20-21］，求解了梁和板的动力响应.

2.2 控制方程的离散化

通过DQ法、IQ法，对方程（1）进行离散化，可得：

2.3 控制方程的求解

将弹性约束代入控制方程得：

式中：C1～C3为权系数.

式（2）、式（3）和式（9）联合得到矩阵表达式：

式中：M、C和K分别为耦合系统的质量、阻尼和刚度矩阵；F是荷载向量；u(t)为耦合系统的位移向量.采用Newmark -β法可求解耦合系统的动力响应.需要说明的是，为了得到更为精确的荷载模型，针对人行荷载向量进行了进一步精细化［21］.

3 算例分析

本文以CFS 轻质组合楼盖为例，具体参数为a=8.4 m，b=7.2 m，h=0.158 5 m，楼盖质量m=5 435.6 kg，H=0，Dx=8.95 × 106N·m，Dy=1.30 × 105N·m.通过TMD 参数计算公式［5-6］，计算得到楼盖模态质量mf=2 717.80 kg，TMD的质量、刚度和阻尼分别为md=54.36 kg、kd=104 531.95 N/m 和cd=408.80 N·s/m，其中μ=0.02.本文行人步频采用均值为1.87 Hz，标准差为0.173，步频范围取1.3～2.4 Hz［23］.图3 给出了行人在不同步频下的概率密度曲线.

图3 步频概率密度曲线Fig.3 Probability density curve of normal step frequency

3.1 对楼盖与感知者动力响应的控制

计算得到轻质楼盖的前三阶自振频率分别为7.119 0 Hz、8.402 5 Hz 和12.526 9 Hz.当行人步频为结构基频的倍数时，结构容易产生共振现象.本文采用上述的人行荷载模型，分别计算了行人以共振步频2.374 0 Hz（1/3 的结构基频）行走时，在四边铰接轻质楼盖采用TMD 控制和采用弹性约束控制前后楼盖与感知者的动力响应.

3.1.1 采用TMD减振

图4为采用TMD控制时楼盖的加速度响应对比.从图4（a）可看出，在控制前加速度峰值为0.366 9 m/s2，控制后加速度峰值为0.281 8 m/s2，减小23.19%；图4（b）为控制前后楼盖傅里叶谱值图，其值减小23.20%.图5 为采用TMD 控制时感知者的加速度响应对比，从图5（a）中得到，在控制前感知者加速度峰值为0.393 2 m/s2，控制后加速度峰值为0.298 6 m/s2，减小24.06%，图5（b）为控制前后感知者傅里叶谱值图，其值减小23.38%.图6给出了TMD 减振前后楼盖与感知者的加速度1-s均方根对比曲线.

图4 TMD控制时楼盖的加速度响应对比Fig.4 Comparison of acceleration response of floor under TMD Control

图5 TMD控制时感知者的加速度响应对比Fig.5 Comparison of acceleration response of receiver under TMD control

图6 TMD控制时加速度1-s均方根对比Fig.6 Comparison of 1-s RMS acceleration under TMD control

3.1.2 采用弹性约束减振

图7 为以弹性约束边界减振时，楼盖与感知者加速度响应.对比发现，在采用TMD 减振后，楼盖与感知者的加速度峰值均大于规范限值0.05 m/s2，并且只能将加速度峰值减小到某一定值.当采用弹性约束减振时，随着刚度系数的增大，楼盖与感知者的加速度峰值逐渐减小，刚度系数在0～4 之间，加速度峰值减小最为迅速，由此也说明可通过调节刚度系数的大小，使得楼盖与感知者加速度峰值满足规范要求.此时，由计算结果可知，当刚度系数分别取6.3和6.9 时，楼盖与感知者加速度峰值小于规范限值0.05 m/s2，可达到较好的减振效果.从楼盖与感知者加速度峰值在满足要求时刚度系数的取值来看，当刚度系数为6.3 时，楼盖加速度峰值满足限值要求，而对于感知者来说，此时的加速度峰值依然大于限值，说明在同等条件下感知者产生的动力响应大于楼盖的动力响应，更容易产生舒适度问题.因此有必要增加感知者的加速度峰值作为评估的参考依据之一，或者建立楼盖与感知者加速度峰值之间的对应关系，来评估楼盖的舒适度.

3.2 楼盖与感知者的概率分布

本文通过已有概率计算方法［23］，计算行人以不同步频行走在楼盖时加速度峰值的概率分布.

