把握指向数学理解的真实情境特征

2023-07-26曹彬

教学与管理(小学版) 2023年8期

曹彬

摘要：数学理解是数学课程和数学学习的重要目标，真实情境反映了人们在真实生活与工作中的真实挑战，能给予学生更多探索的机会，能高质量地考察学生运用所有知识技能协作解决任务、问题的能力。创设适合具身认知的、饱含丰富情感的、具有复杂任务的、体现社会合作的真实情境，在真实的情境中开展数学学习，可以提升学生的数学理解，有利于学生实现认知与情感的协调统一。

关键词：真实情境数学理解

数学理解是数学课程和数学教学的重要目标。数学理解不是简单的概念记忆或方法重现，而是要利用已有知識和经验从新信息中创生意义，通过分析推理和实践练习获得更深层次的理解，并且能将理解后的知识和技能有效运用到新的情境之中。小学阶段学生的认知发展尚处于具体运算阶段，需要借助于一定的表象，也就是具体的生活场景或已有经验来支撑。真实的情境更有利于学生提取知识线索、厘清知识脉络、重视理解过程，提升数学理解的能力。

一、数学理解离不开真实情境

1. 情境与真实情境

情境在教育学习领域具有丰富的语境意义。情境认知理论中的情境更多指向客观外在环境，认为知识是活动、背景和文化的产品，知识必须在情境活动、生活文化中才能被运用发展，学习、知识和情境是相互紧密联系。教育现象学专家马克思·范梅南认为教育教学的时空里都是教育的情境：“我们可以将这类似的情境叫做‘教育‘抚养孩子‘教学‘帮助孩子发展和成长。也许，针对某一具体轶事，某一具体名称会更恰当一些，但我们可以看到一些共同点：每一个情境都是讲述一件发生在年长者和年幼者之间的事儿。在每一个实例中都有某种相互影响的复杂性。年长者和年幼者之间相互影响。在这儿，我们对年长者之于年幼者的影响有着特别的兴趣。它具有形成孩子生存和成长的各种可能性的品质。”

从认知的角度来看，数学学习和数学理解的出发点来源于数学问题。数学学习中的情境大多属于问题情境。问题情境是指由个体面临的数学问题和它所具有的相关经验构成的系统。与人文类学科不同，数学学科的问题情境既包含了纯数学的问题情境也包含了具有现实因素的现实情境。比如“画出三角形底边上的高”、“按规律填数”、“用简便方法计算”等就是直接呈现数学问题的纯问题情境。而对现实生活进行数学化的加工，再用相对简洁的语言改编的数学问题就属于数学化的现实情境。如果在呈现的数学问题中又掺杂有更多的现实的、多方面的、非数学的因素，使学生在解决问题的过程中需要综合运用多方面的思维进行筛选、整理、判断、分析、推理等，就属于基于现实生活的真实情境。

真实情境既体现了真实的的现实环境，也包含了当下的教育现实，还涵盖了学生已有的知识技能和生活经验，是一个宽泛、多元的教育场景。真实情境反映了真实的生活与工作中的真实挑战，还给予学生探索主题的机会，能高质量地考察学生运用所有知识技能协作解决任务、问题的能力。因此我们应该给学生提供在真实情境中学习的机会，让他们感受知识在真实世界中的存在，展示他们的创造力和解决复杂问题的能力，并在复述、检查中得到反馈，进而促使他们自主判断、加深理解。

2. 数学理解是认知与情感的共同活动

李吉林老师创立的“情境教育”特别重视情感的作用。她认为应该“择美构境，境美生情，以情启智，把情感活动与认知活动结合起来，引导儿童在境中学、思、行、冶。” 数学理解的过程也应发生在“有情之境”中，通过教师的鼓励或诱导，激发学生愤悱的学习热情，构建一个蓬勃积极、有情有境的心理场，在师生互相联动、相互感染的学习情境下，向着理解的目标共同前进。

美国课程研究专家格兰特·威金斯和杰伊·麦克泰在《追求理解的教学设计》一书中出了理解的六个侧面：解释、阐明、应用、洞察、神入、自知。数学理解除了要有“解释、阐明、应用”这些知识层面的技能、方法，也应该包含“洞察、神入、自知”这些情感层面的因素。在学习的过程中，我们应该鼓励学生站在别人的立场上，分析他人的想法，肯定他人的亮点，包容不同的观点，也要提出富有批判性的的意见，从多个角度发表独特且深刻的观点。学生也要有机会对自己的学习进行回顾和反思。教师应留给学生思考的时间，让学生在“我是如何想的？”“这里用了哪些数学思想、方法、技巧？”“ 我能提出哪些问题？”这些问题中反思自己的理解过程，提升理解的层次。

