RN 中一类非局部问题基态解的存在性

董安祺 魏公明

摘要：利用变分方法研究了一类RN上带有非局部项的分数阶椭圆型偏微分方程基态解的存在性。 首先证明了对应泛函在 Nehari 流形上强制且下有界， 因而得到有界极小化序列的存在性，其次应  用 Ekeland 变分原理证明该序列是（PS ）c序列，并且结合假设条件证明泛函满足（PS ）c条件，最终得  到该类方程基态解的存在性。

关键词： Kirchhoff 方程；分数阶算子；基态解

中图分类号：  O 175.29             文献标志码：   A

Existence of ground state solutions for a class of nonlocal problem in RN

DONG Anqi， WEI Gongming

（College of Science， University of Shanghai for Science and Technology， Shanghai 200093， China）

Abstract： The existence of ground state solutions for a class of fractional elliptic partial differential equations with nonlocal terms by variational methods was investigated. Firstly， it was shown that the functional was coercive and bounded from below Nehari manifold， and thus there existed a sequence of bounded miniaturization. Secondly， it was proved that the sequence was a （PS ）c  sequence by Ekeland's principle. In addition， the functional was proved to satisfy the （PS ）c  condition in combination with the assumptions. Finally， the existence of the base state solution of this class of problems was obtained.

Keywords： Kirchhoff equation;fractional operator; ground state solution

1 问题的提出

考虑如下非局部问题基态解的存在性：

式中，a >0， 0< s <1， 2s < N， V （x）=1+ f （x） ， 2< p <2s（?）= ， N >3， ε>0，且ε充分小。

式中， u ∈ C0（∞）（RN）， Br（x）：={y ∈ RN ：|x?y|< r}。

更多分数阶算子的基础知识和应用见文献[1-3]。方程（1）与如下研究弦或膜振动的方程相关，即

式中： L表示弦的长度； h表示截面面积； E为材料的杨氏模量；ρ为密度； P0为初始张力； u = u（x， t），表示在空间坐标 x和时间坐标 t上的横向位移。

方程（2）由 Kirchhoff[4]首次提出，作为经典的 DAlembert 波动方程的一个推广，主要研究弹性弦的自由振动。 Kirchhoff 模型考虑了由振动引起的弦长变化。自 Lions在文献[5]中对方程（2）的研究引入变分法之后，变分法逐渐被人们广泛应用于方程（1）的研究中。

Kirchhoff 類型方程

在过去几十年被广泛研究，这里a， b都是正常数。由于项1RN |Δu|2 dx的出现使得方程（3）变成了非局部方程，这也表明了方程（3）不再是在逐点意义下成立。

早期 Tolksdorf[6]和 Poho?aev[7]对 Kirchhoff 方程进行了初步的研究。 Lions 在文献[5]中开始引入变分法研究解的存在性后，方程（2）引起了许多学者的关注。他们的主要目的是通过变分法证明基态解的存在性，见文献[8-13]。

文献[14]考虑了非局部方程

基态解的存在性和集中性，其中， a >0， 2< p <2*， N >3， λ>0， ε>0且充分小。

近几年，分数阶 Kirchhoff 类型方程

也被广泛研究，如文献[15-16]。其中， M， V ，f 满足一些合适的假设。

例如，文献[17]讨论了非线性分数阶 Kirchhoff方程

式中： se ， 1）； a， b， λ为正常数； V （x）为非负连续函数，证明了正解的存在性和渐近性。

文献[18]考虑了如下非线性分数阶 Kirchhoff 方程：（ε2sa+ε4s-3b lR3 I（-Δ I2 dx）（-Δ）su+V （x）u=f （u） ， x e R3式中，ε>0， se ， 1） ， a， b为正常数，并且V（x）>0，f （u）在（-凯，0）上为0，在（0，凯）递增，利用Ljusternik-Schnirelmann 理论证明了正解的存在性。

文献[19]讨论了如下非线性分数阶 Kirchhoff 方程：

式中，λ， a， b >0， se ， 1） ， 2< p <4， V （x）是非负的连续函数，且存在c >0， V （x）< c有非0的有限测度， f e L凯（R3），并且f?，min = inff （x）>0，应用变分法证明了正解的存在性。

受文献[14，20]启发，本文在 RN中研究方程（1）基态解的存在性，其中函数f （x）和K（x）满足以下假设：

a. f （x） e C （RN ， R） ， f （x）>0；

b.二M0>0， s.t .meas {xeRN ：f （x）

c. K （x）eL凯（RN），K （x）>0，且当|x|y凯时，K（x）y0。如上假设最开始被 Bartsch 等[14]用于研究非线性 Schr?dinger 方程的多重正解。

令

并且赋予范数

显然，由假设 a 和 b，以及 Poincare不等式得到嵌入H yLq（RN）对于2< q <2s（*）是连续的。这保证了如下定义，对Aq e[2， 2s（*）]，有

