立足基础 聚焦能力 发展素养

蒋爱萍

【摘要】本文聚焦2022年高考数学数列试题，从内容、题型、分值、难度等方面分析高考试题数列知识的考查情况，提出立足基本模型、围绕基本问题、突出通性通法教学，关注本质探究，聚焦关键能力的培养，重视知识的综合应用，进而发展学生素养等教学建议。

【关键词】数列 2022年高考 试题分析

命题特征

【中图分类号】G63 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2023）14-0055-05

数列作为高中数学的重要组成部分，是每年高考考查的重点内容。本文通过分析2022年高考数列试题，得到复习数列知识的教学启示。

一、高考真题考查内容分析

（一）考查知识点

数列作为高中函数主线的重要内容之一，与其他数学知识有着紧密的联系，也是学习高等数学的基础。笔者统计分析2022年高考部分数学试卷中的数列试题的情况，整理如表1所示。

（二）题型分值

从分值分布来看，这些试卷数列试题分值均在10—25分之间；题型有选择题、填空题、解答题。全国甲卷以解答题的形式考查数列内容且文科卷、理科卷同题，均为12分；全国乙卷理科卷有2道选择题，文科卷有1道选择题和1道填空题，均为10分。除全国乙卷未在解答题中考查数列知识外，本文分析的其他高考试卷均在解答题中考查了数列知识。值得注意的是，在新高考Ⅱ卷、北京卷和浙江卷中，数列相关的试题所占分值较高，其中北京卷数列试题共25分，分值最高，新高考Ⅱ卷、浙江卷考查数列相关的试题达到19分。

（三）难度设置

高考试题在数列模块的命题展现了良好的区分度。在选择题和填空题的命题上，全国甲卷、全国乙卷和新高考Ⅰ卷、新高考Ⅱ卷以容易题和中档题为主，立足基础知识和基本方法，突出考查学生的数学运算能力和逻辑推理能力；北京卷和浙江卷在选择题和填空题中出现难度较大的数列综合题。而解答题以中档题和难题为主，如全国甲卷理科卷第17题、文科卷第18题，新高考Ⅰ卷第17题，新高考Ⅱ卷第17题都属于中档题；新高考Ⅱ卷第22题第（3）问、天津卷第18题第（3）问、北京卷第21题、浙江卷第20题等，对学生分析和处理问题的能力要求较高，难度较大。

二、高考命题特征分析

从2022年高考数列试题来看，命题继续遵循“能力为重、素养导向”的原则，形成了知识与应用结合、素养与能力并举的命题特点。试题突出考查数列的主干内容，即以等差数列、等比数列两大基本模型为基础，围绕求通项、求前n项和两类基本问题，考查学生的数学运算能力、逻辑推理能力、数学抽象、数学建模等数学关键能力和核心素养，引导教学关注数列的核心是运算、数列的灵魂是递推、数列的本质是函数，进而引导教学注重基础、注重通性通法、回归教材、回归本质——核心概念；在此基础上，将数列与方程、不等式等适度综合，注重知识的综合运用，考查学生的理性思维；此外，数列依托创新情境，着重考查学生数学建模能力，体现素养导向。

（一）立足基本模型，围绕基本问题，突出通性通法

等差数列、等比数列是研究数列的两大基本模型，数列作为特殊的函数，其通项公式确定了项数与项之间的对应关系，是确定并表示一个数列的重要工具，而数列求和是数列区别于一般函数的重要特征。因此，以等差数列、等比数列为基本模型，求数列的通项公式与前n项和等基本问题自然就成了高考命题的重要内容。而研究数列的概念和性质等，都是依据数列中的项与项、项与和、和与和之间的确定关系，其本质是“运算中的不变性和规律性”。因此，用通性通法的运算手段解决数列的相关问题是高考数列考查的基本方向。

