高中数学立体几何的解题技巧浅析

聂祥付

摘 要：对于高中生来说，数学是主修课，是非常关键的课程。数学中的立体几何内容是学生学习数学的重点以及难点。这就要求学生具有非常强的数学理论基础、空间想象力和计算能力。学生在大量题型的练习中才能找到关键技巧，以提高数学成绩。同时，在数学试卷中，立体几何的内容占分数比重较大，题型变化也比较难捉摸。如果学生找不到解决立体几何问题的技巧，或者思维逻辑不高，那么立体几何就很难学好。在教学的过程中，高中数学教师需要高度重视对学生立体几何求解能力的培养。

关键词：高中数学；立体几何；解题技巧

对于高中数学立体几何知识，如何找到解决问题的技巧，取得更好的成绩是师生关注的焦点，也是学生高考数学取得好成绩的关键。立体几何题比较抽象，逻辑性强。在解题过程中，要厘清各种图形相互间的关系，依据定义对图形进行划分和选用，再配合适当的解题技巧，借助实践逐步提升学生解决问题的能力。

一、高中数学立体几何解题必备技能

（一）掌握立体几何基础知识

要想成功解决立体几何问题，首先需要具备扎实的立体几何基础知识。高中生对立体几何有一定的接触，如圆柱体、圆锥体、球体、正棱锥等，牢牢记住了这些特殊的公式，可以在解题过程中科学地运用。同时，在高中立体几何解题教学中，学生首先需要增强对这些概念和公式的理解和记忆，这样才能在证明题中写出过程和结论，提升解题效率。学生应当掌握阅读和绘画的技巧，看到一道几何题，要懂得画图，把抽象的立体几何图形简化、直接化，找准解题思路，提升学习效果。

（二）掌握空间想象能力

对于高中生来讲，具备相应的空间想象能力是对立体几何问题进行解决的重要基础，空间想象能力的形成也需要进行不断培养，让学生积极地发挥想象力和空间思维，进行更科学合理的训练。如在生活中看到一棵大树，想象一下树干，必要时闭上眼睛，然后画出大树的树干和树枝，将想象与实物绘画结合起来，逐步形成深刻的想象。此外，教师借助多媒体使静态的立体几何动态起来，辅助学生发展想象力，刺激学生的感官神经，增强学生对动态空间的想象能力。

二、高中立体几何解题技巧教学原则

（一）学生主体原则

在高中立体几何解题技巧的教学中，需要高度重视学生的主体性，充分结合学生的具体情况开展相应的教学工作。要坚持以学生为中心的原则，主要是在教学中以学生为主。在实际教学中，学生作为学习的主体，具备极强的个体性特征，主要表现在学生的智力、经历、学习能力等方面的差异非常明显。在立体几何教学中，教师需要充分结合学生的具体需求，把学生划分成不同的层次，同时，为学生提供不同的学习方法，对立体几何中的问题进行解决，有效提升学生的学习能力。

（二）互动原则

在对立体几何解题技巧进行教学时，教师与学生之间的互动也是非常重要的。数学教师具备非常强的专业知识，是培养学生立体几何解题能力教学活动的重要发起者以及组织者；而学生作为立体几何解题能力中的重要学习者，能力存在一定的欠缺，这就需要具有良好的师生关系。构建良好的互动关系，在互动中帮助学生更好地掌握立体几何解题技巧。

（三）适度原则

一方面，恰当性是指教师讲解的解题技巧要与学生所学的知识统一。学生通过对解题技巧的掌握，进行查缺补漏，对学习效果进行提升；另一方面，教师在对解题技巧进行教学时，要控制好难度，可以更好地促进学生发展。唯有通过这种方式方法，学生才有学习以及进行探索的欲望，提升解题能力。

三、高中立体几何解题错误原因分析

（一）学生心理素质问题

学生心理素质会影响解题效果。高中立体几何知识抽象难度加大，传统教学中，学生在解决问题时过分追求结果和答案的正确性，致使学生不能快速解决问题，心里就会出现波动。随着时间的推移、解题错误频率的增加，部分学生对立体几何形成了恐惧心理，以消极的态度面对学习。

（二）学生学习的基本问题

高中的立体几何知识与初中的知识密切相关。学生数学学习基础的好坏也会影响学生解题正确率的高低。问题解决的本质是检验学生综合运用基础知识能力的过程。当学生在教学时认真学习，掌握教学知识，在解决立体几何问题时就能得心应手，应用新知识的能力也很强。相反，学生大多数情况上课走神，课后不复习，不能按时完成作业，致使解决立体几何问题基本功薄弱，解题正确率大多数情况比较低。有的学生为了配合教师，胡乱套用公式或直接抄答案，这不利于学生立体几何解题思路的培养。

