新工科背景下研究生数值分析课程教学改革探索

2023-07-24张建华，赵静

高教学刊 2023年18期

张建华，赵静

摘要：新工科背景下的高等工程教育对理工科研究生科学计算能力的培养提出更高要求，课程改革创新势在必行。数值分析是东华理工大学理工科研究生开设的一门专业必修课，对培养学生的计算思维、程序编写和动手实践能力有重要作用。该文以数值分析课程改革为例，从课程结构与教学内容、教学模式、课程思政和考核方式等方面分析该课程教学存在的不足，构建以计算思维和工程思维为核心要素的课程教学改革方法，为新工科研究生创新能力的培养提供有效的途径。

关键词：数值分析；新工科；教学改革；课程思政；教学模式

中图分类号：G642 文献标志码：A 文章编号：2096-000X（2023）18-0146-04

Abstract： Under the background of new engineering， higher engineering education puts forward higher requirements for the cultivation of scientific computing ability of science and engineering graduates， and it is urgent to accelerate the curriculum reform and innovation. Numerical Analysis is a required course for postgraduate students of science and engineering in our university， which plays an important role in cultivating students' computational thinking， programming and practical ability. In this paper， taking the reform of numerical analysis course as an example， we analyze the shortcomings of the teaching of this course from the aspects of course structure and content， teaching mode， curriculum ideology and politics， assessment method， and then establishes a curriculum teaching reform method which takes computational thinking and engineering thinking as the core elements. Finally， we provide an effective way for the cultivation of innovative ability of new engineering postgraduate students.

Keywords： Numerical Analysis; new engineering; teaching reform; curriculum ideology and politics; teaching mode

为响应国家战略需求，进一步推动工程教育改革创新，加快建设和发展新工科，教育部先后在上海、天津和北京召开了新工科建设研讨会，达成了新工科建设“复旦共识”，构建了新工科建设“天大行动”，制定了新工科建设“北京指南”，标志着我国高等工程教育开始了新篇章、进入了新阶段。以人工智能和大数据为代表的新一轮科技革命与产业变革迫切需要理工科研究生具备信息处理、定量推理和数据决策的计算思维和工程思维。科学计算能力是创新实践、工程实践与自主学习三种能力的交叉，是培养研究生计算思维、工程思维和创新能力的核心要素。数值分析课程是培养研究生科学计算能力的重要途径，课程内容抽象、嚴密，强调算法设计、理论分析、软件实现和实际应用，介于纯数学和工程应用之间。

东华理工大学（以下简称“我校”）研究生数值分析课程内容主要涉及误差分析、非线性方程（组）求根、线性代数方程组的直接法和迭代法、插值与拟合、数值积分与微分、矩阵特征值的计算、常微分方程数值解法和不适定问题计算方法等知识点，对数学能力要求很高，侧重于理论知识讲解且公式推导繁杂。这门课要求学生具备扎实的数学理论分析、推导功底，敏捷的计算思维和较强的算法实现能力，例如MATLAB、PYTHON等语言程序编写能力。新工科建设的核心是培养适应时代发展的创新型工程科技人才，需要课程在建设过程中强调“以学生为核心，以成果为导向”。不少学者已做了相应的教学改革探讨与实践，详见文献[1-9]。当前，研究生数值分析课程教学主要存在如下问题。

内容多、课时少，教学模式单一。我校研究生数值分析课程只有32学时，知识点跨度大，学生基础参差不齐。教师课堂讲授一般采用单向的知识传输方式，注重算法公式和理论推导，内容枯燥。课堂学习效率不高，学习兴趣缺乏，教学模式不利于启发研究生的算法设计、软件实现思维和工程思维，难以培养研究生的科学计算能力。

轻实践，研究生编程计算能力弱。由于学时不足，上机实践只是作为课堂教学的补充。研究生虽然理解了算法原理和数值方法设计思想，但动手能力差，很难独立解决实际问题。加上学生课外投入时间与精力不足，难以做到工程应用和上机实践紧密结合。

工程实践教学案例陈旧，无法适应新工科人才培养的需求。来源于实际应用，具有行业背景的工程实践教学案例偏少，无法满足不同专业研究生解决实际问题能力提升的需求，不能有效激发学生的学习兴趣。

考试内容单一，考核方式简单。我校考试内容主要考核理论知识，期末占比70%，作业和考勤等占比30%。这种考核方式无法真实反映研究生对所学内容、相应知识点的掌握深度及算法设计、软件实现和解决实际工程问题的动手能力和工程思维，学生往往通过做题就可以取得理想成绩。为进一步凸显新工科背景下的课程教学的“实用性”和“应用性”，必需改变现有的考试内容和考核方式。

综上所述，目前数值分析课程教学无法满足培养具有浓厚的家国情怀、强烈的社会责任感、优秀的人格品质、精益求精的工匠精神和追求卓越的实践能力的创新型“五优”新工科研究生人才[10]。下面笔者结合多年的课堂教学和实践教学经验，从课程结构与教学内容、教学模式、课程思政和考核内容与方式四个方面进行研究和探讨。

