光晶格中极性分子链的量子纠缠

岳文静,魏 启

（华东师范大学 精密光谱科学与技术国家重点实验室,上海 200241）

0 引言

自Feynman[1]提出量子计算的概念之后,无论是在实验上还是理论上,量子计算都得到了广泛的关注,并逐渐成为今天的研究热点.与传统计算机的计算模式不同,量子计算是基于量子叠加态和量子纠缠态的一种新型计算模式,可以极大地提高计算机的计算效率.目前,量子计算已经在很多不同的物理体系中得到了研究,如离子阱系统[2-4]、量子点系统[5-6]、超导量子器件[7]和核磁共振系统[8-9]等.此外,2002 年耶鲁大学的DeMille 提出的一种在极性分子体系中实现量子计算的理论方法,利用的是处于静电场中的被束缚在一维光晶格中的超冷双原子极性分子,其平行于外电场方向的电偶极矩编码了量子比特,量子比特间通过偶极–偶极相互作用进行耦合,并且通过电场梯度对每个量子比特实现单独寻址[10].这个提议开启了在极性分子体系中实现量子计算的大门.

与原子体系相比,双原子极性分子具有较大的永久偶极矩.一般情况下,原子没有电偶极矩,但在CP 不守恒或时间反演对称性破坏的情况下,原子体系就具有了永久偶极矩.然而原子体系的永久偶极矩非常小,如汞(Hg)原子[11]、铯(Cs)原子[12]和氙(Xe)原子[13]的永久偶极矩分别为5.0×10-20D、8.6×10-16D 和 1.4×10-18D(德拜,1 D=3.335×10-30C·m).极性分子的永久偶极矩可达到几个德拜,如NaCl[14]、KCs[15]和SrO[16]分子的永久偶极矩分别为 9.002 D、1.920 D 和 8.900 D,平均约为原子体系永久偶极矩的 1 018倍.极性分子如此大的永久偶极矩使其更易被外场操纵.此外,极性分子具有更多的内部自由度,其能级结构不仅包括电子能级,还包括振动能级和转动能级;在外电场作用下,其分子轴还可在电场方向的一定角度范围内振荡,形成摆动态.这些因素使极性分子可以编码更多的量子比特.除此之外,近年来在制备、冷却和操控极性分子领域也有显著的成效[17-20].因此,被束缚在光晶格中的超冷双原子极性分子被认为是一个能够有效实现量子计算的物理平台[21-35].

量子纠缠的概念最早是由Schrödinger[36]提出,其反映的是量子态的不可分性.自量子纠缠提出以来,无论是在原子、光子还是固体材料系统中,量子纠缠都一直受到广泛的关注与探索[37-40].纠缠现象是指两个或多个子系统通过直接或间接的相互作用连接在一起的现象,这一现象是量子物理区别于经典物理的最独特之处,也是量子计算算法的重要组成部分.随着对量子纠缠的不断研究,人们提出了各种不同的度量纠缠的方法,如部分熵纠缠度[41]、共生纠缠度[42-44]、负性熵纠缠度[45]、相对熵纠缠度[46]和全局纠缠度[47-48]等.此外,近年来极性分子体系中的量子纠缠也得到了一定的研究.Wei 等[24]首先以双原子极性分子在外电场中形成的摆动态|00〉和|10〉作为量子比特,研究了两个双原子极性分子摆动态的共生纠缠度,重点分析了共生纠缠度对与分子偶极矩、电场强度、分子转动常数、分子间距离和温度有关的物理变量的依赖关系;随后,Wei 等[33]又研究了极性陀螺分子体系本征态的量子纠缠.Liao[34]研究了在施加电场的情况下二维极性分子体系中的纠缠特性.Zhang 等[35]以极性陀螺分子在外电场中形成的摆动态|1,1,0〉和|2,1,0〉作为量子比特,研究了两个极性陀螺分子通过偶极–偶极相互作用所导致的量子纠缠、量子关联和相干性问题.

本文基于超冷双原子极性分子在外加电场中分子轴绕电场方向、在一定角度范围内振荡而形成的摆动态,研究了呈线性排列的极性分子阵列的量子纠缠.与Wei 等[33]的先前工作相比,本文不仅考虑了两体系统的相邻纠缠,还考虑了多体系统的远距离纠缠,分析了多体系统全局纠缠度对不同物理变量的依赖关系,这对实验上实现极性分子体系纠缠态具有一定的理论意义.

