2022年高考全国甲卷与全国乙卷数学立体几何试题评析

胡凯林

【摘要】本文分析2022年高考全国甲卷与全国乙卷4套数学试卷中的立体几何试题，认为试题整体上题型结构保持稳定，考点覆盖全面且突出主干知识，难度适中兼具选拔价值与育人价值，文科卷与理科卷同题情况显著，建议教师在备考教学中研究高考真题以把握教学方向，聚焦核心素养与能力培养，引导学生掌握知识的本质，创设多样化的情境让学生举一反三。

【关键词】立体几何 2022年高考 试题评析

【中图分类号】G63 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2023）14-0059-05

立体几何是研究空间内几何图形、位置关系及数量关系的一门数学分支，是高中数学学习的重要内容之一。立体几何源于对现实生活中图形的抽象，联系具体情境是立体几何的特点之一。立体几何考查学生对基本图形性质的理解、数学语言的表达和数与形的转换，考查学生的阅读理解能力、信息整理能力、语言表达能力、批判性思维能力等四项关键能力。学习立体几何有利于提高学生的直观想象、逻辑推理、数学运算、数学抽象等数学学科核心素养。

2022年高考数学学科共有10套试卷，其中全国卷6套，地方卷4套。本文分析2022年高考全国甲卷、全国乙卷数学学科文科卷和理科卷4套试卷中的立体几何试题，并对立体几何的教学提出一些建议。

一、试题整体评析

（一）题型结构保持稳定

笔者分析2022年高考全国甲卷与全国乙卷4套数学试卷中的立体几何试题发现，试题结构相对稳定，变化不大（如表1所示）。

从题型和分值来看，4套试卷基本相同，均包含若干道选择题或（和）填空题，以及1道简答题，其中甲卷理科卷包含3道选择题、1道填空题与1道解答题共计32分，约占试卷总分的21.33%，甲卷文科卷包含3道选择题与1道解答题共计27分，约占试卷总分的18.00%，乙卷的理科卷与文科卷均包含2道选择题与1道解答题，共计22分，约占试卷总分的14.67%。可见，立体几何试题分值相对稳定且占比较大。

（二）突出主干知识，覆盖全面

根据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《课程标准》）对主干知识重点考查的要求，2022年高考全国甲卷与全国乙卷4套数学试卷的立体几何试题在真实情境或数学问题情境下，试题命制凸显能力立意，突出主干知识，考查关键能力和核心素养。4套试卷15道试题的几何形状常规中有创新，考查全面，其中以正方体、长方体为背景的试题6道，以四棱柱为背景的试题2道，以三棱锥、四棱锥为背景的试题4道，以圆锥为背景的试题2道，以球体为背景的试题2道。

考点覆盖全面，设计合理，主要涉及三个方面。一是空间位置关系，如点、线、面之间的平行或垂直关系的判定与证明；二是空间的量，包括二面角、线面角、线线角等角度的考查，也包括几何体的表面积与体积、旋转体展开图形的考查；三是其他知识在立体几何中的应用，主要有空间向量、解三角形、函数的最值、基本不等式等知识。

（三）难度适中，兼具选拔价值和育人价值

2022年高考全国甲卷与全国乙卷4套数学试卷的立体几何试题以中等难度为主，既设置了考查基础知识的试题，又设置了梯度鲜明可以调控试卷难度的试题，为高校选拔人才提供了区分度和信度。例如甲卷理科卷、文科卷第4题（文科卷、理科卷试题相同）通过三视图考查学生对基本几何图形的理解，还原立体图形并计算体积，难度较低；乙卷理科卷第9题和文科卷第12题（文科卷、理科卷试题相同但题号不同）对学生的思维水平和综合运用知识的能力有较高的要求，突出对学生的关键能力的考查。其他试题难度适中，围绕数学学科核心素养，坚持立德树人，体现数学文化的价值。

（四）文理同题或为姊妹题

笔者经过对比发现，考查立体几何知识的选择题和填空题中，全国甲卷中除理科卷第15题没有出现在文科卷中，其他试题文科卷与理科卷完全相同，全国乙卷的文科卷和理科卷的选择题也是完全相同；解答题中，全国甲卷理科卷和文科卷则是同题异构的姊妹题，因为文理科学生所学知识不同所以试题考查的侧重点不同。另外，文科学生和理科学生数学学习的难度不同，所以会有试题相同但是题号并不完全相同的情况。文理同题现象符合取消文理分科的实际，题号不同起到了调节整份试卷难度的作用。文理趋同是新高考的要求，传递了未来考查方向的信号。