3.2.1 TMD控制时的概率分布

图8 为行人在不同步频下楼盖与感知者加速度峰值曲线.从图8 中可看出，在相同步频下，感知者加速度峰值均大于楼盖，由此也说明了在相同条件下，感知者较楼盖更容易产生舒适度问题.图9 为TMD控制下楼盖加速度峰值概率分布和累计概率分布.以0.05 m/s2为舒适度限值，此时楼盖满足舒适度的概率为12.94%.图10为TMD控制下感知者加速度峰值概率分布和累计概率分布，此时感知者满足舒适度的概率为6.98%.随着步频的变化，行人步频的倍数与楼盖基频一致或者接近楼盖基频时会导致楼盖产生共振，而感知者自身同样具有一定的振动频率，由此使得位于楼盖上的感知者产生较大的动力响应.观察图10 可看出，感知者的加速度响应峰值变化主要在0.05～0.15 m/s2之间出现，这与楼盖加速度峰值概率分布情况基本一致.从概率的角度同样可以看出感知者较楼盖更容易产生舒适度问题.

图8 行人在不同步频下楼盖与感知者加速度峰值曲线Fig.8 Acceleration peak curve of floor and receiver under different step frequency

图9 TMD控制下楼盖加速度峰值概率分布Fig.9 Probability distribution of peak acceleration of floor under TMD control

图10 TMD控制下感知者加速度峰值概率分布Fig.10 Probability distribution of peak acceleration of receiver under TMD control

3.2.2 弹性约束控制时的概率分布

图11 为选取不同刚度系数时，行人以所取步频范围内的步频行走，统计楼盖与感知者在同一刚度系数不同步频下加速度峰值的较大者.由此也可以发现，在不同步频下产生的加速度峰值感知者大于楼盖.图12 和图13 分别为弹性约束控制下，满足舒适度限值0.05 m/s2时楼盖和感知者的累计概率分布.可以看出，通过增大刚度系数，满足舒适度的累计概率逐渐提高.在刚度系数为0 时，满足舒适度的概率为最小.由此可看出，采用弹性约束控制使得楼盖与感知者满足舒适度的概率有了很大的提高，在刚度系数取6.9 时，两者累计概率均达到100%.从概率的角度同样说明弹性约束控制能够在很大程度上提高楼盖与感知者的舒适度.可设计弹性约束连接装置，通过调节刚度系数以满足舒适度要求.也可为转动刚度的选取提供一定参考.

图11 不同刚度系数下在不同步频行走时统计的楼盖与感知者的最大加速度峰值曲线Fig.11 Curves of maximum peak acceleration of the floor and the receiver for different stiffness coefficients at different walking step frequencies

图12 不同刚度系数下楼盖满足要求的累计概率分布Fig.12 Cumulative probability distribution of floor meeting requirements under different stiffness coefficients

图13 不同刚度系数下感知者满足要求的累计概率分布Fig.13 Cumulative probability distribution of receiver meeting requirements under different stiffness coefficients

从以上分析可看出，弹性约束控制可通过调节刚度系数，有效地减小楼盖与感知者的加速度峰值.从概率的角度也可以看出，弹性约束控制能在很大程度上提高楼盖与感知者的舒适度概率.同等条件下加速度峰值满足限值的累计概率，感知者的均小于楼盖，因此对于楼盖的舒适度评判不能只考虑楼盖，也要将感知者的响应考虑进去，建立楼盖与感知者加速度峰值之间的对应关系，来评估楼盖的舒适度，即行人-楼盖-感知者全路径楼盖人致振动舒适度评估方法.

4 结论

本文以办公环境为例，考虑感知者、行人和结构三者相互的动力耦合作用，形成行人-楼盖-感知者全路径耦合振动模式，通过建立全路径耦合振动方程并用DQ-IQ法进行处理，采用弹性约束，选取不同刚度系数对楼盖人致振动进行控制，并与楼盖在四边铰接时采用单个TMD 控制进行比较，最后采用概率的方法对轻质楼盖振动舒适度进行了评估.得到的主要结论为：

1）对于轻质楼盖，采用弹性约束边界，楼盖满足舒适度要求的概率由13.57%增加至86.98%，感知者的舒适度概率由11.75%增加至79.86%.因此，通过调节刚度系数可以有效降低楼盖的动力响应，极大限度地提高舒适度概率，对楼盖进行减振控制有很好的实用价值.同样可以改善由于TMD 设置产生的楼盖不美观现象.

2）在考虑人致振动时，感知者相对于结构在同等条件下更容易产生舒适度问题，在刚度系数取2时，楼盖的舒适度概率为68.80%，而感知者的舒适度概率仅为57.97%，相差10.83%.建议在对楼盖进行舒适度评估时将感知者的响应考虑进去，以更好地满足楼盖舒适度要求.

3）在评估振动舒适度时，为更有效地评估楼盖舒适度，建议采用行人-楼盖-感知者全路径楼盖人致振动舒适度评估方法.