本文后续结构: 首先详细介绍光晶格中极性分子阵列的哈密顿量;然后分别介绍纠缠度量的方法,给出极性分子多体系统共生纠缠度、全局纠缠度与电场强度、分子电偶极矩、分子转动常数、偶极–偶极相互作用及温度等相关的物理变量之间的数值计算结果;最后对本文所得结论进行总结.

1 光晶格中极性分子阵列的哈密顿量

在外电场作用下,被囚禁在光晶格中的单个双原子极性分子的哈密顿量(H) 为[24]

在光晶格中,当处于超低温环境中时,极性分子的平动非常缓慢,接近于简谐振动,因此,几乎是一个常数,可以忽略不计;而转动动能和相互作用势能仍然是存在的.此时,如图1 所示,取分子中心轴与外电场方向夹角为θ,哈密顿量(Hs) 形式为

图1 外电场中2 个双原子极性分子的构型Fig.1 The configuration of two diatomic polar molecules in an external electric field

图2 在不同的 µ ε/B 取值下,双原子极性分子的Stark 本征能量Fig.2 Stark state eigenenergies of the polar diatomic molecules for different µ ε/B values

其中aj和bj是与转动量子数j有关的球谐函数的叠加系数.

图3 给出了量子比特|0〉和|1〉中,球谐函数对应的系数(aj,bj)随µε/B的变化情况: 当µε/B=0时,即不存在外电场,量子比特|0〉和|1〉分别是球谐函数的纯转动态;随着µε/B的增大,越来越多的具有相同磁量子数M但角量子数J不同的球谐函数混入,同时最初占主导地位的球谐函数所占份量相应减小,其他球谐函数所占份量逐渐增大.

图3 量子比特态 | 0〉 和 | 1〉 中,球谐函数对应的系数 aj、bj 与 µ ε/B 的变化关系Fig.3 The relationship between the coefficients corresponding to spherical harmonic function,aj and bj,andµε/B for each of the qubit basis states,|0〉 and|1〉

对于N个相同的且呈线性等距r12排列的极性分子系统而言,其哈密顿量除了每一个分子的转动动能和Stark 相互作用势能外,还存在任意两分子间的偶极–偶极相互作用

因此,在外电场作用下,被囚禁在光晶格中的N个相同的极性分子的哈密顿量(Htotal) 为

以N=2 为例,在2 个双原子极性分子摆动态组成的基矢{|00〉,|01〉,|10〉,|11〉}下,哈密顿量的矩阵形式可表示为

式(7)中:E0和E1是量子比特|0〉和|1〉的本征能量;I1和I2均为 2×2 的 单位矩阵;C0、CX和C1的表达式分别为

其中,C0和C1分别是在量子比特|0〉和|1〉中 c osθ的期望值,表示极性分子的取向,即场致偶极矩,CX表示|0〉和|1〉之间的跃迁偶极矩.

图4 给出了随着µε/B的增大,C0、C1和CX取值的变化情况.由图4 可看出,随着µε/B的增大,C0从0 开始逐渐增大,CX逐渐减小,C1在µε/B ＜2 时是负值,在µε/B=4.9 时约等于0,之后逐渐增大.

图4 场致偶极矩 C0、C1 和跃迁偶极矩 CX 的取值随 µ ε/B 变化的示意图Fig.4 Schematic diagram showing the relationship between values of molecular orientation,C0 and C1,and the transition dipole moment,CX ,withµε/B

2 光晶格中极性分子摆动态的纠缠

2.1 纠缠的度量

对量子系统进行纠缠度量的方法有很多种.本文采用共生纠缠度(concurrence)、全局纠缠度(global entanglement)的方法对被囚禁在光晶格中的极性分子阵列进行纠缠度的衡量.

1) 共生纠缠度

Wootters[43]证明了对于两量子比特的一般本征态而言,纠缠度(E(ρ)) 可以用共生纠缠度(C(ρ)) 量化,它们的关系式可以写为

其中h(x)=-xlog2x-(1-x)log2(1-x),当C在0～1 之间变化时,ξ(C) 也在0～1 之间单调递增;C(ρ)的表达式为

这里λi(i=1,2,3,4) 是非Hermite 共轭算符

按降序排列的本征值,其中,ρ表示系统的密度矩阵,σy是泡利(Pauli)算符.

