还原法在小学数学解题教学中的运用

☉周凤仙

还原法是以新数为基础，按运算顺序倒推回去，解出原数，这种方法也被称为逆推法。在小学数学解题教学中，采用还原法进行训练，能够帮助学生在潜移默化中提高自身的解题能力和逻辑思维能力，对学生日后成长发展大有裨益。因此，教师应及时转变自身教育理念，重视还原法在小学数学解题教学中的渗透，帮助学生梳理解题思路，在解题中感受数学的魅力，探寻数学知识的潜在规律，实现他们核心素养的生成与发展。

一、还原法阐述

数学还原法是一种利用数学规则和方法，通过已知问题逆向推导求出答案的便捷计算方法。通俗而言，还原法就是在知道一个数的变化过程和最后的结果后，运用逆向思维，解答还原问题，求得原来的数。例如：小明、小红、小丽三个人各有一些漫画书，小明给小红三本，小红给小丽五本，此时三个人的本数同样多。求：小红原来比小丽多几本漫画书？在这道问题中，包含了多个主语，而且数量发生了一定的变化。要想解决这一问题，应该考虑对两个对象分别进行倒推，从而求出数值。倘若按照常规方法计算，此类问题需耗费较长时间，且容易使学生陷入思维误区，被题目中的各项信息所干扰。因而，还原法这种通过已知条件，从后向前推算出结果的解题方法，能够帮助学生利用互逆关系轻松突破重点难点，快速求得答案［1］。

二、还原法在小学数学解题教学中的运用策略

通过对还原法的解读可知，还原即为逆向推理，在实际解题教学中如何渗透还原法已成为广大教师所共同关注的一个问题。笔者结合多年实践教学经验，对还原法在小学数学解题教学中的运用进行总结，并提出合理化建议，以供广大教师借鉴参考。

（一）单个对象，循序渐进

“单个”即为一个、单一。此类问题是还原法解题中的基础性问题，题干中有且只有一个主语，且数量不变，最终所求的对象还是这个主语的总量。在面对此部分题目时，教师应遵循循序渐进的原则，指导学生解读关键题目信息，理清思路，而后再运用还原法解决问题［2］。

以苏教版六年级上册《分数乘法》课题为例，有典型题目：文具店老板采购了一批文具，第一次老板将文具总数的1/2 出售给客户，客户使用后觉得产品质量很好，又在老板处购买了剩下文具的1/2 和另外的二十套，第三次，老板将剩余文具的1/2 少了5 套卖给另一名顾客，此时文具店还剩余30 套文具，求文具店老板一共采购多少套文具？面对这一问题，许多学生被购买的数量以及购买次数等复杂的线索困扰，理不清头绪。在还原法的指导下，教师可以按照分析主语—列举流程—绘制流程图—逆向倒推的步骤进行解题讲解。

1.分析主语

教师带领学生朗读题目线索，并提出问题：“同学们，这道问题让我们求的是什么？”在问题的指引下，学生细致阅读题目信息，通过线索1：文具店采购一批文具；线索2：第一次出售；线索3：第二次出售；线索4：第三次出售，分析并整理出主语线索。总结：问题求“文具总数”，且此道问题主语应为“文具”，其中数量与采购人员不论如何变化，最终所求总量仍旧不变。

2.列举流程

在主语分析明确后，学生已经掌握了本道题目的大致方向。为使学生能够解决这一问题，并梳理思路，教师应带领大家反复咀嚼题干内容，以谈话的方式分析整道题目的流程。第一步：确定事件，即为文具店老板采购一批文具。第二步：整理线索，题中分别阐述了文具店老板三次出售文具的经过。第一次，老板出售了总数的1/2，第二次出售第一次剩余总数的1/2 又多20 套，第三次又将第二次剩余总数的1/2 少5 套出售。在流程列举完毕后，学生心中已经有了大体的计算步骤。

3.绘制流程图

“数形结合”顾名思义是在数学问题的基础上采用数学图形的模式进行解析，使数学问题变得更加简单的一种学习方法。在流程列举完毕后，为帮助学生梳理思路，教师可以运用数形结合的方法，带领学生绘制流程图，为后续还原解题做好准备：

上述流程图中浅色箭头表示常规计算流程，深色箭头则表示根据已知结果和变化量进行逆向倒推的步骤。

4.逆向倒推

在流程图绘制完毕后，许多学生无法理解为何要将符号进行转换。这时教师应有意识地指导学生进行思考，从前向后进行计算即为传统流程，但从后向前推导意为将传统计算流程翻转，所以变加为减、变减为加、变除为乘。最后，通过计算得出文具总数量为280 套。

如上，面对单个对象题目时，教师应遵循循序渐进的原则，有意识地指导学生按照具体步骤进行解析，从而掌握还原法的核心，提高自身解题效率。

（二）多个对象，明确关系

区别于单个对象，多个对象代指题目中的主语同时发生变化，并且总量较多，所求对象也不止一个。此类题目具有一定的难度，涉及多个量之间的关系，因而教师需要做的是，首先引导学生明确各变量之间的关系，从而梳理思路，完成还原计算。

