“猜想—验证”的价值意蕴及其教学策略

胡新猛

［摘 要］“猜想—驗证”是一种重要的探究方式，在小学数学课堂中得到广泛应用。分析当前“猜想课堂”教学中存在的问题，基于波利亚解题理论、弗莱登塔尔“再创造”理论和建构主义学习理论，提出改进策略。

［关键词］数学猜想；课堂教学；数学验证；思维能力

［中图分类号］ G623.5［文献标识码］ A［文章编号］ 1007-9068（2023）14-0073-04

美国数学家波利亚认为，数学既要教证明，又要教猜想。“猜想—验证”是当前小学数学课堂教学中常见的探究方式，其本质内涵是学生通过“提出猜想，然后进行求证，最后得出结论”这一途径进行学习。不同于传统的教学模式，“猜想—验证”的探究方式旨在帮助学生在解答数学问题时，经过猜想、探索、思考和验证的过程，找到问题的本质，进而更好地理解数学知识点。在当前的小学数学学习中，猜想是重要的学习方式，教师要引导学生大胆猜想、积极求证。

一、“猜想—验证”的本质内涵及价值意蕴

1.猜想的内涵释义

所谓猜想，就是从未知事物出发做出某种推测或判断。人们通常认为数学猜想是对未知问题做出的一种假想假设，一般是一个命题或者是对某个概念进行演绎推理。

数学猜想其实是人们在探究数学规律时产生的一种发散思维，它是一种数学想象，是数学发展的动力。学生在解题过程中，通常会根据解题需要提出某种猜想。据此，已有的知识经验和新问题在猜想过程中碰撞出火花，对数感的提高、推理能力的发展、数学思维的锻炼等方面都有一定的积极作用。

2.验证的内涵释义

验证是在学习新知识时，学生借助相关材料和知识经验形成有一定根据的猜测后，通过有效的活动完善自己的猜测，发现并掌握新知识的过程。

在小学数学中，验证主要有两个方面的含义。一方面，是指对事物进行证实的过程，它与证明类似。数学上“证”是指找出矛盾，或者找出某种关系然后确定它正确与否，“证”也包括对理论、法则、规律、原理等的检验过程。另一方面，验证是证明的一个组成部分。

在数学证明中，首先要找到一个合理的根据来证明命题正确与否，然后再得出结论，验证就是验证有无矛盾。因此，在小学数学教学中，教师不仅要重视猜想，还应该重视验证，让学生在数学学习过程中充分经历探究、推理的过程，从而发展数学思维，形成数学思想。

3.“猜想—验证”的价值意蕴

数学猜想蕴含着对未知事物做出可能为真或可能为假的判断，是一种以实践中的已有经验为基础形成的、与实际问题密切联系的想象思维过程。通过开展“猜想—验证”活动，能够有效地激发学生学习热情，培养他们的自主学习技巧，促进他们的知识建构和思维能力的发展。

（1）激发学生好奇心，让学生勇于质疑问难

“猜想—验证”活动可以帮助学生从日常生活中发掘难题，唤起他们的好奇心，让他们在提出猜想的过程中，体验探究的快乐，增强自主学习的积极性和自信。通过这种方式，学生可以更好地理解和解决问题。通过“猜想—验证”活动，学生可以更加积极地探索、发现、思考和探究，从而培养出强烈的探索欲、求知欲，让他们在数学中得到更多的快乐。

（2）提高学生学习能力，让学生掌握学习策略

“猜想—验证”是一种极具价值的学习方式，它能够为学生提供一种有效的学习策略，从而让他们更好地理解和掌握知识，并且能够有效地提高他们的学习能力。

（3）构建学生认知结构，让学生完善知识体系

学习者可以利用已有的认知经验，深入探索知识点之间的联系，并将所学的数学知识运用到实际中，从而发现并解决问题，有效地提升学习者对知识点的理解，有助于建立和完善自身的知识体系。

（4）促进学生思维发展，让学生拓宽思维空间

“猜想—验证”是一种有效的思维方式，它有助于学生从日常生活中发现问题，并进行想象、创造和思维的再加工，进行合理推测再验证，从而提高学生的思维。因此，“猜想—验证”可以被视为一种想象与创造的过程。验证是一个严密的思考过程，它有助于培养学生的逻辑思维能力，从而让学生更好地理解和应用知识。在数学学习过程中，学生经历丰富、有效的猜想、验证等探究活动，能够发展思维能力，进而不断地拓展思维空间。

二、数学“猜想—验证”的理论基础

1.波利亚解题理论

波利亚认为学生学习思考的方法才是更重要的。他强调学生的发现学习和主动学习，同时强调要大胆猜想，激发学习动机，要经历启发、探究、证明、定义的阐明以及消化吸收知识的过程。波利亚解题理论提供了教学设计的基本环节和重要方式。首先，透过创造好玩的场景来引起学生的学习兴趣；其次，提出有意思的问题，引导学生思考；最后，鼓励学生积极探究、仔细推敲，最终得出有价值的结论。