一优化课程结构、整合课程内容

参考多本国内外数值分析经典教材的知识内容，根据课程教学和新工科人才培养目标，重新梳理数值分析的知识点，整合课程内容，构建来源于实际应用问题并涉及多个知识点的工程实践案例，突出数值分析理论与各工科专业应用的交叉融合。根据不同工科研究生专业的培养目标、计算能力和工程思维要求，重新优化教学内容、整合知识点，强调数值算法的设计、理论分析和编程实现，添加相关工程背景知识及MATLAB程序案例和代码，提升研究生选择合适的算法解决实际工程问题的能力。当今知识迭代更新的速度越来越快，数值分析课程内容难以囊括当前的学术研究前沿。因此，可在教学过程中引入相关前沿研究内容，与时俱进。比如，分数阶微积分是当前计算数学的研究热点之一，我们在常微分方程数值解法的教学中，适当穿插了分数阶常微分方程的数值解法内容。又比如，在线性方程组迭代方法教学中，穿插了埃尔米特和反埃尔米特（HSS）分裂迭代法的内容。

二以研究生为主体，创新教学模式

“教得怎么样”最终要由“学得怎么样”来评价，要实现以教师为中心的教学向以学生为中心的教学转变，培养研究生自主学习能力，注重研究生个性的发展和創新能力的培养。

（一）板书与现代技术相结合，高效利用慕课资源

传统板书可以一步步引导启发学生深入思考，灵活调整讲解的快慢、详细程度，更好地把握教学节奏，与学生形成良好互动，有助于学生对知识的消化理解[7]。将现代信息技术与传统板书相结合，可以高效展现算法分析、定理公式、程序及计算框图等复杂内容，进一步提高教学效率与效果。慕课是板书教学的有益补充，共享和开放的慕课平台资源极大丰富了教学内容，有效缓解了课堂教学压力和课时少与内容多的矛盾。通过在线学习，学生不仅拓宽了知识面，而且打破了时间与空间的局限性，使得学生可以充分结合个人情况进行有组织、有计划的高效学习。

（二）基于问题驱动，开展探究式教学

探究式教学源自苏格拉底的“产婆术”，不同于传统的教师传授法，其将重点放在以学生为主体的“探与究”上，其中“探”是重头，“究”是核心。探究式教学要求教师精心设计教学内容，组织过程实施，控制好各个思考讨论环节并最后给予评价和总结。这种方式不仅能调动学生的主动性，而且有利于培养自主探索的专研精神和创新思维。针对非线性方程数值求根的专题，我们采用了同济大学陈素琴等老师构建的 “牛顿法画分形”的案例[9]。首先，通过图１创设情境，引出问题，即如何利用牛顿法来实现图1；其次分析问题，学生通过小组讨论提出探究过程中碰到的难点并分析问题的原因；最后，引导学生提出思路并解决问题，同时教师给出评价与总结并要求学生按“问题描述—解决方案—讨论的问题—分析讨论—总结—文献及附录”提纲撰写案例。实践证明“从问题到理论再到问题”的探究式教学闭环更能提高研究生独立思考，加深知识点综合理解和运用，培养团结协作的团队精神。

（三）采用案例教学，提高学生动手实践能力

案例教学法可以提高对所学知识的理解深度，培养计算思维，分析与解决实际问题的能力。案例教学法有利于理论与实践的结合，激发研究生的各种潜能，培养研究生应用数学意识和提升使用计算方法解决实际问题的能力。每一章都依据案例教学法的准则精心选择和设计案例，突出行业、专业和工程应用背景。例如数值天气预报、数据降维、文本分类和图像压缩中的奇异值分解计算，堰塞湖抢险中的水文数值计算、南昌地区经纬度数据的GPS精准定位、GOOGLE搜索引擎中的网页排名、一维球几何中子输运方程计算等等。到每一章结束时，学生需要阅读文献资料、建立数学模型、设计数值算法、编写程序并撰写小论文。

（四）科研与教学有效结合，提升学生创新能力

坚持“教研相长、以研促教”的理念，通过鼓励研究生参与教师科研项目，引导研究生积极申报省、校级科研项目和阅读具有专业特色的论文等多种途径和方式将科研与课堂教学、实践活动相结合。例如，结合我校核地学科特色，在讲解矩阵特征值内容时向研究生提供地球科学和数值分析交叉领域的文献《乘幂法在地震属性分析中的应用》[11]和《基于最大特征值估计的Ｃ３算法及应用》[12]等。通过文献的阅读可以使研究生进一步理解基于特征值结构分析的算法在揭示断裂、地质层序等地质现象时的作用，切身感受到数值分析知识在本专业领域的直接应用。鼓励授课教师将科研项目融入课堂教学，提升教学水平；将科研成果融入教材，提升教材质量；将科研意识融合在学生培养中，提升创新能力；将部分科研项目内容分解为多个具有一定挑战性的小问题，引导研究生进行自主探索和学术创新，从而进一步开拓科学计算和算法设计思维，提升工程思维和实践能力。