通过假设 a 和 b，以及上面的嵌入结果，可以在H上定义如下泛函：

并且I e C1（H，R）。众所周知， I 临界点和方程（1）弱解之间一一对应。如果二u e H，使得对Ave H，有

则称u是方程（1）的弱解。

本文的主要结果如下：

定理1 假设f （x）满足假设a ，b，且K（x）满足假设c ，2< p <2s（*），则方程（1）在Hs（RN）中至少有一个非负的基态解u。

2 符号和预备知识

本文中，除非特别说明，所有极限都是ny 凯。此外，还应用下列符号： C ， Ci和C*为正常数； Lq （RN）表示标准的 Lebesgue 空间，范数定义为当1< q<凯时，ⅡuⅡq（q）= lRN |u|qdx，q =凯时，ⅡuⅡ凯=xe（es）RN（sup）|u（x）|；定义H ：={ue Hs （RN）： lRN f （x）u2 dx<+凯}，其范数定义为ⅡuⅡ2=[u]H（2）+ⅡuⅡV（2），其中 [u]H（2）=lR2N |u|x（x一） y（一）||2 dxdy ，ⅡuⅡV（2）= lRN V （x）|u|2 dx；记|u|p（p）= lRN K （x）|u|pdx ； H一s表示 Hilbert 空间 Hs的对偶空间； BR（x）表示在球心x处半径R >0的开球；当 ny 凯时， on（1） y 0； y和?分别表示强收敛和弱收敛。

为了求解方程（1）的基态解，定义 Nehari 流形

其中，

令

引理1 对Aue M ，二δ ， σ>0，使得ⅡuⅡ>δ且

证明对Aue M，由式（4）中 Sq 的定义，当 p=q 时

因为2< p <2s（*），所以存在某个δ>0，使得ⅡuⅡ>δ。

接下来，分两种情况讨论。

当2< p <4时，由u e M和〈I、（u） ，u〉=0有?G、（u） ，u?=

当4< p <2s（*） ， 对u e M有

综上可得，二δ>0使得当2< p <2s（*）时，〈G、（u） ，u〉<

从引理1的证明过程可以看出，对2< p<4的论证稍加修改，对4< p <2s（*）也是成立的。因此，为了简单起见，只讨论前面一种情形，对后面一种的情形也适用。

引理2 泛函 I 在 M 上是强制的并且下有界。

证明由引理1和2< p<4，對?u ∈ M，有

引理3 对任意给定的u ∈ M，存在ρu>0和连续函数 gρu ： Bρu （0）→ R+，对 w ∈ H ，w ∈ Bρu （0），使得gρu （0）=1， gρu （w）（u? w）∈ M，并且

其中，

证明：

对 F 在点 处用隐函数定理，可以推断出 ，满足对 ，方程 有一个 唯一的连续解 。因为对 ， ，有 ，所以，

引理4

证明

引理5 存在一个序列{un}? M，使得 un>0， I （un）→ c，且I′（un）→0。

证明

泰勒展开可得

因此，

这意味着，

因此，

由∥u∥=1、引理3和{un}的有界性可得

又因为，

此外，对于固定的n，因为?I′（un） ， un?=0，并且当ρ→0时在 H中（un? Uρ）→ un ρ→0，可以得出?I′（un） ， u?<，c n通过令式（6）中 ，即I′（un）→0。

3 Palais-Smale 条件

引理6 假设 a ，b ，c 成立，对?c ∈ R ，I 满足（PS ）c条件。

证明由引理5可知，?{un}? M满足I（un）→ c。此外，由引理2可知， I在M上强制，因此，可以得到{un}在 H中有界。不妨设 ，对?n ∈ N，∥un∥

在Ll（r）oc （RN） ， r ∈[2， 2s（?））中

为了证明{un}在 H中强收敛到 u，定义泛函?v（φ）为

对固定的v和任意φ∈ H，很容易验证得到?v（φ）是 H上连续线性泛函，由 H?lder不等式，有|?v（φ）|<∥v∥∥φ∥。

定义对?t >0， M （t）= a?εt ，其中a >0。由于∥un∥< M?， 那么?ε?>0，使得0<ε<ε? ， εM?< a。当n →∞时，有

其中，

由M（t）的连续性和 H 中{un}的有界性，可以推断出[M （[un]H（2））? M（[u]H（2））]是有界的。因此，由方程（7）和?v（φ）的定义，有A2= on（1）。

接下来，证明 A4= on（1）。由假设 c ，?τ>0， ?R >0使得，当x ∈ BR（c）（0）时，|K（x）|<τ。

由τ的任意性、式（7）和{un}的有界性，有A4= on（1）。因此，通过式（8），当n →+∞时，有A1+ A3= on（1）。

下面引入 Simon 不等式[19]，对?ψ，φ∈ RN，有

其中， c为与p有关的一个正常数。

由 Simon不等式和 A1 ， A3的定义可以得到， A1= A3= on（1）。那么，由式（9），A1= on（1），A3= on（1），可以得到

并且

结合式（10）和（11），可以得到，当n →∞时， on（1）。

4 主要结果的证明

现给出定理1的证明。

证明 由引理1和引理2，验证了泛函 I在 M上强制且下有界。因此，应用 Ekeland 变分原理，存在一个有界极小化序列，然后通过引理5，可以证明该极小化序列满足un>0， I （un）→ c， I′（un）→0，即（PS ）c序列。接下来，在引理6中，验证了泛函 I满足（PS ）c條件，得到在 H中 un → u。综上可得， I （u）= c， I′（u）=0，且u >0，为方程（1）的一个弱解。此外，因为I（u）= c = v（i） I （v），所以u是方程（1）的一个基态解。

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（編辑：丁红艺）