为了计算热平衡状态下极性分子摆动态的热纠缠,本文引入与温度有关的密度矩阵,其表达式为

式(13)中:β=(1/kB)T,其中kB是玻尔兹曼常数;其 中,Ei是 第i个本征值,gi是它的简并度.因此,密度矩阵ρ可表示为

其中|ψi〉是第i个本征函数.从密度矩阵ρ(T) 中可以得到任意两个极性分子体系的约化密度矩阵,从而得出任意温度下的共生纠缠度.

2) 全局纠缠度

对于衡量多体量子系统的全局纠缠,起初Vedral 等[41]提出用测度函数Q来衡量,之后Brennen[48]给出了其具体表达式

其中ρi为子系统i的约化密度矩阵.通过式(15),可以得到多体量子系统的全局纠缠度.

2.2 线性极性分子阵列摆动态的纠缠度

将N个极性分子组成的一维分子链作为量子系统,其示意图如图5 所示,其中,外电场与分子阵列轴的夹角为α=π/2 .图5 分别评估了该系统纠缠、分子数N与3 个无量纲变量:µε/B、Ω/B、kT/B之间的关系.为了简化问题,假设所有的跃迁频率都相同,即 ΔEi=ΔE=E1-E0,忽略因单独寻址分子而引起的微小变化.

图5 N 个极性分子组成的一维分子链示意图Fig.5 Schematic diagram of a one-dimensional molecular chain consisting of N polar molecules

图6 展示了在µε/B=1,kT/B=10-4,0.4,0.6,0.8 时,分子数N=2,3,···,8 的一维分子链系统共生纠缠度C12随Ω/B的变化情况.比较图6 的4 个图可以得出,当给定µε/B和kT/B的大小时,随着Ω/B的增大,N=2 的系统纠缠度逐渐增大且越来越明显地高于其他更大的系统,N>2 的系统纠缠度在Ω/B的一定范围内基本保持一致;当kT/B增大时,只有Ω/B达到一定值,系统才会出现纠缠现象,且这一临界值随着kT/B的增大而增大.除此之外,还发现,当Ω/B较大且温度较高时,在系统中添加第三个极性分子,C12会发生显著变化,但再添加更多的极性分子时,C12不再发生很大的变化.

图6 N 个分子组成的一维分子链系统共生纠缠度 C12 在不同温度下随 Ω/B 的变化Fig.6 The relationship between the pairwise concurrence C12 of a one-dimensional molecular chain system consisting of N molecules and Ω/B,at different temperatures

图7 展示了在不同的温度下,分子数N=2,3,···,7 时一维分子链系统的共生纠缠度C12随µε/B的变化情况.比较图7 的4 个图可以看出,当分子数N从3 增加到7 时,C12几乎没有变化,即分子数对系统纠缠度的影响并不大;在较低温度下,即kT/B ＜0.4 时,C12在弱电场下取值较大且随着µε/B的增大而减小;在温度较高下,即kT/B=0.6 时,C12最大值出现在特定的外电场强度下;当温度更高时,即kT/B >0.8 时,只有当外电场强度大于某一临界值时,C12才不为0,这时就需要更强的外电场来达到最大纠缠.

图7 N 个分子组成的一维分子链系统共生纠缠度 C12 在不同温度下随 µ ε/B 的变化Fig.7 The relationship between the pairwise concurrence C12 of a one-dimensional molecular chain system consisting of N molecules and µ ε/B,at different temperatures

图8 展示了N=8 的一维分子链系统共生纠缠度C12在不同取值的µε/B和Ω/B下随kT/B的变化情况.比较图8 的4 个图可以看出,当kT/B ＜0.4 时,C12几乎是温度的常函数,即量子系统的纠缠度不变;当温度升高时,C12=0,即系统不再存在纠缠现象.出现这种现象的主要原因是基态与第一激发态之间的能隙大约处于这个数量级,当温度较低时,热密度矩阵主要由基态组成,很难填充激发态;然而,当温度升高时,基态会与激发态混合,进而纠缠被消除.

图8 N=8 的一维分子链系统共生纠缠度 C12 在不同的 µ ε/B 和 Ω/B 取值下随 k T/B 的变化Fig.8 The relationship between the pairwise concurrence C12 of a one-dimensional molecular chain system and kT/B,for different values of Ω/B ,µε/B

图9 展示了N=8 的一维分子链系统中第一个分子与其他分子构成的摆动态的共生纠缠度在不同温度下随µε/B的变化情况.比较图9 的4 个图可以看出,无论µε/B和kT/B取多大的值,C12始终大于C13、C14等其他远距离纠缠的共生纠缠度,也就是说近邻纠缠总是占主导地位的.当kT/B的值增大时,只有在µε/B达到一定值之后才会出现远距离纠缠,且分子间距离越远,对µε/B这一值的要求就越大,同时这一临界值随着kT/B的增大而增大.由此可得,当Ω/B取值固定,即分子间距离不变时,低温下的弱电场和高温下的强电场有利于最大纠缠的出现,且远距离纠缠出现在强电场中.