3. 在真实情境中理解

小学阶段的学生习惯从熟悉的事物中获取数学知识，在理解的过程中逐步建立起具体形象与数学表达之间的联系。如果具体事物或者具体事件来源于学生熟悉的真实情境，就能促使学生更好地构建心理表象，从而生成数学理解。学生在真实的情境中把发现的问题数学化，再到数学的世界中规律化，最后还运用到现实世界中，这就是数学理解的过程。《义务教育课程标准（2022年版）》中指出：“引导学生在真实情境中发现问题和提出问题，……促进学生理解和掌握数学的基础知识和基本技能……” 加德纳认为：“要检验理解，不是让学生重述所学内容，也不是看实践行为。确切地说，要看是否能够将相应的概念或原理应用到新的问题情境之中……” 国内也有学者指出：“学生的数学理解，通常是从外在形式认识事物开始，构建初步的心理表象，在逐渐深入认识事物属性特征的过程中，修改相关数学知识的表象，逐层递进、反复地提高水平，逐渐使心理表现一致于数学知识本身，直至数学知识的形式化表达。”

正因为数学学习与理解过程中的情感既包含了感性的学习热情，也蕴含了理性的思考情智。所以在真实的情境中开展学习，才能更好地激发学生的积极情感和数学思考，更有利于实现认知与情感的协调统一。

二、把握情境特征滋养数学理解

1.真实的情境应该是适合具身认知的

具身认知理论认为心智的发展必须借助身体的动作。心智是身体的心智，认知是身体的认知，身体是认识的主体。认知不仅仅只是大脑的活动，而是大脑、身体、学习情境互相交互的产物。身体在塑造精神的过程中扮演着一个具有构成性影响的特别角色。在教学中要将数学知识转化为学生的数学理解，既需要学生全身心的参与，也不可能脱离真实的情境，是一个“身心一体”的认识过程。

我们接受的信息来自于5个不同的感官——视觉、听觉、味觉、嗅觉、触觉，在教育的情境中，我们应该重视身体和生理的体验，要把除了视觉与听觉之外的其它感官也运用起来，特别是触觉。婴幼儿在学习数字时，大人总是会拿着具体数量的物品，比如用3块积木、3个玩具告诉孩子这是“3”。但是到了小学数学的课堂上，学生却缺少了很多操作、摆弄、动手实验的机会。苏教版一年级上册有这样一道图文题：五只猴子倒挂金钩在捞水中的月亮，问题是：戴帽子的是第几只猴？低年级的老师也常会用这样一个数学问题来试探学生的数学思维水平：“假如你正在排隊做操，你的前面有3个小朋友，后面有4个，你们这一队一共有几个小朋友？”这两道题都和“顺序”有关。在教学的过程中，与其让孩子通过描述、想象的思维活动来思考，还不如依照实境具身的方式，让学生实际演一演，在具身认知的学习视角下，提高了学生参与参与数学活动的兴趣，促进了学生对于序数概念的理解。

对于小学中高年级的学生同样如此。如果仅仅通过文字的描述，就告诉学生“10个一百是一千”、“长方体和正方体都有6个面、8个顶点、12条棱”，学生就缺少了知识与实体世界的联系，不会产生身体与思维的动态交互。反之，如果我们在数学课堂上，给学生小棒、黄豆等实物，通过10捆100根的小棒、通过10盒100粒的黄豆等来感知1000，学生对“千”这个计数单位的理解会与真实世界更加紧密，才“能够在真实情境中理解数的意义” ，也更有利于学生发展从真实世界中获取数学知识的能力。在学习长、正方体时，通过对真实的长、正方体及其框架开展观察与对比、把纸盒展开等操作与研究，学生才能产生超越记忆的理解。

有一项心理学研究发现，大脑当中存在“镜像神经元”，当自己做出动作或者看到别人做出相同的动作时，这个神经元都会被刺激。也就是说，当看到别人的动作时，自己也会想象、感觉这样的动作，并产生兴奋。这也可以理解，为什么我们的课堂当中，几个学生上台展示（或者参与数学游戏、活动）时，下面的学生同样很兴奋。比如在苏教版四年级上册“确定位置”一课的教学时，教师设计了一个坦克发射炮弹打击某个位置的游戏，下面观察的学生与台上操作电脑的学生同样的紧张、雀跃、欣喜。现在很多教室里运用了希沃多媒体白板，当指定的学生参与希沃白板的PK游戏时，全班学生同样表现得十分积极。

2.真实的情境应该是饱含真实情感的

在强调课程育人，重视立德树人的教育背景下，教师不仅要作为学生知识的引路人，更要做好学生情感的引导者，创设具有丰富情感的真实情境，以情激情，以情启智，激发学生学习的热情，同时用数学独有的学科特质，唤醒学生的的严谨、理性、坚韧的数学品格。