2.弗莱登塔尔“再创造”理论

弗莱登塔尔的“再创造”理论强调在数学活动中学生的主体性以及激发学生主动学习的重要性，还有“再创造”意义的重要性。“再创造”的核心是“数学过程再现”，教师不应将新的知识灌输给学生，而应让学生在学习活动中，自己通过观察思考对知识有一个创造过程。相比传统教学形式，学生在自己的主动发现、创造中所收获的数学思维、数学能力更丰富，更有助于学生数学思维的可持续发展。

3.建构主义学习理论

建构主义教学理念强调培养学生的创造力、主动性和独立思考能力。它重视学生已有的知识和经验，并将其作为教学过程中不可或缺的一部分。在课堂教学中要强调学生的主体地位，教师是引导者，学生是学习者，教师引导学生运用已有的知识和经验，通过创设恰当的情境和有价值的问题来建构新知识，在这个过程中增强学生的推理能力，发展他们的数学思维。

三、小学数学猜想教学现状分析

1.猜想缺乏关联性材料

數学猜想的形成需要一定的基础，比如已有的事实材料和数学基础知识。然而，教师往往不会提供这些材料来帮助学生形成数学猜想，因此学生很难自己去推断。当前课堂上的教学素材大多与学生的生活经验缺乏联系。因此，学生的数学猜想缺乏依据。没有可靠证据支撑的猜想只会是毫无根据的空洞想法，毫无意义。

2.猜想缺乏驱动的核心问题

数学课堂要想引起学生认知冲突，数学教材应该设置各种有挑战性的活动。在当前的数学课堂中，教师应当以培养学生的认知基础为根本，引导学生探索知识，激起他们探索的兴趣。然而，由于当前教材编排的情境内容不够丰富，学生的思维受到了限制，因此教师在引导和启发学生思考时，往往只能停留在对教材的基本要求上。这样，自然就限制了学生猜测和验证的思维空间，不利于数学思维的发展。

3.猜想不能抓住问题本质

皮亚杰认知发展阶段论指出，小学阶段的儿童尚未能够完全理解事物之间的相互联系，他们的思维受到自身已有经验的限制，仍然以直观形象为主，而且这些形象事物是他们思考的基础。例如，在学习抽象的规律探索类知识时，教学模式大多以教师直接讲授为主，教师在课堂上干预得多，探索过程相对琐碎。大多数学生学完这类知识后不久就忘记了，努力回忆却不能准确再现。究其原因，学生是被动地、机械地学习，并不理解规律背后的道理。因此，学生不能抓住问题的本质进行猜想。

4.猜想淡化规律的探究过程

在当前的小学数学猜想课堂中，教师往往会过于注重对基础知识的讲授，忽视学生对结论和规律的理解。这样的课堂变成了授受式的，学生只是被动地接受知识，这种情况导致学生在学习过程中缺乏探究精神，无法充分利用时间和空间进行观察、试验、猜想和证明等数学活动。因此，教师应该更加重视学生的探究能力，并给予他们足够的时间和空间来完成这些数学活动。学习数学不仅仅是记住一些规律和结论，更重要的是要深入理解数学思想方法，积累丰富的实践经验，以便更好地掌握数学知识。因此，课堂教学不能忽略探究规律的过程，更应该科学地凸显数学内在逻辑。

猜想是学习中最具创造力的一环，它可以启发学生的智慧，让他们在解题过程中勇于探索、大胆猜想，并且积极求证，从而使思维朝着更深层次的方向发展。因此，教师应该采取有效措施，改进教学方式，让学生在解题过程中更加自信、勇敢地探索，从而提高学习效果。

四、“猜想—验证”的教学策略

1.优选研究素材，开启发现之窗

在实际教学中，一些教师只是通过举例来验证结论，这使得学生无法有效地思考并有根据地解释这些结论，从而导致他们的思维没有得到锻炼。那么，什么样的素材能更好地激发学生进一步探索特征背后的规律？什么样的研究素材更能引导学生通过猜想、验证、质疑等思维方式开展研究？

比如教学“3的倍数的特征”时，笔者在否定了“判断一个数是不是3的倍数，只看个位上的数”的猜想之后，组织学生研究第二种猜想“是不是要看各个数位上的数字之和”。同时根据学生“多找一些3的倍数来研究”的意见，笔者对教材上的百数表（如图1）进行改编，推出如图2所示的百数表。

笔者引导学生从改编的百数表中找出3的倍数，观察表中3的倍数的排列情况并说出自己的发现。学生发现3的倍数都排成了斜线；每条斜线上相邻的两个数都相差9；从上往下看，每条斜线上的数，个位上的数依次减1，十位上的数依次加1；每条斜线上的数，个位上的数与十位上的数相加的和都是3的倍数。学生由此提出猜想：“一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。”接着笔者组织学生在更大范围内验证猜想。