图9 N=8 的一维分子链系统中第一个分子与其他任意分子构成的摆动态的共生纠缠度在不同温度下随 µ ε/B 的变化Fig.9 The relationship between the pairwise concurrence of pendular states formed by the first molecule and any other molecule in a one-dimensional chain system of N=8 and µ ε/B at different temperatures

图10 给出了N=2,3,···,8 的一维分子链系统在不同的Ω/B的取值下全局纠缠度与µε/B的函数关系.由图10 可以看出,偶极–偶极耦合常数Ω/B从0.1 增大到1 的过程中,系统的全局纠缠度在不断增大;随着µε/B的增大,全局纠缠度在逐渐减小至0;当Ω/B和系统分子数的取值越大时,即对于分子间间距小的大系统而言,全局纠缠度越大;但是当系统中包含越来越多的分子时,全局纠缠会很快收敛,比如当把分子数从N=2 增加到N=3 时,全局纠缠度有很大的不同,然而当从N=7 增加到N=8 时,几乎没有变化.

图10 N 个分子组成的一维分子链系统在不同的 Ω/B 的取值下全局纠缠度随 µ ε/B 的变化关系Fig.10 The relationship between global entanglement and µ ε/B for a one-dimensional molecular chain system consisting of N molecules

图11 给出了N=2,3,···,8 的一维分子链系统在不同的µε/B的取值下全局纠缠度随Ω/B的变化情况.由图11 可以看出,分子数为奇数和偶数的系统的全局纠缠度随Ω/B的变化曲线呈现不同的趋势,尤其是在µε/B取较小值时.对于分子数为偶数的系统而言,无论µε/B取多大值,全局纠缠度在Ω/B=0～4 范围内总是随着µε/B的增大而增大;而对于分子数为奇数的系统,当µε/B取1 和2 时,在大约Ω/B=3.5 处全局纠缠开始减小,当µε/B=3,4.9 时,全局纠缠开始减小的临界值将在Ω/B=4的范围之外.

图11 N 个分子组成的一维分子链系统中在不同的 µ ε/B 的取值下全局纠缠度随 Ω/B 的变化关系Fig.11 The relationship between global entanglement and Ω/B for a one-dimensional molecular chain system consisting of N molecules,with different values ofµε/B

图12 给出了在不同µε/B和Ω/B取值下,一维分子链系统的全局纠缠度随分子数N的变化情况.比较图12 的4 个图可以看出,系统全局纠缠度与分子数N之间的关系依赖于µε/B和Ω/B的大小:当Ω/B取值较小时,一维分子链系统的全局纠缠度随分子数N的增大而增大;然而当Ω/B取值较大时,系统全局纠缠度的大小会受分子数N是奇数还是偶数的影响,且这种影响会随着µε/B的增大而变得不再明显.

图12 一维分子链系统在不同的 µ ε/B 和 Ω/B 取值下全局纠缠度随分子数 N 的变化关系Fig.12 Global entanglement as a function of molecular number N for one-dimensional molecular chain systems with different values of Ω/B andµε/B

3 结论

本文基于双原子极性分子在外加电场中形成的摆动态,研究了热平衡状态下一维分子链系统的纠缠,数值分析了系统共生纠缠度和全局纠缠度和与电场强度、分子电偶极矩、分子转动常数、偶极-偶极相互作用和温度等有关的3 个无量纲变量之间的关系.研究发现,相邻纠缠始终占主导地位,能够在比远距离纠缠更高的温度下存活;即使激发态是高度纠缠的,热纠缠度也不会超过基态纠缠度,然而,由于热填充激发态的困难,热纠缠可以在相当大的温度范围内保持与基态纠缠相同;若获得较大的纠缠,则需要一个弱电场;若获得高温纠缠,则需要一个强电场.此外,对于全局纠缠,在分子间距较大的系统中分子数越多,全局纠缠度越大,在分子间距较小的系统中分子数为偶数时,全局纠缠度更大.