三深挖思政元素，有效开展课程思政教学

在新工科背景下，充分挖掘数值分析课程的思政元素，将思政教育自然融入到课堂教学中，丰富课程的自身内涵，提升课程的育人效果。下面结合教学内容，列举几个要点。

（一）融入爱国主义教育元素，培养学生的家国情怀

比如，在绪论中讲解秦九韶算法时，可以播放一段短视频，让学生了解南宋时期著名数学家秦九韶早于西方提出计算多项式f（x）=anxn+…+a1x+a0的快速算法，其工作量仅为O（n），即使现代工程上利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是优先选择的算法之一。在讲授插值法内容时，介绍元代数学家朱世杰提出的高次内插值法，该工作比西方数学家提出的Lagrange插值和Newton 插值早几百年。通过展示或播放机翼形线设计、船体放样的图片或视频，首先向学生介绍三次样条插值产生的背景，其次在讲解知识点，最后借此引申指出按照国际通行适航标准研制、具有自主知识产权的大型客机C919研制成功，“山东号”航空母舰交付使用，“嫦娥四号”探测器成功着陆月球背面等重大科技成果，以此激发学生爱国主义自豪感。在讲授数值逼近内容时，穿插介绍曲线曲面造型教学内容，该方法已成功用于３Ｄ打印产业[13]和VR产业中。

（二）融入马克思主义哲学思想，培养研究生正确的世界观和价值观

“误差”是影响数值计算结果的重要因素，在给研究生讲解误差概念时，首先播放短视频《科学重器，失之毫厘，谬以千里……一秒之差竟然影响这么大》及电影《我和我的祖国》——“回归”小节，让研究生切实体会误差在生产生活中的影响[14]。其次，在讲解数值算法稳定性内容时，通过数值算例的讲解来说明初始误差带来的危害，告诫研究生“勿以善小而不为，勿以恶小而为之”，引导研究生扣好人生的第一颗纽扣，常向标兵典型看齐。通过讲解非线性方程求根的二分法的基本思想、设计、理论分析和实现时，告知学生，人生道路上一定要有目标，要以正确有效的方式去追随目标方能成功。更多内容，参看文献[13-14]。

（三）融入工程应用案例，激发创新潜能

例如，GPS精准定位涉及大量的插值与拟合，数值天气预报的关键问题是求解一组非线性偏微分方程，飞行器飞行轨迹计算的关键问题是求解常微分方程。在课程教学和实践环节中适当引入上述应用案例，不仅激发学生自主探索和思考问题，而且可以锻炼学生动手实践能力。例如，在学习完插值、拟合、数值积分和数值微分内容后，我们引入了输电线路覆冰计算工程应用案例[15]。

设某５００ kV输电线路的两塔相距２l=400 m，现从中点开始，每隔h=10 m，测得电线距地面的高度yi=f（xi），见表1。

试解决如下问题：①根据表中数据，拟合出输电导线曲线方程；②假设覆冰厚度为直径6 cm，电线直径为2 cm，测得每米电线覆冰重量约为22.6 kg。估计两塔之间每根电线上覆冰的总重量；③根据数值微分求弧长，并与②结果作比较；④查阅相关资料，以类似方法计算南昌八一大桥一根主缆的长度。

此工程案例可以使学生进一步加深对插值、拟合、数值积分和数值微分内容的理解，掌握在数据分析基础上建立模型的基本技能。在上述求解问题完成之后，继续鼓励学生查找文献，结合力学知识针对不同情景建立更恰当的数学模型和设计有效的数值方法，为输电线路导线覆冰防护预警提供科学决策依据。案例的闭环训练可以进一步提升研究生解决实际问题的动手能力，激发学习兴趣和创新潜能。另外，结合不同的知识点，可以从中国传统文化教育、价值追求、工匠精神、核军工精神、身边榜样励志奋斗故事和数学之美等方面挖掘思政元素适时开展课程思政教育。

四改革课程考核内容和考核方式

改变以期末理论知识考试为主的考核形式，转变为课堂问答、小组讨论、习题解答、撰写应用案例和论文、课堂报告、编程实践、参加建模竞赛和主持科研项目等多种方式，注重多元化过程性考核，充分调动学生学习内在动机，培养其开拓创新能力。

五结束语

根据新工科研究生人才培养中的计算能力要求，本文对数值分析课程教学内容整合与优化、教学模式重构、课程思政教学和考核内容与方式等方面提出了改革思路和具体举措。这些改革思路和措施有助于激发研究生学习数值分析课程的兴趣，锻炼算法设计、优化、实现和工程应用能力，进一步激发创新潜能。数值分析课程教学创新改革与实践同时对老师能力和素质提出了更高要求，需要组建科研教学团队，形成新工科课程教育共同体。

参考文献：

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