例1（2022年全國乙卷理科第8题）已知等比数列[an]的前3项和为168，[a2-a5=42]，则[a6=]（ ）。

A.14   B.12   C.6   D.3

三、教学启示

（一）立足基础知识，贯彻通性通法

上述高考数列试题主要考查等差数列和等比数列的判断和证明、基本量的求解、判断单调性、求通项公式及前n项和等基础知识和基本问题。计算等差、等比数列两类模型的基本量是数列运算的基础，而围绕着求通项公式与求前n项和的问题是高考考查的重要内容，重视对通性通法的考查，不设置“繁”“偏”“怪”的问题，淡化特殊技巧。因此，等差数列和等比数列的概念及性质、通项公式、前n项和公式是教学中的重点内容，用通性通法解决数列的相关问题应贯穿数列教学的始终。而递推作为数列的灵魂，围绕数列递推关系的命题主要考查学生在复杂情境中把握事物之间的关联和规律的能力，其命题思路常常立足于已知递推关系或从实际问题中抽象出递推关系，实现前一项到后一（两）项的递推，以递推形式为载体求解数列的通项公式以及前n项和，对学生的数学运算能力有较高要求。因此，教师在教学中需强调递推关系，重视累加法、累乘法、构造法等求通项公式的通性通法，以及分组求和法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、放缩法转化为可求和的数列等求解数列前n项和的基本方法和手段。教学中需引导学生注重对通性通法的研究，具体体现在对数学概念的深度理解上，对数学思想方法的深刻认识上，把深化基础性的考查转向对思维灵活性的考查。

（二）加强思维关联，强化关键能力

数列是研究其他函数的基本工具，高考关于数列综合问题的考查主要通过考查数列的函数性实现——将数列与函数、不等式、数论、集合、数学归纳法、反证法等知识相结合，从而实现高考全面考查知识的目标。此外，在与数列有关的综合问题中，对学生的运算能力和推理能力提出较高层次的要求，而数学运算能力和逻辑推理能力是高考数列模块重点考查的关键能力，是学生通过数列学习应具备的数学素养。因此，教师在教学中应关注数列的函数本质，以此为切入点搭建数列与高中数学其他知识间的联系。教师要帮助学生理解数列与其他数学知识之间的内在逻辑联系，加强函数与方程思想、化归与转化思想、分类讨论思想等基本思想方法的渗透，在数列教学中通过适度拓展，帮助学生在学习与探究活动中积累数学思维活动经验，形成有效的问题分析逻辑、知识关联逻辑、方法运用逻辑，进而提升学生面对复杂问题情境或探索问题情境时自主分析和解决问题的关键能力，实现高考由“以纲定考”到“考教衔接”的转变。

（三）重视情境教学，发展核心素养

高考评价体系有效引导教学。高考评价体系指导下的高考命题呈现“无价值，不入题；无思维，不命题；无情境，不成题”的典型特征。教学中教师可通过引入创新情境、命制创新题型来体现数学的应用价值和时代特征，彰显高考“立德树人、服务选才”的核心功能。教师需重视对学生思维品质和思维过程的培养，避免机械刷题，即求解与数列有关的现实情境题时，需引导学生根据情境抽象出数列的表示形式，如通项公式或递推关系，通过运算进行求解，最后结合实际意义作答，即经历审题、建模、解模、反馈等系列过程，帮助学生在实践中不断提高创新能力和数学建模核心素养，体现数学的育人功能。此外，教师需积极提升自身学科素养，关注学科理论产生的场景或与学科密切相关的现实情境，增强在真实情境、复杂情境中进行数学教学的能力，深化对开放性试题和探究性试题的研究，重视渗透创新题型，引导学生形成适应终身发展和社会发展所需的必备品格和关键能力。

参考文献

［1］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］教育部考试中心.中国高考评价体系［M］.北京：人民教育出版社，2019.

［3］教育部考试中心.中国高考评价体系说明［M］.北京：人民教育出版社，2019.

［4］郭慧清，黎治国.2021年高考“数列”专题命题分析［J］.中国数学教育（高中版），2021（7/8）.

［5］李叶，薛红霞.2020年高考“数列”专题命题分析［J］.中国数学教育（高中版），2020（10）.

注：本文系南宁市教育科学“强基计划拔尖人才培养”专项课题“强基计划背景下培养高中数学竞赛拔尖创新人才的实践研究”（2021QJ002）的研究成果。

（责编 刘小瑗）