以苏教版六年级上册《分数除法》课题为例，有典型例题如下：有甲、乙两桶油，从甲桶倒出1/3 给乙桶后，又从乙桶中倒出了1/5 给甲桶，这时两个桶中的油各有24 千克，求原来甲、乙两桶中各有多少千克的油？面对此类问题时，教师首先带领学生仿照单个对象题目的计算思路，梳理题目线索，并找到关键主语。通过观察已知本道题目中的主语为甲、乙两桶油，最终求这两个桶中原有油的质量。这种多个对象的还原应用题涉及多个量之间的关系，教师应基于学生的思维能力，带领其共同梳理还原步骤。

共有48kg甲桶现有24kg向乙桶倒油后还剩：48-30 ＝18kg也就是向乙桶倒油后的量1－images/BZ_51_1451_2511_1481_2598.png＝images/BZ_51_1525_2513_1555_2598.png→向乙桶倒油前的油量：18÷images/BZ_51_1939_2513_1968_2598.png＝27（kg）↑↓乙桶现有24kg也就是向甲桶倒油前的1－images/BZ_51_446_2821_471_2904.png＝images/BZ_51_516_2819_544_2904.png→倒油前的油量：24÷images/BZ_51_1150_2784_1178_2868.png＝30（kg）原来的油量：48－27 ＝21（kg）

通过步骤的还原，教师应指导学生明确此类题目的解法应遵循：求的是原来的数量，那么现在的数量必须要还原，即“得到的必须减去，失去的必须加上”这一原则。在教师的指引下，学生能够快速掌握多个对象的还原解题方法，切实提高自身解题能力。通过经典例题的引入，能够促使学生效仿在例题讲解中教师所提供的思路，在明确各变量之间的关系后，利用还原法进行计算求解，得出答案。

如上，面对较为困难的多个对象还原求解，教师应首先指导学生明确各数量之间的关系，其次利用还原法进行计算，转换思考角度，找到新的思路和方法，突破传统思维模式的桎梏，逐渐形成属于自己的解题思路。

（三）定变结合，确定核心

“不同对象”即为应用题中的主语不止一个。当题目中的多个对象既有定量又有变量时，许多学生就会无从下手，不知如何应对。这时，教师应以“核心”为抓手，引导学生通过细致观察阅读，找出题目中的定量与变量关系，使得问题解决的思路更加有章可循。

以苏教版六年级上册《分数除法》课题为例，有经典例题如下：王师傅装配件，经过测量知道零件和箱子共重102 千克，上午小刘取走了1/2 零件，下午小张又取走了剩下零件的1/2，最后零件和箱子的重量是27 千克，请求出这箱零件最初的重量。结合此题目，教师首先带领学生共同阅读题目信息，并思考主语是谁。在问题的引导下，学生给出题目中“零件”是主语这一回答。根据大家所给出的答案，教师再次为学生读题，强调零件以及箱子的重量，并使学生确定核心主语。接下来，利用还原法解决此题，教师应进一步地梳理题目中“定量”与“变量”的相关信息，分析并总结：零件的重量属于变量，而箱子的重量不变，属于定量。在教师的引导下，学生已经理清了此道题目的重点与核心，并尝试根据还原法做出如下推测：目前已知箱子与零件的重量为102 千克，由于箱子的重量是不变的，因此，重量的变化是由已经拿走的零件所引起的，回推102－27 ＝75，即代表零件被拿走了75 千克，由题意可知75 千克为零件总数量的3/4，因此得出原有零件数量为100 千克，则箱子的重量为2 千克。

如上，通过核心因素的确定，能够帮助学生掌握、挖掘题目中所蕴含的隐藏信息的技巧，更好地应对定量与变量结合的复杂题目。与此同时为防止大家在计算过程中出现失误，教师也可以在实际教学中为学生普及示意图的绘制方法，引导学生通过更加直观的形式表达定量与变量之间的联系，实现逆向思维的形成与发展。

（四）还原推导，验证答案

德国物理学家劳厄曾说过：“教育重要的不是获得知识，而是发展思维能力，教育无非是将一切已学过的东西都遗忘时所剩下来的东西。”还原法在解题过程中是需要利用已知条件进行逆向推理，当学生利用还原法得出结果后，教师应有意识地引导学生再次利用还原法对所求答案进行验证，检验自己在还原计算中是否存在疏漏，进而逐渐形成良好的反思与检查习惯［3］。

以苏教版六年级上册《解决问题的策略》课题为例，有经典例题如下：小红、小丽、小刚三个人共有人民币168 元，第一次小红拿出与小丽同样的钱数给小丽，第二次，小丽拿出与小刚相同的钱数给小刚，第三次，小刚拿出这时与小红相同的钱数给小红。这时三人的钱数恰好相等，原先小红比小丽多多少元？当学生求出答案为28 元后，教师指导学生根据答案进行还原推导：最后每人的钱数是：168÷3 ＝56（元），第二次拿完之后，小红有：56÷2 ＝28（元）、小刚有：56 ＋28 ＝84（元）、小丽有：56 元；第一次拿完之后，小刚有：84÷2 ＝42（元）、小丽有：56 ＋42 ＝98（元）、小红有：28 元；则原来小丽有：98÷2 ＝49（元）。即采用还原法进行倒推，检验最终结果。

如上，通过还原推导的手段，能够进一步培养学生的逆向推理思维，在对答案进行验证的过程中进一步巩固所学知识，提高自身计算质量。

综上所述，还原法是培养学生解题能力、提高学生发散性思维以及逆向推理思维的重要手段，在小学数学解题教学过程中，教师应注重还原法的渗透，帮助学生掌握还原技巧，在数学学习中收获良好体验，在潜移默化中实现核心素养的提升与发展。