教材在编排“3的倍数的特征”这一内容时，设计了百数表作为研究素材，组织学生在百数表中圈3的倍数，再通过观察、比较、交流等活动，找出3的倍数的特征。笔者在教学实践中发现，虽然3的倍数在教材的百数表上也排成了斜线，但由于整十数都在最右边一列，导致有的斜线上各位上的数相加之和不全相等。为了便于学生归纳3的倍数的特征，笔者让整十数在表格最左侧，这样规律更明显，学生更容易从某一类现象中找出一些相同的特征，从而得出与特征相适应的结论。因此，选择适合的研究素材是必不可少的，而对学生来说，优秀的研究素材更能帮助他们打开发现之窗。

2.问题驱动，起疑思理

优秀研究素材的呈现更容易凸显数学知识背后的规律，打开学生的探究之窗。探究之窗打开后，还需好问题驱动，好问题更能引发学生猜想，让学生思考结论背后的道理。问题能够激发学生的思考和深度学习。比如教学“积的变化规律”时，笔者首先出示20×3，接下来出示表1，固定第一个乘数20不变，改变另外一个乘数，让学生观察思考积的变化情况。

学生通过观察、比较提出猜想：“一个乘数不变，另一个乘数乘几，所得的积等于原来的积乘几。”

笔者再出示表2，转换视角：“如果第二个乘数不变，改变第一个乘数，猜想是否还成立？”

学生独立完成，讨论交流后提出猜想：“一个乘数不变，另一个乘数乘几，所得的积就等于原来的积乘几。”在此基础上，笔者出示表3，用驱动性问题组织学生自主探究进行验证：“我们从20×3这个算式的变与不变中发现了积的变化规律。在其他乘法算式中是不是也存在着同样的规律？这个规律是否具有普遍性？请用表3探究。”

最终学生得出结论：“一个乘数不变，另一个乘数乘几，所得的积等于原来的积乘几。”

学生从上课开始到这个环节结束，说过三次“一个乘数不变，另一个乘数乘几，所得的积等于原来的积乘几”这样的结论，但每次认识的程度都不一样。初说结论，仅仅是初悟规律；第二次说出结论则是在完整感知的基础上提出猜想；第三次是通过探究得出的结论。但仅凭一个例子所得的结论是不可靠的，因此笔者在前面学习的基础上引导学生进行思考，笔者用“是不是在其他的乘法算式中也存在着同样的规律？这个规律有没有普遍性呢？”这组问题带动学生大胆猜想并主动进行举例验证。虽然学生的推理论证并不严密，但举例有利于增强规律的可信度，有利于培养学生理性的精神。

优秀的问题是深入探究的基础，没有这些问题就无法进行更深入的数学研究。学生可以通过学习过的数学知识来探索新的问题，这样就会激发他们的探究欲望，并且促使他们以积极的态度参与到规律探究的活动中来。

3.追本溯源，直面本质内涵

有效的问题能切入学生的最近发展区，激活已知、沟通联系、聚焦困惑，引导学生自主探究知识的本质，阐明其背后的道理。真正的数学学习，是学生能知道知识的来龙去脉，知其然并知其所以然，在学习的过程中领悟数学思想方法，积累数学活动经验。

比如教学“和的奇偶性”时，在自主探索中内化规律这一环节，笔者首先请学生分别观察黑板上的两组算式：奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，奇数+奇数=偶数。学生提出疑问：“为什么‘奇数+偶数=奇数，偶数+偶数=偶数，奇数+奇数=偶数？为什么和是奇数的情况只有一种，而和是偶数的情况却有两种？”笔者举例进行启发：“人数为偶数的班级中，學生两个两个地坐在一起是什么情况？人数为奇数的班级中，学生两个两个地坐在一起又是什么情况？”学生说出对结论的理解：“因为一个数除以2，余数一定比除数2小，所以没有余数或余数是1，没有余数就代表正好除完没有剩余。”接着笔者出示6个活动小组人数的模型图（如图3），让学生判断每个小组的人数是奇数还是偶数。

在此基础上笔者追问：“如果把①组和④组两个小组的学生合起来，还要求大家两个两个地坐在一起，会是什么样子？”然后引导学生用“加余数”的方法判断，通过这样的直观展示，学生很容易明白和的奇偶性中蕴含的数学道理。

教学过程中教师引导学生将已有的生活经验和数学知识进行结合分析，在活动中层层突破难点，帮助学生慢慢发现其中的规律，通过富有层次性的活动，引导学生一步一步走向深度探究，实现思维进阶、深度建构。

数学教学的本质是思维过程。猜想与验证有助于思维的提升，而有效的教学则是提升学生思维品质的途径。

［ 参 考 文 献 ］

[1] 符梦云.在小学数学课堂中培养学生的猜想验证能力[J].新课程，2020（16）：194.

[2] 李琴.验证让学生的心里有杆“秤”：小学数学教学中学生验证能力培养的误区与对策[J].新课程，2021（32）：142-143.

[3] 潘小福，陈美华. “猜想”应用于教学的问题与对策[J]. 上海教育科研，2016（7）：82-86.

【本文系江苏省中小学教学研究第14期重点自筹课题“基于测试分析的区域性小学数学学业质量提升策略的研究”（2021JYJC14-ZB12）阶段性成果之一。】

（责编 杨偲培）