（三）学生思维方式问题

在高中数学教学的过程中，教师要重视学生思维方式以及数学思维方面的培养。当学生有了良好的思维方式时，就能更好地掌握数学知识，有效地将其应用到解决立体几何问题的过程中。数学思维和思想是学科核心素养的重要组成部分，是高中数学教学的重要目标。但在进行教学的过程中，大部分学生受应试教育的影响，习惯于刷题学习，逐步形成机械思维，致使其无法适应这种信息化的教学模式，學生无法运用空间思维，解决立体几何问题时缺乏想象力，无法将所学的理论知识与实践相结合，致使解题错误率高。

四、高中立体几何解题技巧教学优化对策

（一）对图形进行变换，促进学生进行知识转化

数学问题复杂多样，其中有许多问题是相互关联的。从某种角度看来，对一些复杂的新知识，教师引导学生学习简单、熟悉的旧知识，帮助学生更好地思考和探索。作为课堂数学教学的一部分，教师为学生设计立体几何习题，借助这些习题引导学生将新知识与旧知识联系起来，学习如何将复杂的数学知识转化为已知的知识。

例如，在教授直线面所成的角时，教师设计了一道数学题：前面有一张—的三边形桌子，每条边与底面呈45度角，该角的正切由侧面和底部形成。教师提出这个问题后，学生积极思考分析。学生在反思中发现，直接借助课堂上所学的知识很难找到垂直线。教师指导学生把这个形状变换成学生熟悉的形状，把棱柱做成学生熟悉的金字塔，这样学生就能熟练地解决问题。在课堂教学中，教师引导学生从数学经验出发思考数学问题，有效地联系旧知识，对学生解决问题的能力进行提升，让学生积极进行思考。

（二）发散思维，提升空间想象力

在高中，学生从图形学习过渡到现在的3D绘图，这是一个比较显著的变化。这种改变需要一个过程。为了让学生更好地适应，高中生需要结合自己的需求对几何模型进行学习，或者通过进行几何模型的制作，观察几何模型，将几何模型的理论知识充分渗透到高中课本中。在立体几何教学的过程中，教师需要确保解题方式不再局限在书本上的立体几何知识，实现对知识体系的整合，借助整合更准确地解决立体几何问题。解决问题的能力强自然会提高学习效率[1]。另外，可以从书中对想要进行观察的3D图形进行选择，明确相应的几何图形的中点、线、角的关系，这样就结合3D几何图形的题目画出延长线来验证你是在“指南”中获得的知识。在进行立体几何学习的过程中，还需要充分结合自己的情况对学习方式进行选择。在教学的过程中，可以对学生进行空间概念的灌输，对学生的空间想象力进行提升，为立体几何问题的解决提供有利条件。具体来说，借助构建几何模型，从简单的正方形切换到更复杂的模型。借助构建几何模型，学生不仅可以更好地体会到学习的乐趣，还可以更加细致地对中心线与线、面与面的关系进行观察。另外，在学习过程中要注意提升几何图形的绘制能力。更具体地说，在对基本方法和技巧进行了解后，教师需要结合立体几何问题对立体几何图形进行绘画，然后结合题目中给出的图标，解决问题。

（三）掌握转化方法

在引导高中生学习立体几何知识的同时，要合理渗透空间概念。高中生在初次接触立体几何的时候，需要深入分析和梳理问题中的垂直、平行和交叉问题，合理地转化思路，以满足解决问题的需要，借助灵活的思维和变换方法化繁为简。所谓转换法，就是高中生将复杂的立体几何问题转换成简单的平面问题[2]。在解答3D几何题时，借助变换将3D空间的基本元素显示在同一平面上，简化3D形状。借助投影、平移等变换形式，对3D几何的主题进行变换，了解3D几何中一些奇怪、复杂的问题，简化3D几何的解题过程。