二、命题导向与试题评析

立体几何试题通过创设真实情境考查学生的学科素养和关键能力，既考查主干知识，又在知识交汇处命题，也对数学综合知识进行考查。2022年高考全国甲卷和全国乙卷4套数学试卷试题扎实稳定，且稳定中有变化创新，很好地从数学知识的综合运用高度对学生的知识、能力与素养进行综合考查。下面笔者结合具体试题展开分析。

（一）设置真实情境，渗透五育并举

立体几何基本图形来源于对生活中物体的抽象，学生通过学习立体几何知识能发现并解决生活中的问题，体现了数学源于生活又服务于生活的特点。2022年高考全国甲卷数学文科卷第19题以综合实践活动中制作包装盒为背景，設置真实情境，不仅考查了学生的空间想象能力和计算能力，还渗透了劳动教育，凸显育人价值及教育导向作用。

例1（2022年全国甲卷文科第19题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图1所示：底面ABCD是边长为8（单位：cm）的正方形，△EAB，△FBC，△GCD，△HDA均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直。

（1）证明：EF//平面ABCD；

（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）。

此题依托真实情境考查立体几何知识。第一小问要求证明线面平行，属于常规问题，解决的思路主要有两种：一是在平面ABCD中寻找到一条直线与EF平行，二是证明EF所在的某一个平面与平面ABCD平行。学生需要根据直观感受在这两种思路里面找到一个简便快捷的方法。解答此问对基本图形的理解和空间想象能力有一定的要求。由已知给出的面面垂直可以发现，分别过E、F作底面的垂线后，可以容易得到线线平行。第二小问考查容积，即体积的大小，是文科试卷中常见的考点。本题的难点在于几何图形是正方体的切割体，在求解切割体的体积时通常使用切割法或补体法，考查学生在真实情境下使用基本解题模型去分析问题和解决问题的能力。

（二）追溯知识根源，探寻概念本质

《课程标准》指出：借助正方体和长方体等基本图形，认识和理解空间点、线、面的位置关系；借助正方体和长方体等基本图形，掌握空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的分类及表示；通过直观感知、操作确认，能够归纳出直线与直线、直线与平面、平面与平面平行或垂直的判定定理及性质定理，并能够证明。因此，教材编排也按照从特殊到一般、从整体到局部、从具体到抽象的原则，符合认识事物的发展规律，促使学生全面掌握知识发展变化，理解概念的本质。2022年高考全国甲卷和全国乙卷4套数学试卷立体几何试题大多以突出概念、通性通法的长方体或正方体为载体，强调基本图形，从知识根源出发深化理解空间点、线、面的位置关系及空间数量关系。

例2（2022年全国甲卷理科第7题、文科第9题）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°，则（ ）。

A.  AB=2AD

B.  AB与平面AB1C1D所成的角为30°

C.    AC=CB1

D.  B1D与平面BB1C1C所成的角为45°

例3（2022年全国乙卷，理科第7题、文科第9题）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则（ ）。

A.平面B1EF⊥平面BDD1

B.平面B1EF⊥平面A1BD

C.平面B1EF//平面A1AC

D.平面B1EF//平面A1C1D

两道试题在长方体和正方体等基本图形中考查空间中平面与平面的位置关系、直线与平面所成角、两点间距离等核心内容。教师要注重引导学生关注基本图形的特征，在基本图形中探寻基本概念和基本原理，强化知识本源，从而使学生更好地理解空间中的位置关系和数量关系。

此外，例3问题设计精心细致，四个选项围绕平面B1EF展开设问，多角度考查了空间位置关系，达到全面考查目的的同时避免了一道题变成四道题，减轻了学生的心理负担，节约考试用时，让学生能有时间充分展示数学能力。

（三）注重几何关系，强调关键能力

例4（2022年全国甲卷理科第9题、文科第10题）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为[s甲]和[s乙]，体积分别为[v甲]和[v乙]。若[s甲s乙=2]，则[v甲v乙=]（ ）。

A.[5]  B.[22]  C.[10]  D.[5104]

例5（2022年全国乙卷理科第9题、文科第12题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）。

A.[13]   B.[12]   C.[33]   D.[22]

棱锥、圆锥、球体等基本几何图形也是高考中的常考图形，这一类问题往往注重考查几何相互关系和数学综合知识，以中等题和难题为主。例4涉及两个圆锥的几何体关系和侧面展开图这一图形关系，例5涉及四棱锥和球两个几何体。例5对空间想象能力和逻辑推理能力要求比例4更高，难度更大，因此成了文科卷选择题压轴题。解答多面体和球的问题要抓住球心这个核心要素，通过直观想象，构建几何图形，假设变量建立数学模型，利用导数或不等式进行求解。求解过程难度较大，对学生的空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力等要求较高。