《情境影响力》的作者萨姆·萨默斯在书中举了一位“人群秘语者”的例子。一位体育比赛的DJ，通过呼号、节奏、诵念来点燃观众的热情，他把自己比作“交响乐团的指挥”。在我们的课堂中，教师理所当然地要充当指挥这一角色。要使课堂情境更吸引学生的投入、更有利于理解的发生和发展，教师必须投入自己的真情实感，促使学生进入“愤悱”的学习状态。华应龙老师在课堂上，总是用发自内心的笑容与爽朗的笑声表达情感并鼓励学生；不少老师鼓励学生用响亮的掌声回应精彩的课堂表现；有些班级把“你真棒！”训练成为夸奖某位学生的口号。这些行为就是在激发学生的学习热情，激励学生更主动积极地投入到课堂情境中去。有些时候，只需要有几个甚至一个学习者的精彩表现，就会启动更多的学生期待自己也有精彩的表现。就如这位“秘语者”所说：“身处群体之中，一旦有一个人行动了起来，就会具有传染性，好像每个人都在等待欢呼的许可。”

源自东方文化和智慧的“情境教育”一开始就特别重视师生情感的互动和作用，强调“认识与情感的结合”、“以情启智”，在课堂教学中重视以情为纽带，以思为核心，既突出“情切”，又讲究“理寓其中”，让儿童在积极情感的驱动下学习，引导儿童在情境中学、思、行、冶。教师和儿童的言语交流、思维碰撞和情感互动构成了学习的整体。

丰富的情感还包含了数学学科特有的思想和态度。在教学设计之时，我们就要分析知识可承载的情感、态度及价值观，以追求数学理解为核心，以真实情境为载体，教师要引导学生在研究的过程中产生良好态度，体验积极情感，提升数学学科特有的严谨逻辑和理性精神，建构并发展数学理解。在《认识圆》一课中，教师通过古往今来各种圆的表象，激发学生来探索圆中蕴含的“一中同长”的道理，理解圆为什么被称为“世界上最美的图形”。在小数的计算中，教师用俄罗斯宇航局因为小数点的失误而导致的一次航天事故的例子，引导学生在悲愤之情中产生要严谨计算各类数据的情感。

真实的情境一定是饱含真情的，是能让老师和学生都感到兴奋的、幸福的。在这样的情境中，老师对孩子个人的关心一定远远超过对学习效果的关心，除了要关注布鲁姆的认知目标分类要达到的层次，更会关注马斯洛的人类需求动机。这样的真实情境已经不只是一种教学手段，也不只是一种知识的载体，而是在真实情境中将知识的学习、能力的发展、与情感的凝练、观念的建构融为一体，是一种综合的场域。这样才能实现“孩子的幸福感和学习能力的结合，能够产生1+1大于2的叠加效果。”

3.真实的情境应该是具有复杂任务的

研究表明，太难的学习任务会让学生感到挫败，最能激发学生而且对学业最有帮助的，是那些富有挑战性但又不至于让学生感到束手无策的任务。因此“复杂”指的是任务的设计和过程，而不是任务的难度水平。从设计者的角度来看，复杂的任务，是指在真实情境中既要包含多重的目标，也要具有多样的意义组块，并能产生多元的学习结果的学习任务，大多数学生通过努力都能完成。从学习者的角度来看，这些任务需要他们进行多方面的活动和深层次的思考，需要花费较长的时间和一定的协作。

美国课程设计专家威金斯和麦克泰格认为真正的真实情境任务必须具备以下特征：真实性，要在现实或模拟现实中面临混乱复杂的真实问题情境；创新性，不是仅仅重复教师传授的内容，而是要在分析问题之后，依据显示情况制定一个解决方案；综合性，需要综合运用多项知识、技能和策略（如问题分析能力、人际沟通能力、信息筛选能力、协同合作能力）解决复杂问题；反馈性，要能让学生通过老师给出的评估反馈，发现自己的不做并加以完善。他们还开发了设计的设计工具“GRASPS”，包含了以下要素：G（目标）、R（角色）、A（对象）、S（情境）、P（成果）、S（标准）。

随着时代的发展和进步，我们要相信现在孩子的能力远远超过我们的预期。给他们提供合宜、真实的情境，以评价为导向，以任务为驱动，设计好数学活动，让他们把最真实的一面表现出来。比如以苏教版六年级上册百分数单元为载体设计的“跳蚤市场”活动，就可以结合核心概念，在创设的真实情境中，开展纸笔、言语表达、合作交流、实践与操作、情感与态度等多维度、多层次的探究学习活动，促进儿童多元智能的发展、问题解决能力的提升、合作意识的优化以及创造性思维的加强。