（四）优化立体几何教学，培养学生数学技能

数学解题能力的培养，需要进行长期的指导以及训练。也就是在对学生空间思维能力进行培养时，需要渗透到日常教学中。教师要优化立体几何的教学方式，让学生体验学习立体几何的乐趣，学会自主、有意识地感受数学空间的概念。当学生构建完整的数学知识体系后，遇到数学问题和学习简化数学问题时，独立构建相应的空间坐标系。如果有学生数学基础薄弱，还不能构建空间坐标系，教师不宜过分苛责，而应耐心引导和教育，适当降低例题的难度。让数学例子更贴近学生的学习基础，避免出现学习能力停滞不前的情况。立体几何是一门高度抽象的学科，光有理论知识是不够的。教师可以使用多媒体教学、创设故事情境、设计情境等教学模式，同时更直觀地呈现立体几何知识，为学生创造更轻松的学习环境，使学生的思维更丰富。在这个过程中，教师要逐步培养学生解决数学问题的能力，提升学生的综合数学能力。

（五）多练习复习

对于数学这门学科的学习过程来说，数学成绩的提高需要付出更多的努力，这就需要学生在大量的练习和复习中得到锻炼。在实践过程中，学生一定要保证实践过程的高效性和质量，不应该只是为了完成教师布置的作业而做题。在实践过程中要不断总结和反思，探讨问题的解决办法，对学生解决问题的能力进行提升。另外，对于高中生来讲，需要耗费非常多的时间及精力进行数学学习。教师也需要引导学生形成在做完习题后，对错题进行总结的好习惯，把注意力集中在学生做错的题和没有解决的问题上。对掌握的知识点进行回顾、反思和总结，确保在解题过程中提升解决几何问题的能力。在教授数学知识的过程中，数学教师经常会遇到学生各种的解题思路和技巧，有的学生甚至有教师没有想到的思路。这些都是宝贵的经验，帮助学生更轻松地掌握数学知识点。如果学生在做题时没有注意到错误的问题，那么学生通常会在一段时间内忘记所学的知识点，这使得很多实践毫无意义。只有不断地消化和总结，才能将各种知识原理转化为自己的东西，更好地解决数学问题和题型，掌握相应的技能，提升数学成绩。

（六）培养学生的数据分析能力

在实际开展高中立体几何教学过程中，突出教学的思想性十分重要。具体来说，在引导学生结合推理和建模的思路解决具体问题时，采取使用一些基本的教学方法，其中包含数形结合、成立规律等。例如，一个边长为3的立方体，它的顶点在平面内，三边、、都在平面的一侧。如果顶点，到顶点的距离N和顶点M相互间的平面为1，计算顶点M到平面的距离。

在对上述问题进行分析时，教师需要从数学的知识、应用以及推理的过程入手，设计数学知识呈现的基本过程，以促进学生思维的灵活性和探究能力的提升。运用建模思维对上述问题进行分析，可以把问题变换成一个长方体，将相关知识合理地运用到问题的求解中，借助计算，结合几何意义，得到顶点到平面的距离。围绕立体几何教学的基本方法和核心思想，开展相关教学，可以更好地培养学生的数学素养[3]。

（七）借助立体几何模型，增强几何空间的想象力

在立体几何教学过程中，立体模型可以对比较抽象的图形进行转变。学生可以借助三维模型进行相应的观察，加深对知识的理解，特别是课本上的抽象概念、公式和定理。学生需要摆脱传统教学理念的束缚，不能完全依赖、借助多媒体。首先要帮助学生掌握相关知识，如教材中的定理、公式等，然后借助三维模型进行相应的教学。

例如，在“球”相关知识点的教学时，在教学开始前让学生带一个常用的球体进入课堂，然后组织学生进行交流，描述球体的特性；三维模型帮助学生更好地巩固知识，加深对定理和公式的理解；之后，指导学生如何有效地运用这些公式和定理来解决问题。这不仅让学生直观地观察图形，还有助于提升学生参与课堂学习的积极性，也有助于降低学习难度和理解知识的关联性，调动学生更多的积极性。借助书中较为直观的三维模型和图形展示，有助于提升学生想象三维空间和进行物理验证的能力。这样既降低了抽象度，又有助于提升学生想象三维空间的能力、对立体图形的敏感性，使学生逐步形成逻辑思维过程，增强对立体图形的理解。

（八）思维导图的应用

一是在立体几何新课中对思维导图进行应用。良好的新课导入有助于引导学生形成正确的思维方向。新一节课开始前，教师需要考虑的问题很多，如课程是否合理、学生是否对这节课的教学方式感兴趣等，这些都是教师应当考虑的问题，只有当教学方法满足这些要求才能有效改进学生课堂学习的效率和质量。将思维导图应用到立体几何的讲解中，会激发学生的学习兴趣，使学生对这门课的内容产生好奇心。例如，教师在讲解《直线与平面》这节课时，将初中所学的内容进行延伸。一边讲解高中涉及的内容，一边画思维导图，引导学生理解直线和平面的关系，让学生更好地理解教学内容。在新课程的引入中，教师有效地运用思维导图引导学生学习新课程，使学生清楚地了解立体几何相互间的关系，提高课堂效率[4]。