（四）改变命题模式，發展核心素养

例6（2022年全国甲卷理科第15题）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为    。

例7（2022年全国甲卷理科第18题）在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD//AB，AD=DC=CB=1，AB=2，DP=[3]。

（1）证明：BD⊥PA；

（2）求PD与平面PAB所成的角的正弦值。

例8（2022年全国乙卷理科第18题）如图4，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD=CD，∠ADB=∠BDC，E为AC的中点。

（1）证明：平面BED⊥平面ACD；

（2）设AB=BD=2，∠ACB=60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值。

《中国高考报告（2023）》指出，高考试题的命题范围不受限于学生拥有多少知识或知识掌握的程度如何，突出主干知识和在知识的交汇处命题，考查学科素养和关键能力是未来命题的趋势。例6以立体几何体为载体，考查概率的知识，以概率问题促进学生对正方体结构特征的理解。例8第1小问涉及全等三角形、等腰三角形，考查勾股定理、初高中衔接问题，也有最值等知识的综合应用；第2小问的问题设置上有创新，改变了以往的命题逻辑联系，打破模式化命题，从以往的求最值转变为已知最值求线面角，整道题注重数学主干知识的互通理解，不局限知识多少及知识深浅，而是突出能力立意，强调数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算等核心素养。

例7和例8都是解答题，考点全面，注重知识的综合运用。两道题的第1小问均考查空间位置关系，第2小问均考查直线与平面所成角的正弦值。试题对逻辑思维能力和计算能力也有较高的要求，利用空间向量求解有利于简化求解过程。

（五）借助数形结合，重视知识内在联系

例9（2022年全国甲卷理科第4题、文科第4题）如图5，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（ ）。

A.8    B.12    C.16    D.20

著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休。”数形结合是数学思维、思考角度、表征语言的相互转化，有助于揭示问题的本质，发现解决问题的途径。在平面上绘制立体图形，是常见的立体几何作图问题。例9以三视图为情境考查多面体的体积问题，从三视图转化到平面直观图形，实际是数学图形语言的相互转化。数学语言包括数学图形语言、符号语言和文字语言。重视数学几种语言的内在联系和转化，强化对数学语言的理解，有助于掌握空间几何体的结构特征，培养空间想象能力，强化空间意识，深化对性质和定理的理解。

三、教学建议

（一）研究高考，把握方向

2023年是广西向新高考过渡之年，教师需要认真学习《中国高考评价体系》及《课程标准》等纲领性读本，研究对比新旧教材及新旧课程标准的异同，了解新课程、新教材改革及命题趋势，在教学中实践新课程理念。例如《课程标准》保留了旧课程标准中的棱柱、棱锥、球的表面积公式和体积公式，增加了棱台的表面积和体积的计算公式，并要求学生能运用公式解决简单的实际问题。以往高考针对空间距离问题主要考查点到面的距离，常局限于传统综合法或者采用等体积求解。《课程标准》新增了空间向量法求距离，使命题范围得以扩大：不仅有点到面的距离，还有直线与平面的距离、两平行平面的距离和较难求解的异面直线的距离。

除了学习以上读本，教师还需要研究高考真题，尤其是近几年的新高考真题，通过深入研究高考真题可以精准把握高考重难点。首先高考真题规范严谨，从整卷来看覆盖全面，重点突出。其次，为平稳过渡，近年高考会逐步渗透新高考命题理念，如例1（2022年全国甲卷理科第19题）命题新颖，体现新高考命题理念。本题以正方体的切割体为图形载体，素材新颖，考查考生在生活情境中使用基本解题模型分析问题和解决问题的能力。因此，在高考备考中，教师应深入研究高考，这样才能有的放矢，把握备考方向，提高备考效率。

（二）回归本质，深度学习

立体几何涉及的元素较多，元素之间的关系复杂，既有位置关系又有数量关系。2022年高考全国甲卷和全国乙卷4套数学试卷的立体几何试题多以长方体、正方体、棱锥、棱柱、圆锥、球等学生熟悉且能体现空间位置关系的简单的常见的几何体为载体。因此，立体几何教学要回归本质，关注简单的基本图形，加强学生对基本概念、定义、定理、性质、判定的理解。长方体是最基本、最简单的立体图形，蕴含立体几何最简要最本质的知识，《课程标准》多次提到借助长方体来研究立体几何。在教学中，教师可以引导学生从长方体出发梳理立体几何知识体系，形成解决问题的基本思维模式，回归本质，基于能力立意，总结通性通法，灵活运用，举一反三，从基本图形逐步上升到变式图形，再跃迁到综合图形。