苏教版四年级下册有一个数学活动《数字与信息》，主要目的是让学生体会到数字编码在社会生活中的应用和作用。在教学活动中，我们除了要让学生理解不同编码的含义，还应该基于真实情境设计一些较复杂的任务，帮助学生进一步提升对编码的数学理解。比如对汽车车牌的设计：每一辆汽车都有自己的身份证一一车牌，车牌通常由文字、字母和数字组成，请分析这样组合的特定含义和规则，并推理说明：随着科技发展汽车数量的不断增加，车牌编码的规则是否能满足汽车数量的增加。通过分析车牌编码的规则、了解车牌编码规则的元素表示的意思等任务来理解车牌所表示的信息，再计算编码中的五位字符共可编多少中不同的车牌、调查本市近几年增加的汽车数量来预测车牌够不够用、是否需要增加新的编码等实际问题。这样的任务来源于真实生活，反映了社会发展变化过程中对数学理解的需求，在完成任务的过程中，学生对数字、编码、含义等理解都更加深入了。

4.真实的情境应该是体现社会合作的

真实的情境同样离不开人与人之间的互动与合作。在真实的情境下学习，不仅要关注学习者与情境、与学习活动之间的关系，也要关注学习者与学习者之间的关系、学习者与学习共同体之间的关系——这样学习者的身份逐渐变成参与者、发现者、创造者。美国人类学家莱夫把“合法的边缘性参与”看做是情境学习的核心特征。“合法的边缘性参与”是指学习或实践共同体不是简单、松散的学习组织，而是要让每一个学习者都能主动积极地参与共同体的学习活动，并且要求组织者应该引导成员从边缘参与走向“充分参与”。如果借用“合法的边缘性参与”的概念来理解真实情境，这里的真实不仅仅指真实的世界或接近真实的世界，而且包含了参与者的真实参与、学习活动的真实发生。因此我们在理解“真实情境”时，同样不应该简单理解为“情境活动”、“在情境中学习”等，而应该重视每一位参与者在情境活动中从旁观到同伴到实践到示范到引领这样的情境学习脉络。例如，在数学实践活动“大树有多高”中，学生必须要借助同伴合作的力量，分工完成数据的测量收集、工具的选择与操作、纸笔的计算与检验等活动。每个人能否合理地分工、能否正确地认识自己的角色并理解自己的任务、能否准确地应用数学的规律最终解决问题，成为了评价社会合作方面的重要参考。

很多在真实情境中的社会合作研究可以给我们的教学带来启示。一项研究表明，责任感和义务感会在群体中扩散，同样的，推诿与不作为也会成为一个群体在合作过程中的普遍现象，群体的人数越多，推诿与不作为的概率越大。因此，在体现社会合作的真实情境中，教育者必须设计、安排好每一位学习者的任务。比如，小组合作不是乱哄哄的随意发言，在小组合作交流时可以使用一块发言牌，发言者手持发言牌，其他人认真聆听，发言者讲完再把发言牌传递给下一位发言的学习者，让每一位学习者都有发表简介的机会。组长负责整理并记录下所有有见地的发言，期待在全班的交流中汇报。在互相合作、劲儿往一处使的社会化学习的情境中，学生学习的“向量”会统一朝着正方向延伸。如果我们的学习情境是虚伪的、脱离学生实际的、表演的，学生只会沉默地等着有人来站出来单独承担压力，从而逃避应该在群体中的责任。

美国一个行为科学研究小组通过“韦斯特盖特”（Westgate）研究发现，人们更容易与住在附近的邻居成为朋友，住的越近，就越有可能成为朋友。并且他们的公寓之间的距离每增加5.8米，建立起亲密友谊的可能性就减少了近一半。这样的研究结论对社会化合作学习有很大的启示。在我们的社会化学习中，孩子们除了跟固定的小组成员一起活动，还应该尽量与更大范围的同学展开互动。比如在一开始，我们的学习小组人数控制在2～4人，在需要更多合作时，再把不同的小组进行合并，例如把教室前面的小组与最后面的小组合并，不同的课堂让不同的学生组成学习小组，争取有更多的孩子能在一起讨论问题、解决问题，从而产生更多思维的碰撞，对数学理解的提升也会具有更加积极的影响，同时还能提升同学之间的熟悉程度与亲密关系，对整个班级的学习也会有所帮助。

情境是途径，知识是载体，理解是目标。在目标驱动和评价导向的教育背景下，确定理解目标、创设真实情境，有利于发展数学理解，同时基于学生的数学理解优化下一步的教学情境，进而又可以提升理解目标。“情境理解”的课堂应该在理解目标的驱动下，确定合适的评估证据，创设合宜的情境，开发恰当的任务，采用一种“逆向设计”的方向，在真实情境中通过完成理解任务，获得数学理解能力的建构和核心素养的提升。

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