二是思维导图在立体几何实例讲解中的应用。对于数学课堂教学来说，实例的讲解也是非常关键的。教师可以利用例题进行讲解，帮助学生巩固课程知识。借助实例讲解，学生更容易逐步形成自己的解题思路，加深学习印象，掌握课堂内容。在实例讲解中运用思维导图，提升学生对知识点的理解能力，给学生解决问题的正确方向。借助例题的学习，使学生在后续的课后练习中有正确的解题方向，实现学以致用。例如，在学习“判断两个平面是否平行”时，教师在讲解时借助思维导图引导学生的解题思路。这不仅改善学生的知识结构，也提升学生对立体几何的想象力。借助思维导图，学生深刻理解平面与平面间的关系。课后，教师给学生布置任务，让学生画出本课知识点的思维导图。教师一一审阅点评，选出几幅清晰的，让学生在课堂上说明自己的绘画过程和想法。这将巩固学生所学的知识。学生认识到思维导图的重要性，发挥自己的想象力，运用自己的理解，将知识点画成思维导图，有效提升个人的思维能力。

三是思维导图绘制建议。思维导图的绘制也不能想当然，在绘制时一定要注意一些事项。教师要求学生自己画思维导图时，学生要注意颜色要合理，不要太多，以免造成视觉混乱；线条的粗细要结合思维导图的大致结构来确定；直线和曲线的运用要合理，思维导图的整体感受要舒服。绘制思维导图需要发散思维和一定的想象力[5]。学生不能局限于教师的讲解案例，应有自己的想法，发散思维，大膽想象，画出简单明了的知识点结构图。

（九）搭建桥梁，灵活推理

对于一些简单的高中立体几何题，学生只要把概念分析清楚就可以解题，或者简单地加上协助线解题等，但有些几何题不仅需要学生弄清楚其中的概念和意义，还需要挖掘隐藏条件。意味着学生需要寻求新的解题路径，在隐藏条件和结论之间架起桥梁，验证结论，顺利解决问题。在立体几何命题的推理和证明过程中，学生的思路是否流畅、证明是否正确，取决于学生对概念的理解和组织的灵活程度的高低。改造应用使推理过程更加灵活简单，否则，学生的推理思维就会混乱，证明表达的语言会更加语无伦次。可见，学生在解决立体几何问题的过程中，要立足于问题的设置，懂得在众多概念之间进行慎重考虑和灵活组织，直至得以顺利推理，得出结论。

（十）结合故事情境进行教学

故事情境的内容通常是参照结合学科知识的特点来展开的。数学课程立体几何部分的内容具备丰富的历史特色。教师在情境教学中要注意立体几何部分历史资源的挖掘，让学生学习立体几何部分的理论知识，了解历史情境的多样性和趣味性。例如，教师能够引入“蜘蛛与苍蝇”的问题，即在一个长、宽、高分别为11、7、5米的空间中，一只蜘蛛位于其中一面墙上，蜘蛛距离天花板为1米。蜘蛛一定要走多远才能抓住对面墙上的一只苍蝇？这道题最早出现在19世纪的英国新闻媒体上，很有年代感，也能够借助故事情境指导引领学生了解立体几何理论发展的历史。一方面有利于进一步提升学生的学习兴趣，另一方面有利于构建多种多样课堂，深化理论部分的教学讲解。

结束语

总之，数学学习的过程中，对学生的感官能力、解决问题的推理能力和计算能力都有很高的要求。尤其是在中学数学教学过程中，学生对几何知识没有深刻的理解，就很难为数学学习确立明确的方向。在教学过程中，教师需要重视培养学生的空间思维。唯有通过这种方式方法，才能不断优化立体几何解题技巧的教学，全方位培养学生的数学解题能力，确保课堂教学的有效性。

参考文献

[1]令狐玉平.高中数学立体几何解题方法[J].数学学习与研究，2020（10）：89.

[2]袁训春.浅析高中数学立体几何解题思路和方法[J].高考，2019（36）：202.

[3]陈玥汝.高中立体几何解题方法探究[J].文理导航（中旬），2019（11）：21-22.

[4]高超.对高中数学立体几何解题方法的一些总结[J].知识文库，2018（24）：156-157.

[5]何阳.高中数学立体几何几种高效解题方法[J].经贸实践，2018（24）：177.