《中国高考评价体系》对高考试题提出了综合性和创新性的要求。教师应基于大单元视角，构建整体单元教学模式，按照“课程—章节—单元—课时”来设计教学内容，引导学生构建知识网络。在平时教学中，教师要精心选择例题，不仅关注知识、模块和学科之间的联系，例题设问方式和呈现形式还要力求新颖，能够激发学生主动思考；同时，教师要改变过去碎片化的教学，设计一些具有开放性、探究性、综合性的主题研究活动，促进学生深度学习，鼓励学生主动思考，让学生成为课堂的主角，积极创设师生、生生互动和讨论的平台，提高学生的计算能力、逻辑思维能力、分析解决问题能力等，提升学科素养，实现学生“学会”到“会学”转变，服务“双减”目标和人才强国战略。

（三）关注情境，立德树人

《中国高考评价体系》指出，问题情境是考查数学学科核心素养的重要载体，高考试题呈现“无情境，不成题”的特征，情境是“核心价值金线”和“能力素养银线”的重要串联线。教学中，教师应设置以实际生活中的真实情境和学习探索中的复杂情境为载体的新颖试题，引导学生在运用知识和技能解决问题的同时，总结分析解决问题的过程，如如何从情境中有效提取信息、数学模型的选择与建立、求解过程用到的方法技巧等，从而形成解题技能，能够类比迁移模型提升创新能力，解决新情境中的问题。

问题情境主要有数学与生活、数学与科技、数学与人文艺术和数学史等类型，在表述上有附加型（文化要素仅以插图、语言等形式添加在试题中，删除后不会对试题本身造成影响）、单纯背景型（以情境引出数学问题，往往是利用中华传統文化创设试题情境，试题末会给出解释或翻译，对学生处理信息的能力要求不高，把情境删除对试题无影响）、信息混合型（情境中包含重要解题信息，对学生处理信息的能力要求较高，学生需要仔细阅读，提取有用信息，并将问题数学化，运用数学知识进行解题，此类问题大多数是真实情境，多与社会热点、经济发展有关，数据一般为公开可查的权威数据）等类型。立体几何与社会生活息息相关，因此多以各类情境为载体，题面新颖，重点考查几何体的表面积、体积以及空间角度与距离等问题。在备考中，教师要重点关注中华优秀传统文化中与立体几何有关的内容，特别是《周髀算经》《九章算术》等优秀经典著作中与土建、测量、天文等有关的篇目。重视立体几何的德育功能，利用社会热点、国家重大发展成就等情境和中华优秀传统文化情境，激发学生的爱国热情和民族自豪感，彰显数学学科的育人功能，落实五育并举，实现立德树人根本任务。

（四）聚焦核心素养，突出能力

《中国高考评价体系》把高考考查内容凝练为“核心价值”“学科素养”“关键能力”“必备知识”等四个层面，在必备知识基础上，以核心价值为导向，加大力度考查学生的学科素养和关键能力。教师在立体几何教学中应着重培养学生的阅读理解能力，在解题过程中注重培养学生信息处理能力和批判性思维能力，在书写解答中锻炼学生语言表达能力。学生在解决问题过程中要注重反思总结，减少机械重复刷题，归纳解题模型，淡化解题技巧，优化解答过程。

立体几何是数学主干知识，学习立体几何对逻辑推理、直观想象、数学运算等数学学科核心素养的发展起着至关重要的作用，是数学学习过程中不可缺少的一部分，也是高考重点考查的内容。2023年高考立体几何试题或将延续2022年命题方向，继续聚焦核心素养，关注情境，突出能力，为选拔人才和育人发挥应有的功能。

参考文献

［1］教育部考试中心.中国高考评价体系［M］.北京：人民教育出版社，2019.

［2］教育部考试中心.中国高考评价体系说明［M］.北京：人民教育出版社，2019.

［3］徐尚昆，杨汝岱，郝保伟.中国高考报告（2023）［M］.北京：新华出版社，2022.

注：本文系南宁市教育科学“强基计划拔尖人才培养”专项课题“基于合作学习理念的文科拔尖创新人才培养路径研究”（2021QJ009）、南宁市教育科学“强基计划拔尖人才培养”专项课题“强基计划背景下培养高中数学竞赛拔尖创新人才的实践研究”（2021QJ002）的研究成果。

（责编 刘小瑗）